Cálculo: Ejercicios Resueltos de Funciones, Límites y Derivadas - Prof. Velazquez Sánchez, Study Guides, Projects, Research of Aquaculture and Aquafarming

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Antología

Institución: CECYTE 19

Materia: Cálculo diferencial

Nombre del alumno: Luis Enrique Sánchez

de la Cruz

Profesor: Adrián Avendaño Martínez

Tema: Antología

Semestre y grupo:"4-D "

Turno: Matutino

5-Funciones...................................................................................... (páginas 15-16) 6-Operaciones con Funciones............................................................ (páginas 17-21) 7-Evaluaciones con Funciones ........................................................... (páginas 22-26) 8-Límites........................................................................................... (páginas 27-33) 9-Formas Indeterminadas del Tipo 0/0................................................ (páginas 34-35) 10-Formas Indeterminadas del Tipo ∞/∞ ............................................ (páginas 36-37)

11-Derivadas........................................................................................ (páginas 38-50) 12-Máximos y Mínimos de una Función............................................... (páginas 51-52) 13-Funciones Crecientes y Decrecientes............................................ (páginas 53-54) -Conclusión .............................................................................................. (página 55) -Bibliografía............................................................................................... (página 56)

tratados, complementada con ejemplos resueltos que ilustran la aplicación práctica de estos conceptos.

1. Números Reales Definición: Los números reales incluyen todos los números racionales e irracionales. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como una fracción a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0. Los números irracionales no pueden expresarse como una fracción exacta y su representación decimal es infinita y no periódica. Ejemplo Resuelto 1 : Demuestra que √2 es un número irracional. Solución: Supongamos que √2 es racional, entonces se puede expresar como a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0, y a y b son coprimos (no tienen factores comunes). Entonces: √2 = a/b

2 = a²/b² 2b² = a² Esto implica que a² es un número par, por lo tanto, a debe ser par. Si a es par, se puede escribir como a = 2k para algún entero k. Sustituyendo: 2b² = (2k) ² 2b² = 4k² b² = 2k² Esto implica que b² es par, por lo tanto, b también debe ser par. Pero esto contradice nuestra suposición de que a y b son coprimos. Por lo tanto, √2 no puede ser racional; es un número irracional. Ejemplo Resuelto 2: Encuentra la intersección de los conjuntos de números racionales e irracionales. Solución: Por definición, los números racionales y los números irracionales son mutuamente excluyentes. No hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. Por lo tanto, la intersección de los conjuntos

2. Sistema de Coordenadas Rectangulares Definición: El sistema de coordenadas rectangulares, también conocido como sistema de coordenadas cartesianas, es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano está determinado por un par de coordenadas (x, y). Ejemplo Resuelto 1: Un punto P cualquiera sobre el eje x se expresa a través de las coordenadas P (x, 0, 0). Obsérvese que el origen, destacado en rojo en la siguiente figura, tiene coordenadas O (0, 0, 0). Cuando el punto está a la derecha del origen, tiene coordenada x positiva, mientras que si está a la izquierda, es negativa. Por ejemplo, el punto P1 en azul tiene coordenadas (6,0,0), mientras que el punto P2 en verde, tiene coordenadas (-9,0,0). Solución: Sin embargo, la solución conceptual es que para cualquier punto ( P ) en el eje x, su coordenada x determinará su posición relativa al origen: positiva a la derecha y negativa izquierda.

Ejemplo Resuelto 2: En la siguiente figura hay dos ejes, siendo el eje x el eje horizontal y el eje y el vertical. Con esto es suficiente para representar puntos en el plano, siendo necesarias dos coordenadas. El origen O es el punto (0,0). Nótese que la disposición de los ejes divide al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. A los ejes por encima y a la derecha del origen se les designa con signo positivo, mientras que por debajo y a la izquierda se les distingue con signo negativo. Entonces, los puntos cuyas coordenadas son positivas ambas, corresponden al primer cuadrante o cuadrante I. El punto verde tiene coordenadas (2,3) y está en el I cuadrante. Por su parte, el punto rojo tiene coordenadas (-3,1) y está en el II cuadrante, mientras que las coordenadas del punto azul son (-1.5;-2.5) y está en el III cuadrante.

3. Desigualdades Definición: Una desigualdad es una expresión matemática que indica que dos valores no son iguales y que uno es mayor o menor que el otro. Se utilizan los símbolos >, <, ≥ y ≤ para representar desigualdades. Ejemplo Resuelto 1: Resuelve la desigualdad 2x - 3 < 7. Solución: 2x - 3 < 7 2x < 10 x < 5 Por lo tanto, la solución es x < 5.

Ejemplo Resuelto 2: Resuelve la desigualdad 3(x - 1) ≥ 2x + 4. Solución: 3(x - 1) ≥ 2x + 4 3x - 3 ≥ 2x + 4 3x - 2x ≥ 4 + 3 x ≥ 7 Por lo tanto, la solución es x ≥ 7. Solución: La desigualdad -3 < x ≤ 4 se representa como el intervalo semiabierto (-3, 4]. Incluye todos los números mayores que -3 y menores o iguales a 4.

5. Funciones Definición : Una función es una relación entre dos conjuntos que asigna a cada elemento de un conjunto exactamente un elemento del otro conjunto. Se denota como f(x), donde x es la variable independiente y f(x) es la variable dependiente. Ejemplo Resuelto 1: Determina si la relación y = x² es una función. Solución: Para cada valor de x, existe un único valor de y. Por lo tanto, y = x² es una función.

Ejemplo Resuelto 2: Encuentra el valor de f(x) = 2x + 3 cuando x = -1. Solución: Sustituyendo x por -1 en la función: f(-1) = 2(-1) + 3 f(-1) = -2 + 3 f(-1) = 1 Por lo tanto, f (-1) = 1.

Ejemplo Resuelto 2: Sean ( f(x) = \sin(x) ) y ( g(x) = \cos(x) ). Encuentra ( (f + g)(x) ). Solución: [(f + g)(x) = \sin(x) + \cos(x)]

2. Resta de Funciones Definición: La resta de dos funciones \ (f ) y \ (g ) se define como \ ((f - g) (x) = f(x) - g(x) ). Ejemplo Resuelto 1: Sean ( f(x) = 4x^2 ) y ( g(x) = 2x ). Encuentra ( (f - g)(x) ). Solución: [(f - g)(x) = f(x) - g(x) = 4x^2 - 2x] Ejemplo Resuelto 2: Sean ( f(x) = e^x ) y (g(x) =
ln(x) ). Encuentra ( (f - g)(x) ).

Solución: [(f - g)(x) = e^x - \ln(x)]

3. Multiplicación de Funciones Definición: La multiplicación de dos funciones ( f ) y
( g ) se define como (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) ). Ejemplo Resuelto 1: Sean (f(x) = x^3 ) y (g(x) = x + 1 ). Encuentra ( (f
cdot g)(x) ). Solución: [(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = x^3 \cdot (x + 1) = x^4 + x^3] Ejemplo Resuelto 2: Sean ( f(x) = \sin(x) ) y ( g(x) = \cos(x) ). Encuentra ( (f \cdot g)(x) ).