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Analytics Geometry Cheat Sheet, Cheat Sheet of Analytical Geometry

Here the main formulas for the Analytics Geometry exam

Typology: Cheat Sheet

2019/2020

Uploaded on 11/27/2020

ekaraj
ekaraj 🇺🇸

4.6

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bg1
1
Introduction to Analytics Geometry
Calculus and Analytic Geometry, MATHEMATICS 12
³ Distance Formula
Let
11
(,)
Axy
and
22
(,)
Bxy
be two points in a plane
and
d
be a distance between
A
and
then
22
2121
()()
dxxyy
=-+-
or
22
1212
()()
dxxyy
=-+-
See proof on book at page181
………………………
³ Ratio Formula
Let
11
(,)
Axy
and
22
(,)
Bxy
be two points in a plane. The coordinates of the point
C
dividing the line segment
AB
in the ratio
12
:
kk
are
12211221
1212
,
kxkxkyky
kkkk
æö
++
ç÷
++
èø
If
C
be the midpoint of
AB
i.e. 12
:1:1
kk
=
then coordinate of
C
becomes
1212
,
22
xxyy
++
æö
ç÷
èø
.
See proof on book at page 182
……………………………………………………………………………………………………………………………………
³ Intersection of Median
Let
(
)
11
,
Axy
,
(
)
22
,
Bxy
and
(
)
33
,
Cxy
are vertices of triangle.
Intersection of median is called centroid of triangle and can be determined as
123123
,
33
xxxyyy
++++
æö
ç÷
èø
See proof at page 184
………………………
³ Centre of In-Circle (In-Centre)
Let
(
)
11
,
Axy
,
(
)
22
,
Bxy
and
(
)
33
,
Cxy
are vertices of triangle.
And
ABc
=
,
BCa
=
,
CAb
=
Then incentre of triangle
123123
,
axbxcxaybycy
abcabc
++++
æö
=
ç÷
++++
èø
See proof at page 184
………………………
³ Rotation of Axes
Let
(,)
xy
be the coordinates of point
P
in xy-coordinate system. If the axes are
rotated through at angle of
q
and
(
)
,
XY
are coordinate of
P
in new XY-coordinate
system then
cossin
Xxy
qq
=+
cossin
Yyx
qq
=-
………………………
(0,0)
O
Bx2 y2
()
,
Ax1 y1
()
,
(0,0)
O
Bx2 y2
()
,
Ax1 y1
()
,C
k1 k2
pf3
pf4

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Introduction to Analytics Geometry

Calculus and Analytic Geometry, MATHEMATICS 12

³ Distance Formula

Let A x ( 1 (^) , y 1 )and B x ( 2 (^) , y (^) 2 )be two points in a plane

and d be a distance between A and B then

2 2 d = ( x 2 (^) - x 1 (^) ) + ( y 2 (^) - y 1 )

or

2 2 d = ( x 1 (^) - x 2 (^) ) + ( y 1 (^) - y 2 )

See proof on book at page … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

³ Ratio Formula

Let A x ( 1 (^) , y 1 )and B x ( 2 (^) , y 2 )be two points in a plane. The coordinates of the point

C dividing the line segment AB in the ratio

k 1 (^) : k 2 are

1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 1 2

k x k x k y k y

k k k k

Ê + + ˆ

Á ˜

Ë +^ + ¯

If C be the midpoint of AB i.e. k 1 (^) : k 2 =1:

then coordinate of C becomes

1 2 1 2 , 2 2

Ê^ x^ +^ x^ y^ + y ˆ Á ˜ Ë ¯

See proof on book at page 182 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

³ Intersection of Median

Let A x ( 1 , y 1 ), B x ( 2 , y 2 )and C x ( 3 , y 3 )are vertices of triangle.

Intersection of median is called centroid of triangle and can be determined as

1 2 3 1 2 3 , 3 3

Ê^ x^ +^ x^ +^ x^ y^ +^ y^ + y ˆ Á ˜ Ë ¯

See proof at page 184

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

³ Centre of In-Circle (In-Centre)

Let A x ( 1 , y 1 ), B x ( 2 , y 2 )and C x ( 3 , y 3 )are vertices of triangle.

