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Sea X ( jw ) la cual denota la transformada de Fourir de la señal x ( t ) representada en la
figura.
a) Encuentre ¿ angulo X ( jw )
b) Encuentre X ( j 0 )
c) Encuentre
− ∞
∞
X ( jw ) dw
d) Evalue
− ∞
∞
X ( jw )
2 sen w
w
e
j 2 w
dw
e) Evalue
− ∞
∞
| X ( jw )|
2
dw
f) Dibuje la inversa transformada de Fourier de R e | X ( jw )|
a) Teniendo en cuenta que y ( t ) = x ( t + 1 ) es una señal real. Por lo tanto, Y ( jw ) tambien es
una señal real. Esto implica que ¿ Y ( jw )= 0. Tambien Y
jw
= e
jw
X ( jw )
, lo sabemos
¿ angulo X ( jw )=− w
b) Tenemos que
X ( j 0 ) =
− ∞
∞
x ( t ) dt = 7
c) Tenemos que
− ∞
∞
X ( jw ) dw = 2 πxx ( 0 ) = 4 πx
d) Dejando que
Y ( jw )=
2 sen w
w
e
j 2 w
La señal correspondiente y ( t ) es:
y ( t ) =
{
1 − 3 < t ← 1
0 para otro intervalo
Interando esto tenemos que:
− ∞
∞
X ( jw ) Y ( jw ) dw = 2 πx { x ( t )∗ y ( t )} evaluado en t = 0 = 7 πx
e) Tenemos que
− ∞
∞
| X ( jw )|
2
dw = 2 πx
− ∞
∞
| X ( t )|
2
dt = 26 πx
f) La transformada inversa de Fourier de R e | X ( jw )| es el
E v { x ( t )}
que es
x ( t ) + x (− t )
Como se muestra en la siguiente figura.
(a) Calcule la convolucion de cada uno de los siguientes pares de señales x(t)
y h(t) mediante el cálculo de X(jw) y H(jw), usando la propiedad de
convolucion y haciendo la transformada inversa.
(i) x ( t )= t e
− 2 t
u ( t ) , h ( t )= e
− 4 t
u ( t )
Desarrollo:
De la transformada se Fourier se obtiene:
Y
jω
= X
jω
H
jω
[
( 2 + jω )
2
]
[
4 + jω
]
Y ( jω )=
[
1 + jω
][
1 − jω
]
Aplicando fracciones parciales a la ecuación obtenida
Y ( jω )=
1 + jω
1 − jω
Ahora realizando la inversa de Fourier
y ( t ) =
e
−| t |
(b) Suponga que x
t
= e
−( t − 2 )
u ( t − 2 )
y h(t) es como se muestra en la figura.
Verifique la propiedad de convolución para este par de señales mostrando
que la transformada de Fourier de y ( t ) = x ( t )∗ h ( t ) es igual a H ( jω ) X ( jω )
.
Desarrollo:
Por convolución directa de las señales x(t) con h(t) tenemos:
y
t
0, t < 1
1 − e
−
( t − 1
)
, 1 < t ≤ 5
e
−( t − 5 )
− e
−
( t − 1
)
,t > 5
Ahora la transformada de Fourier de estas dos señales es:
Y ( jω )=
2 e
− j 3 ω
sen
2 ω
ω ( 1 + jω )
Que se lo puede descomponer en
Y ( jω )=
[
e
− j 3 ω
( 1 + jω )
]
e
− j 3 ω
sen
2 ω
ω
Y podemos ver que
X
jω
[
e
− j 3 ω
( 1 + jω )
]
H
jω
e
− j 3 ω
sen
2 ω
ω
Por lo tanto la propiedad de convolución para estas dos señales se
cumple:
Y
jω
[
e
− j 3 ω
( 1 + jω )
]
e
− j 3 ω
sen ( 2 ω )
ω
= X
jω
H
jω
