Análisis de funciones y derivadas - Prof. Mark Stevens, Summaries of Calculus

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CARTILLA DIDÁCTICA

Vicerrectoría Académica

Oficina de Educación Virtual y TIC

Unidades Tecnológicas de Santander

CÁLCULO

www.uts.edu.co

EFREN DAVID MONTES

OSCAR MAURICIO SERRANO JAIMES

CARLOS ALBERTO PARRA CORREA

Autores de Contenido

Mg. JESÚS GUILLERMO MENDOZA

Asesoría Pedagógica

Dg. CAROLINA MÉNDEZ MANTILLA

Diseñadora Educación Virtual y TIC

Ing. JUAN CARLOS DÍAZ DÍAZ

Coordinador Grupo Educación Virtual y TIC

Mg. JAIME ZAFRA BUENO

Corrector de Estilo

desk-2852986_960_720 [ Imagen en Portada]

Recuperado de: https://pixabay.com

CONTENIDO

CAPÍTULO III

IINTEGRALES Y APLICACIONES 102

3.1. Primitiva e Integración Indefinida 103

3.2. Propiedades y fórmulas Básicas de Integración 104

3.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral 107

3.4. Métodos o técnicas de integración 110

3.5 Ejercicios de aplicación de las Integrales 135

RESUMEN CAPÍTULO III 136

REFERENCIAS 137

GLOSARIO 140

ÍNDICE

La Cartilla Didáctica Digital, ha sido diseñada como material de apoyo a los estudiantes

que realicen de forma virtual, el Módulo integrador de Cálculo.

La Temática del módulo integrador de cálculo, tiene como finalidad fortalecer el

proceso lógico y cognitivo del estudiante del programa virtual, Profesional en

Administración de Empresas.

Aunque el nacimiento del cálculo tiene como generador la búsqueda de la solución de

problemas físicos, estos elementos que se fueron desarrollando y se empezaron a usar

en otro número de disciplinas, que no pertenecían a las ciencias físicas o matemáticas.

La creación de modelos económicos formales, comenzó en el siglo XIX con el uso del

cálculo diferencial para representar y explicar el comportamiento económico, como la

maximización de utilidades, una aplicación económica temprana de la optimización

matemática.

La economía se convirtió en una disciplina con más contenido matemático en la

primera mitad del siglo XX; sin embargo, la introducción de nuevas técnicas

generalizadas en el periodo de la Segunda Guerra Mundial, como la teoría de juegos,

ampliaron el uso de las formulaciones matemáticas en la economía.

Una gran parte de la economía clásica, puede ser presentada en términos geométricos

simples o en notación matemática elemental. Sin embargo, la economía matemática

convencionalmente hace uso del cálculo y del álgebra de matrices en el análisis

económico para poder hacer argumentos más fuertes, los cual sería complicado de

realizar sin el uso de estas herramientas matemáticas.

PRESENTACIÓN

CÁLCULO

El Cálculo es una de las disciplinas que más ha contribuido al desarrollo de la Ciencia y

la Matemática misma, por lo que su aprendizaje debe ser una fuente que contribuya a

la formación y desarrollo del pensamiento lógico, y como herramienta de trabajo para

la construcción de modelos matemáticos propios en el área de las Ciencias

Económicas, Administrativas y Contables.

En el caso de las Ciencias Contables, el cálculo es una de las disciplinas que permiten

operar procesos cuantitativos propios de estas ciencias que se enmarcan en una

realidad económica y se abordan por medio del concepto de la derivada.

Con estos conceptos también es posible registrar y controlar cambios, pronosticar

comportamientos y optimizar funciones tales como ingresos, costos y utilidades

satisfaciendo así las necesidades y las limitaciones del campo contable.

La economía se ha convertido dependiente de los métodos matemáticos y las

herramientas matemáticas que emplea se han sofisticado. Como resultado, las

matemáticas se han convertido considerablemente importantes para los profesionales

en la economía y las finanzas.

Los programas de economía requieren una preparación amplia en matemáticas para el

entendimiento y es gracias a esto que estas áreas han atraído a un gran número de

matemáticos.

Los matemáticos aplican principios matemáticos a problemas prácticos, como el

análisis económico y otros problemas relacionados con la economía, y otros

problemas económicos son integrados en el estudio de las matemáticas aplicadas.

JUSTIFICACIÓN

CÁLCULO

FUNCIONES

Fuente: Elaboración del Autor

Figura 2. Valor del dominio.

Fuente: elaboración propia.

Las funciones se representan mediante ecuaciones de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥), por

ejemplo:

2

2

𝑥+ 1

𝑥− 3

𝑥− 2

𝑥+ 4

Por otra parte en las funciones del tipo 𝑦 = 𝑓(𝑥), la relación entre ambas variables 𝒙e

𝒚está claramente determinada. Por ese motivo, la expresión 𝑦 = 𝑓(𝑥) recibe el

nombre de forma explícita de la función. Sin embargo, en algunas ocasiones la

relación entre las variables de la función no viene expresada de una forma tan clara

sino a través de una ecuación que las liga, como por ejemplo:

2

2

3

Se puede decir, que esta manera de representar una función, recibe el nombre de

forma implícita de la función.

