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04_series_numericas_infinitas_propriedades_e_serie_d
Typology: Thesis
1 / 10
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Dada uma sequência
, vejamos um significado para a soma infinita
ଵ
ଶ
ଷ
Definição
Seja {𝑎
} uma sequência. Chamaremos de série numérica infinita, ou simplesmente série, à expressão
ଵ
ଶ
ଷ
ஶ
ୀଵ
ୀଵ
onde:
ଵ
é o primeiro termo da série;
ଶ
é o segundo termo da série;
é o n-ézimo termo da série.
Exemplo:
ୀଵ
Sequência de somas parciais
Definição
Seja
ୀଵ
uma série. Chamaremos de sequência de somas parciais à sequência
, onde:
ଵ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଷ
ଵ
ଶ
ଷ
ଶ
ଷ
ଵ
ଶ
ଷ
ିଵ
Vale destacar esta última igualdade: 𝑺 𝒏
𝒏ି 𝟏
𝒏
Exercícios) Para cada série abaixo,
i)
ଵ
( ାଵ
)
ୀଵ
ii) ∑ 𝑙𝑛 ቀ
ାଵ
ୀଵ
iii) ∑ [1 + (−1)
ୀଵ
determine:
a) Os quatro primeiros termos da série.
b) A sequência de somas parciais.
c) A soma da série, se possível.
Respostas:
i) ∑
ଵ
(ାଵ)
ୀଵ
a) ∑
ଵ
(ାଵ)
ସ
ଵ
ଵ
ଵ∙ଶ
ଵ
ଶ∙ଷ
ଵ
ଷ∙ସ
ଵ
ସ∙ହ
b)
ାଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
ସ
c) 1 (converge)
ii) ∑ 𝑙𝑛 ቀ
ାଵ
ୀଵ
a)
ାଵ
ସ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
ସ
ସ
ହ
b)
c) −∞ (diverge)
iii) ∑ [ 1 + (− 1 )
ୀଵ
a)
ଵ
( ାଵ
)
ସ
ଵ
b) 𝑆
𝑛 − 1, 𝑛 ímpar
𝑛, 𝑛 par
c) +∞ (diverge)
Teorema: Se uma série
ୀଵ
é convergente, então lim
→ஶ
D) Seja {𝑆
} a sequência de somas parciais da série ∑ 𝑎
ୀଵ
, tal que {𝑆
} → 𝑆. Como 𝑆
ିଵ
, obtemos:
lim
→ஶ
= lim
→ஶ
ିଵ
= lim
→ஶ
− lim
→ஶ
ିଵ
Obs.: O limite do termo geral de uma série ser igual a zero é condição necessária para que a série seja
convergente. Não é condição suficiente!
Atenção: A recíproca deste teorema é falsa! lim
→ஶ
= 0 não significa que a série ∑ 𝑎
ୀଵ
converge.
Exemplo: Observe que, para a série
ାଵ
ୀଵ
, temos:
lim
→ஶ
ାଵ
ቁ = 𝑙𝑛( 1 ) = 0, mas a série diverge (exemplo iii anterior)!
Assim, temos o seguinte resultado...
Teste de divergência: Se lim
→ஶ
≠ 0 , então a série
ୀଵ
diverge.
Obs.: O teste da divergência equivale à contra-positiva (𝐴 ⇒ 𝐵 ⇔ ~𝐵 ⇒ ~𝐴) do teorema.
Exemplo: Mostre que as séries abaixo são divergentes:
a)
ାଵ
ଷାସ
ୀଵ
b)
ଵ
ୀଵ
c) ∑
()
ୀଶ
Respostas
a) 𝑎
ଶ
(ଷାଵ)(ଷିଶ )
ୀଵ
b) 𝑎
ଵ
ଵ
ଶ
ୀଵ
c) 𝑎 ଵ
ିଵ
ୀଵ
= ∞ (diverge).
→ஶ
ଶ
ଶ
≠ 0. Divergente (pelo teste da divergência).