And AB = c , BC = a , CA = b

Then incentre of triangle

1 2 3 1 2 3 ,

ax bx cx ay by cy

a b c a b c

Ê +^ +^ +^ + ˆ

= Á ˜

Ë +^ +^ +^ + ¯

See proof at page 184

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

³ Rotation of Axes

Let ( , x y )be the coordinates of point P in xy -coordinate system. If the axes are

rotated through at angle of q and ( X Y , )are coordinate of P in new XY -coordinate

system then

X = x cos q + y sin q

Y = y cos q - x sin q

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

O^ (0,0)

B x (^ 2 ,y 2 )

A x (^ 1 ,y 1 )

O^ (0,0)

B x (^ 2 ,y 2 )

A x (^ 1 ,y 1 )

C

k 1

k 2

³ Inclination of a Line:

The angle a (0 £ a <180 )

o o measure anti-

clockwise from positive x - axis to the straight line

l is called inclination of a line l.

³ Slope or Gradient of Line

The slope m of the line l is defined by:

m = tan a

If A x ( 1 (^) , y 1 )and B x ( 2 (^) , y 2 )be any two

distinct points on the line l then

2 1

2 1

y y m x x

1 2

1 2

y y

x x

See proof on book at page: 191

³ Note: l is horizontal, iff m = 0 ( a = 0 )

o Q

l is vertical, iff m = • i.e. m is not defined. ( a = 90 )

o Q

If slope of AB = slope of BC , then the points A B , and C are collinear

i.e. lie on the same line.

³ Theorem

The two lines l 1 and l 2 with respective slopes m 1 and m 2 are

(i) Parallel iff m 1 (^) = m 2

(ii) Perpendicular iff m m 1 2 (^) = - 1 or (^1)

2

m m

(with m 1 and m 2 non-zero)

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

³ Equation of Straight Line:

(i) Slope-intercept form

Equation of straight line with slope m and y - intercept c is given by:

y = mx + c

See proof on book at page 194

( ii) Point-slope form

Let m be a slope of line and A x ( 1 (^) , y 1 )be a point lies on a line then equation of

line is given by:

y - y 1 = m x ( - x 1 )

See proof on book at page 195

(iii) Symmetric form

Let a be an inclination of line and A x ( 1 (^) , y 1 )be a point lies on a line then

equation of line is given by:

1 1

cos sin

y y x x

a a

See proof on book at page 195

B x (^ 2 ,y 2 )

A x (^ 1 ,y 1 )

a

³ Point of intersection of lines

Let l 1 (^) : a x 1 + b y 1 + c 1 = 0

l 2 (^) : a x 2 + b y 2 + c 2 = 0 be non-parallel lines.

Let P x ( 1 (^) , y 1 ) be the point of intersection of l 1 and l 2. Then

a x 1 1 (^) + b y 1 1 (^) + c 1 (^) =0 .............( ) i

a x 2 1 (^) + b y 2 1 (^) + c 2 (^) =0 .............( ) ii

Solving ( ) i and ( ) ii simultaneously, we have

1 1

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

x y 1

b c b c a c a c a b a b

1 2 2 1 1 1 2 2 1

b c b c x a b a b

fi =

and

1 2 2 1 1 1 2 2 1

a c a c y a b a b

Hence

1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1 1 2 2 1

b c b c a c a c

a b a b a b a b

Ê - - ˆ

Á - ˜

Ë -^ - ¯

is the point of intersection of l 1 and l 2.

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

³ Equation of line passing through the point of intersection.

Let l 1 (^) : a x 1 + b y 1 + c 1 = 0

l 2 (^) : a x 2 + b y 2 + c 2 = 0

Then equation of line passing through the point of intersection of l 1 and l 2 is

l 1 (^) + k l 2 = 0 , where k is constant.

i.e. a x 1 + b y 1 + c 11 + k ( a x 2 + b y 2 + c 2 )= 0.

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

³ Angle between lines

Let l 1 and l 2 be two lines. If a 1 and a 2

be inclinations and m 1 and m 2 be slopes of

lines l 1 and l (^) 2 respectively, Let q be a angle

from line l 1 to l 2 then q is given by

2 1

1 2

tan 1

m m

m m

q

See proof on book at page 219 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

³ Homogenous 2nd Degree Equation

Every homogenous second degree equation

2 2 ax + 2 hxy + by = 0 represents

product of straight lines through the origin.

Let m 1 and m 2 be slopes of these lines. Then

1 2

a m m b

= and (^1 )

2 h m m b

Let q be the angles between the lines. Then

2 2 tan

h ab

a b

q

See proof on book at page 227. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

l (^2) l 1

a 1

q a 2

y

X

Y