La relación entre ambas variables viene dada por una ecuación en la que hay que

despejar la variable dependiente para poder encontrar la relación entre ambas.

Cuando nos encontramos con una expresión implícita hay que tener un poco de

cuidado, pues no vale cualquiera. De hecho, una de las anteriores expresiones no

corresponde a una función.

Un valor del dominio tiene dos imágenes

La gráfica NO representa una función.

¿Sabe decir cuál es? ¿Y por qué? Dibujar las cuatro expresiones anteriores puede

servir de ayuda.

1. 1. 2 Representación gráfica de una función

La gráfica de una función 𝒇 es el conjunto de todos puntos (𝑥, 𝑓 𝑥 ) en el plano

𝑥 𝑦 (ejes de coordenadas) , tal que restringimos los valores de 𝒙 al estar en el dominio

de 𝒇.

1. 1. 2. 1. Coordenadas cartesianas

Las coordenadas de un punto 𝑃 en el plano vienen determinadas por un par ordenado

de números 𝑥 e 𝑦, llamados coordenadas cartesianas del punto 𝑃, y se escribe

La primera coordenada,𝑥 se mide sobre el eje de abscisas u horizontal 𝑂𝑋. Se

denomina abscisa del punto 𝑃.

La segunda coordenada,𝑦 se mide sobre el eje de ordenadas o vertical𝑂𝑌. Se

denomina ordenada del punto 𝑃.

El punto de corte de los ejes se denomina origen de coordenadas 𝑂.

El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:

Figura 3. Gráfica de una función

Fuente: elaboración propia.

Ejemplo:

Para obtener la gráfica de 𝑓(𝑥) = 3 𝑥

2

− 4 𝑥 + 1 con dominio restringido

𝑎 [ 0 , + ∞), se sustituye 𝑓(𝑥) por 𝒚, obteniendo la ecuación 𝑦 = 3 𝑥

2

Entonces se obtiene la gráfica por medio de trazado de puntos, donde se restringen

𝑎 𝒙 al estar en [ 0 , + ∞), y obteniendo el siguiente dibujo:

• Se llama Recorrido, Rango, Imagen o Codominio de una función, al conjunto de

valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores

que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo 𝑦 = 𝑓 𝑥 , suele

representarse con alguna de estas expresiones: 𝑅 (𝑓), Rango (𝑓), 𝐼𝑚 (𝑓).

1.1.4 Dominio de algunas funciones

1.1.4.1 Dominio de las funciones polinómicas

Definición: Una función polinómica, es de la forma:

Ejemplos: 𝑓 𝑥 = 2 𝑥

2

3

2

Notación: 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓 (𝑥) se escribe: 𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥)

El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales

1. 1. 4. 2 Dominio de las funciones racionales

Definición:

Una función racional, es el cociente de dos funciones polinómicas (polinomios)

Ejemplos:

2 𝑥+ 3

𝑥

2

− 1

𝑥− 4

2 𝑥

2

−𝑥+ 4

𝑥

𝑥

4 −𝑥

1

𝑥+ 1

Una expresión de números reales de la forma

𝐴

𝐵

no existe si 𝑩 = 𝟎, de manera que para

hallar el dominio de una función racional, basta con igualar el denominador a cero y

determinar así los únicos valores de 𝒙 que no pertenecen al dominio, ( valores críticos

del denominador ).

El dominio de una función Racional, es el conjunto de los números reales (ℜ)

diferentes de los valores que anulan el denominador, ( valores críticos del

denominador ):

La gráfica de una función racional es una hipérbola.

Ejemplo:

Hallar el dominio de la función 𝑓 𝑥 =

2 𝑥+ 3

𝑥

2

• 3 𝑥+ 2

Igualando el denominador a cero: 𝑥

2

Ecuación:

Primer caso: 𝑓 𝑥 =

𝑥

𝑥− 2

En este caso de debe asegurar, que el denominador nunca sea cero, es decir:

El denominador debe ser distinto de cero. 𝑥 ≠ 2

El 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 = ℜ − 2 ó 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 = −∞, 2 ∪ ( 2 , ∞)

Segundo caso: 𝑔 𝑥 =

𝑥

𝑥+ 4

En este caso, es necesario asegurar que el denominador no sea cero 𝑥 ≠ − 4 , y

además que el radicando sea mayor que cero 𝑥 + 4 > 0 de tal manera, que se debe

resolver la ecuación:

Tercer caso: ℎ 𝑥 =

𝑥− 2

𝑥− 4

En este caso, se debe controlar tanto lo que sucede en el numerador, como lo que

sucede en el denominador, es decir:

✓ El radicando debe ser positivo o cero. 𝑥 − 2 ≥ 0 , 𝑥 ≥ 2_._

✓ El denominador debe ser distinto de cero. 𝑥 ≠ 4

Observar sobre una recta numérica esta situación:

De manera que la solución es: 𝐷𝑜𝑚 ℎ 𝑥 =

[

Domg ( x )= ¿

1. 1. 6. Intersecciones con los ejes

Un punto (𝑎, 0 ) es una intersección crucero de la gráfica de 𝒇 con el eje 𝒙si 𝑓 𝑎 =

0 , es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a 𝒇. Por lo tanto,

para hallar la intersección de la gráfica con el eje 𝒙 se debe hacer 𝑦 = 0 , y resolver

la ecuación, que se obtiene.

