Análisis de la Distribución Uniforme y Exponencial en Probabilidades, Schemes and Mind Maps of Mathematics

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DISTRIBUCIÓN UNIFORME Y DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Asignatura: Probabilidades Integrantes: Heidy Petuma Bedoya Valentina Ramirez García Fredy Molina Cano Docente: Frank Barrientos 2024-

INTRODUCCIÓN

La probabilidad es un pilar fundamental dentro de la estadística y las matemáticas, que se ocupa de analizar la incertidumbre inherente a los fenómenos aleatorios. En términos generales, la probabilidad busca cuantificar la certeza o incertidumbre de que un evento ocurra dentro de un conjunto dado de posibilidades. Este campo no solo tiene aplicaciones teóricas, sino que es esencial en la toma de decisiones en situaciones donde los resultados no son predecibles con certeza. Ya sea en la ingeniería, la economía, la biología, la informática, o la inteligencia artificial, la probabilidad ofrece las herramientas necesarias para modelar situaciones en las que intervienen elementos de azar. En la teoría de la probabilidad, las distribuciones de probabilidad son funciones matemáticas que describen cómo se distribuyen las probabilidades a lo largo de un conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio. Existen múltiples tipos de distribuciones, cada una adecuada para modelar diferentes tipos de fenómenos aleatorios. Entre ellas, la distribución uniforme y la distribución Exponencial son especialmente significativas debido a sus características particulares y su versatilidad en una amplia gama de aplicaciones prácticas.

DISTRIBUCIÓN UNIFORME

La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua y se refiere a eventos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Cuando se resuelven problemas que tienen una distribución uniforme, hay que tener en cuenta si los datos son inclusivos o excluyentes de los extremos. El enunciado matemático de la distribución uniforme es X toma valores dentro del intervalo de (a) a (b) y no podrá tomar valores fuera de este intervalo. Si hubiese un caso donde x fuese diferente (a) o (b), en este caso automáticamente la probabilidad de ocurrencia de un cierto evento sería 0. X ≠ a,b —> 0 Las fórmulas para la media teórica y la desviación típica son Ejemplo 1. El precio de un nuevo equipo deportivo durante el próximo año se estima que puede oscilar en $140 y $170. Por lo tanto, podría ser de $143, o de $145.55, o de $141.99, entre otros precios. Hay infinidad de posibilidades y todas ellas tienen la misma probabilidad de ocurrir. A. ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de un equipo sea menor o igual a $148?

B. ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de un equipo sea mayor o igual a $159? a=140 b= A. (148-140)(1/30) = 8/30 = 0. B. (170-159)(1/30)= 11/30= 0. Ejemplo 2. La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar un autobús se distribuye uniformemente entre cero y 15 minutos, ambos inclusive. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos?

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

La distribución exponencial suele referirse a la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas de larga distancia comerciales y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un automóvil. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente. Los valores de una variable aleatoria exponencial se producen de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, los estudios de marketing han demostrado que la cantidad de dinero que los clientes gastan en una visita al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero. Las distribuciones exponenciales se utilizan habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto. La variable aleatoria de la distribución exponencial es continua y suele medir el paso del tiempo, aunque puede utilizarse en otras aplicaciones. Las preguntas típicas pueden ser: "¿cuál es la probabilidad de que algún evento ocurra en los próximos x horas o días, o cuál es la probabilidad de que algún evento ocurra entre x1 horas y x2 horas, o cuál es la probabilidad de que el evento dure más de x1 horas para llevarse a cabo".

donde μ es el tiempo promedio de espera histórico. y tiene una media y una desviación típica de 1/μ. Una forma alternativa de la fórmula de la distribución exponencial reconoce lo que suele llamarse el factor de decaimiento. El factor de decaimiento simplemente mide la rapidez con la que la probabilidad de un evento disminuye a medida que la variable aleatoria X aumenta. Cuando se utiliza la notación con el parámetro de decaimiento m , la función de densidad de probabilidad se presenta como (Rincón) esto se cumple siempre y cuando X sea mayor o igual a 0 Media sea mayor que 0 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL DE PROBABILIDAD (Rincón) EJEMPLO

CONCLUSIONES

Este proyecto nos ha permitido analizar en profundidad dos distribuciones importantes en la teoría de probabilidades: la uniforme y la exponencial. Ambos tipos de distribución tienen características muy diferentes, lo que las hace útiles en contextos distintos. Mientras que la distribución uniforme se caracteriza por su comportamiento equitativo a lo largo de un intervalo, la exponencial es ideal para modelar fenómenos de "tiempo hasta" y tiene implicaciones significativas en áreas como la teoría de colas, la fiabilidad y la ingeniería. La teoría de la probabilidad y las distribuciones estudiadas demuestran cómo la matemática aplicada puede facilitar la toma de decisiones en escenarios inciertos. La selección adecuada de una distribución depende del contexto y las características de cada fenómeno

CIBERGRAFÍA

Rincón, Luis. “Distribución Exponencial de Probabilidad | Ejercicios.” YouTube , 22 August 2022, https://www.youtube.com/watch?v=lmbMPAq7bnY. Accessed 16 November 2024. https://www.youtube.com/watch?v=lmbMPAq7bnY La distribución uniforme. https://openstax.org/books/introducci%C3%B3n-estad%C3%ADstica-empresarial/pa ges/5-2-la-distribucion-uniforme Ejemplo de probabilidad de distribución uniforme. https://www.youtube.com/watch?v=UTTRDZ_iamA