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Conceptos fundamentales del cálculo diferencial e integral, incluyendo la determinación del precio y cantidad de equilibrio en un mercado, el cálculo de incrementos y derivadas de funciones, las propiedades y reglas de derivación, y las derivadas de orden superior. También se abordan temas como la integración indefinida, los teoremas fundamentales del cálculo integral, y métodos de integración como la sustitución trigonométrica. El documento proporciona ejemplos detallados y soluciones paso a paso, lo que lo convierte en un recurso valioso para estudiantes y profesionales interesados en profundizar en el análisis matemático de funciones y sus aplicaciones en áreas como la economía y la ingeniería.
Typology: Summaries
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Oficina de Educación Virtual y TIC
Unidades Tecnológicas de Santander
CÁLCULO
www.uts.edu.co
desk-2852986_960_720 [ Imagen en Portada]
Recuperado de: https://pixabay.com
CONTENIDO
3.1. Primitiva e Integración Indefinida 103
3.2. Propiedades y fórmulas Básicas de Integración 104
3.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral 107
3.4. Métodos o técnicas de integración 110
3.5 Ejercicios de aplicación de las Integrales 135
La Cartilla Didáctica Digital, ha sido diseñada como material de apoyo a los estudiantes
que realicen de forma virtual, el Módulo integrador de Cálculo.
La Temática del módulo integrador de cálculo, tiene como finalidad fortalecer el
proceso lógico y cognitivo del estudiante del programa virtual, Profesional en
Administración de Empresas.
Aunque el nacimiento del cálculo tiene como generador la búsqueda de la solución de
problemas físicos, estos elementos que se fueron desarrollando y se empezaron a usar
en otro número de disciplinas, que no pertenecían a las ciencias físicas o matemáticas.
La creación de modelos económicos formales, comenzó en el siglo XIX con el uso del
cálculo diferencial para representar y explicar el comportamiento económico, como la
maximización de utilidades, una aplicación económica temprana de la optimización
matemática.
La economía se convirtió en una disciplina con más contenido matemático en la
primera mitad del siglo XX; sin embargo, la introducción de nuevas técnicas
generalizadas en el periodo de la Segunda Guerra Mundial, como la teoría de juegos,
ampliaron el uso de las formulaciones matemáticas en la economía.
Una gran parte de la economía clásica, puede ser presentada en términos geométricos
simples o en notación matemática elemental. Sin embargo, la economía matemática
convencionalmente hace uso del cálculo y del álgebra de matrices en el análisis
económico para poder hacer argumentos más fuertes, los cual sería complicado de
realizar sin el uso de estas herramientas matemáticas.
El Cálculo es una de las disciplinas que más ha contribuido al desarrollo de la Ciencia y
la Matemática misma, por lo que su aprendizaje debe ser una fuente que contribuya a
la formación y desarrollo del pensamiento lógico, y como herramienta de trabajo para
la construcción de modelos matemáticos propios en el área de las Ciencias
Económicas, Administrativas y Contables.
En el caso de las Ciencias Contables, el cálculo es una de las disciplinas que permiten
operar procesos cuantitativos propios de estas ciencias que se enmarcan en una
realidad económica y se abordan por medio del concepto de la derivada.
Con estos conceptos también es posible registrar y controlar cambios, pronosticar
comportamientos y optimizar funciones tales como ingresos, costos y utilidades
satisfaciendo así las necesidades y las limitaciones del campo contable.
La economía se ha convertido dependiente de los métodos matemáticos y las
herramientas matemáticas que emplea se han sofisticado. Como resultado, las
matemáticas se han convertido considerablemente importantes para los profesionales
en la economía y las finanzas.
Los programas de economía requieren una preparación amplia en matemáticas para el
entendimiento y es gracias a esto que estas áreas han atraído a un gran número de
matemáticos.
Los matemáticos aplican principios matemáticos a problemas prácticos, como el
análisis económico y otros problemas relacionados con la economía, y otros
problemas económicos son integrados en el estudio de las matemáticas aplicadas.
Fuente: Elaboración del Autor
Figura 2. Valor del dominio.
Fuente: elaboración propia.
Las funciones se representan mediante ecuaciones de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥), por
ejemplo:
2
2
𝑥+ 1
𝑥− 3
𝑥− 2
𝑥+ 4
Por otra parte en las funciones del tipo 𝑦 = 𝑓(𝑥), la relación entre ambas variables 𝒙e
𝒚está claramente determinada. Por ese motivo, la expresión 𝑦 = 𝑓(𝑥) recibe el
nombre de forma explícita de la función. Sin embargo, en algunas ocasiones la
relación entre las variables de la función no viene expresada de una forma tan clara
sino a través de una ecuación que las liga, como por ejemplo:
2
2
3
Se puede decir, que esta manera de representar una función, recibe el nombre de
forma implícita de la función.