Un punto 0 , 𝑏 , es una intersección de la gráfica de𝒇, con el eje 𝒚si 𝑓 𝑎 = 0 es decir,

si este punto es una solución de la ecuación, que define: a 𝒇. Por lo tanto, para hallar

la intersección de la gráfica con el eje, 𝒚 debiendo hacer 𝑥 = 0 y resolver la ecuación

que se obtiene.

Nota: Las intersecciones con los ejes, se denominan interceptos.

A continuación se muestran algunos dibujos, para ilustrar con la finalidad de

demostrar, lo que lo afirmado, anteriormente:

Figura 7. Interceptos. Figura 8. Interceptos. Fuente: Los Autores.

Ejemplo:

Hallar los interceptos de la función 𝑦 =

2𝑥+ 2

𝑥− 7

1. Intersección con el eje 𝑦 → Se hace x = 0, entonces: 𝑦 =

− 2

7

2. Intersección con el eje 𝑥 → Se hace 𝑦 = 0 , entonces: 0 =

2𝑥+ 2

𝑥− 7

3. Por lo tanto 2𝑥 + 2 = 0 y obtenemos que: 𝑥 = − 1

No hay intersección con eje X

Una Intersección con el eje y en (0,2)

Tres intersecciones con el eje X

Una intersección con el eje Y

1. 1. 7. Función a trozos

Hasta ahora se ha visto, cómo las funciones, sean del tipo que sean, suelen admitir

una expresión del tipo y = f(x). Se ha visto también, que es especialmente interesante

(pues facilita, la obtención de información), que la expresión f(x) sea de tipo

matemático. Hasta ahora se ha trabajado, con expresiones simples como por ejemplo:

𝑥

2

3

3 + 2 𝑥

𝑥− 4

3

2

2

Sin embargo, con mucha frecuencia, las expresiones analíticas que aparecen en las

Ciencias Sociales, no admiten una única formulación para todos los valores de la

variable independiente; de manera, que es necesario utilizar diferentes fórmulas, para

la función según los distintos valores de 𝒙. De este tipo de funciones, se dice que están

Definidas a trozos.

Una función a trozos, es aquella en la que se usan “trozos” de funciones, para

conformar una nueva función (es decir, cuando se define una función con expresiones

parciales, y se especifica el dominio de cada una de ellas), por ejemplo la función valor

absoluto, se puede considerar como una función a trozos. (Ver figuras 9 , 10 , 11 ).

Figura 9. Función Trozos.

Fuente: elaboración propia.

1.1.8. Movimientos en el plano.

Translación Vertical.

La ecuación y-k= f(x), k una constante real describe una traslación vertical de

𝑦 = 𝑓(𝑥) k de unidades.

𝑆𝑖 𝑘 > 0 , 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎.

𝑆𝑖 𝑘 < 0 , 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜.

Ejemplo:

Figura 12. Translación Vertical

Fuente: elaboración propia.

Translación Horizontal: de unidades.

𝑆𝑖 ℎ > 0 , 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎.

𝑆𝑖 ℎ < 0 , 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎.

𝑦 = 𝑓(𝑥 + ℎ) 𝑑𝑒

h

La gráfica se ha desplazado una unidad verticalmente

Ejemplo:

Figura 13. Translación horizontal.

Fuente: elaboración propia.

1.1.9. Gráficas de funciones básicas:

Existen algunas funciones que son de uso común en el desarrollo de los cursos de

cálculo, entre ellas tenemos:

1.Función Lineal: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏

2.Función Cuadrática: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥

2

3.Función Cúbica: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥

3

2

4.Función Raíz Cuadrada: 𝑓 𝑥 = 𝑥

5.Función Valor Absoluto: 𝑓 𝑥 = 𝑥

6.Función Racional: 𝑓 𝑥 =

1

𝑥

7.Función logarítmica: 𝑓 𝑥 = log

𝑎

8.Función exponencial: 𝑓 𝑥 = 𝑎

𝑥

9.Función logística :𝑓 𝑥 =

𝑎

𝑏+𝑒

−𝑐𝑥

10.Función seno: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

11.Función coseno: 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥

La gráfica se ha desplazado horizontalmente una unidad hacia la derecha