La relación entre ambas variables viene dada por una ecuación en la que hay que
despejar la variable dependiente para poder encontrar la relación entre ambas.
Cuando nos encontramos con una expresión implícita hay que tener un poco de
cuidado, pues no vale cualquiera. De hecho, una de las anteriores expresiones no
corresponde a una función.
Un valor del dominio tiene dos imágenes
La gráfica NO representa una función.
¿Sabe decir cuál es? ¿Y por qué? Dibujar las cuatro expresiones anteriores puede
servir de ayuda.
1. 1. 2 Representación gráfica de una función
La gráfica de una función 𝒇 es el conjunto de todos puntos (𝑥, 𝑓 𝑥 ) en el plano
𝑥 𝑦 (ejes de coordenadas) , tal que restringimos los valores de 𝒙 al estar en el dominio
de 𝒇.
1. 1. 2. 1. Coordenadas cartesianas
Las coordenadas de un punto 𝑃 en el plano vienen determinadas por un par ordenado
de números 𝑥 e 𝑦, llamados coordenadas cartesianas del punto 𝑃, y se escribe
La primera coordenada,𝑥 se mide sobre el eje de abscisas u horizontal 𝑂𝑋. Se
denomina abscisa del punto 𝑃.
La segunda coordenada,𝑦 se mide sobre el eje de ordenadas o vertical𝑂𝑌. Se
denomina ordenada del punto 𝑃.
El punto de corte de los ejes se denomina origen de coordenadas 𝑂.
El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:
Figura 3. Gráfica de una función
Fuente: elaboración propia.
Ejemplo:
Para obtener la gráfica de 𝑓(𝑥) = 3 𝑥
2
− 4 𝑥 + 1 con dominio restringido
𝑎 [ 0 , + ∞), se sustituye 𝑓(𝑥) por 𝒚, obteniendo la ecuación 𝑦 = 3 𝑥
2
Entonces se obtiene la gráfica por medio de trazado de puntos, donde se restringen
𝑎 𝒙 al estar en [ 0 , + ∞), y obteniendo el siguiente dibujo:
valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores
que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo 𝑦 = 𝑓 𝑥 , suele
representarse con alguna de estas expresiones: 𝑅 (𝑓), Rango (𝑓), 𝐼𝑚 (𝑓).
1.1.4 Dominio de algunas funciones
1.1.4.1 Dominio de las funciones polinómicas
Definición: Una función polinómica, es de la forma:
Ejemplos: 𝑓 𝑥 = 2 𝑥
2
3
2
Notación: 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓 (𝑥) se escribe: 𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥)
El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales
1. 1. 4. 2 Dominio de las funciones racionales
Definición:
Una función racional, es el cociente de dos funciones polinómicas (polinomios)
Ejemplos:
2 𝑥+ 3
𝑥
2
− 1
𝑥− 4
2 𝑥
2
−𝑥+ 4
𝑥
𝑥
4 −𝑥
1
𝑥+ 1
Una expresión de números reales de la forma
𝐴
𝐵
no existe si 𝑩 = 𝟎, de manera que para
hallar el dominio de una función racional, basta con igualar el denominador a cero y
determinar así los únicos valores de 𝒙 que no pertenecen al dominio, ( valores críticos
del denominador ).
El dominio de una función Racional, es el conjunto de los números reales (ℜ)
diferentes de los valores que anulan el denominador, ( valores críticos del
denominador ):
La gráfica de una función racional es una hipérbola.
Ejemplo:
Hallar el dominio de la función 𝑓 𝑥 =
2 𝑥+ 3
𝑥
2
Igualando el denominador a cero: 𝑥
2
Ecuación:
Primer caso: 𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥− 2
En este caso de debe asegurar, que el denominador nunca sea cero, es decir:
El denominador debe ser distinto de cero. 𝑥 ≠ 2
El 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 = ℜ − 2 ó 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 = −∞, 2 ∪ ( 2 , ∞)
Segundo caso: 𝑔 𝑥 =
𝑥
𝑥+ 4
En este caso, es necesario asegurar que el denominador no sea cero 𝑥 ≠ − 4 , y
además que el radicando sea mayor que cero 𝑥 + 4 > 0 de tal manera, que se debe
resolver la ecuación:
Tercer caso: ℎ 𝑥 =
𝑥− 2
𝑥− 4
En este caso, se debe controlar tanto lo que sucede en el numerador, como lo que
sucede en el denominador, es decir:
✓ El radicando debe ser positivo o cero. 𝑥 − 2 ≥ 0 , 𝑥 ≥ 2_._
✓ El denominador debe ser distinto de cero. 𝑥 ≠ 4
Observar sobre una recta numérica esta situación:
De manera que la solución es: 𝐷𝑜𝑚 ℎ 𝑥 =
Domg ( x )= ¿
1. 1. 6. Intersecciones con los ejes
Un punto (𝑎, 0 ) es una intersección crucero de la gráfica de 𝒇 con el eje 𝒙si 𝑓 𝑎 =
0 , es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a 𝒇. Por lo tanto,
para hallar la intersección de la gráfica con el eje 𝒙 se debe hacer 𝑦 = 0 , y resolver
la ecuación, que se obtiene.
Un punto 0 , 𝑏 , es una intersección de la gráfica de𝒇, con el eje 𝒚si 𝑓 𝑎 = 0 es decir,
si este punto es una solución de la ecuación, que define: a 𝒇. Por lo tanto, para hallar
la intersección de la gráfica con el eje, 𝒚 debiendo hacer 𝑥 = 0 y resolver la ecuación
que se obtiene.
Nota: Las intersecciones con los ejes, se denominan interceptos.
A continuación se muestran algunos dibujos, para ilustrar con la finalidad de
demostrar, lo que lo afirmado, anteriormente:
Figura 7. Interceptos. Figura 8. Interceptos. Fuente: Los Autores.
Ejemplo:
Hallar los interceptos de la función 𝑦 =
2𝑥+ 2
𝑥− 7
− 2
7
2𝑥+ 2
𝑥− 7
No hay intersección con eje X
Una Intersección con el eje y en (0,2)
Tres intersecciones con el eje X
Una intersección con el eje Y
1. 1. 7. Función a trozos
Hasta ahora se ha visto, cómo las funciones, sean del tipo que sean, suelen admitir
una expresión del tipo y = f(x). Se ha visto también, que es especialmente interesante
(pues facilita, la obtención de información), que la expresión f(x) sea de tipo
matemático. Hasta ahora se ha trabajado, con expresiones simples como por ejemplo:
𝑥
2
3
3 + 2 𝑥
𝑥− 4
3
2
2
Sin embargo, con mucha frecuencia, las expresiones analíticas que aparecen en las
Ciencias Sociales, no admiten una única formulación para todos los valores de la
variable independiente; de manera, que es necesario utilizar diferentes fórmulas, para
la función según los distintos valores de 𝒙. De este tipo de funciones, se dice que están
Definidas a trozos.
Una función a trozos, es aquella en la que se usan “trozos” de funciones, para
conformar una nueva función (es decir, cuando se define una función con expresiones
parciales, y se especifica el dominio de cada una de ellas), por ejemplo la función valor
absoluto, se puede considerar como una función a trozos. (Ver figuras 9 , 10 , 11 ).
Figura 9. Función Trozos.
Fuente: elaboración propia.
1.1.8. Movimientos en el plano.
Translación Vertical.
La ecuación y-k= f(x), k una constante real describe una traslación vertical de
𝑦 = 𝑓(𝑥) k de unidades.
𝑆𝑖 𝑘 > 0 , 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎.
𝑆𝑖 𝑘 < 0 , 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜.
Ejemplo:
Figura 12. Translación Vertical
Fuente: elaboración propia.
Translación Horizontal: de unidades.
𝑆𝑖 ℎ > 0 , 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎.
𝑆𝑖 ℎ < 0 , 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎.
𝑦 = 𝑓(𝑥 + ℎ) 𝑑𝑒
h
La gráfica se ha desplazado una unidad verticalmente
Ejemplo:
Figura 13. Translación horizontal.
Fuente: elaboración propia.
1.1.9. Gráficas de funciones básicas:
Existen algunas funciones que son de uso común en el desarrollo de los cursos de
cálculo, entre ellas tenemos:
1.Función Lineal: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
2.Función Cuadrática: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
2
3.Función Cúbica: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
3
2
4.Función Raíz Cuadrada: 𝑓 𝑥 = 𝑥
5.Función Valor Absoluto: 𝑓 𝑥 = 𝑥
6.Función Racional: 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
7.Función logarítmica: 𝑓 𝑥 = log
𝑎
8.Función exponencial: 𝑓 𝑥 = 𝑎
𝑥
9.Función logística :𝑓 𝑥 =
𝑎
𝑏+𝑒
−𝑐𝑥
10.Función seno: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
11.Función coseno: 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
La gráfica se ha desplazado horizontalmente una unidad hacia la derecha