Analysis of Convergent and Divergent Sequences, Assignments of Calculus

Download Analysis of Convergent and Divergent Sequences and more Assignments Calculus in PDF only on Docsity!

SUCESIONES

Sección 11.1 (Resumen)

Stewart

Cuarta Edición

CONSIDERACIONES

Una Sucesión “ES UNA LISTA ORDENADA DE NÚMEROS QUE SIGUEN UN

PATRÓN”

(1) a ,a ,a ,...,a ,a ,a ,...

1 2 3 n 1 n n 1

NOTACIÓN:

resulta ser una notación cómoda para hacer estudio del comportamiento de la sucesión.

( 2 )  a  {a ,a ,a ,...,a ,a ,a ,...}

n n 1 1 2 3 n 1 n n 1



Si nos referimos a “n” como el “sub-indice” y llamamos a “a n

” el término general ó el término

enésimo), el escribir:

En palabras sencillas:

Eje n

Eje y

DEFINICIÓN:

Una sucesión infinita de números es una función cuyo dominio es el conjunto de los

enteros no negativos y su imagen un subconjunto de los números reales.

(Función real de variable discreta)

(Formalmente hablando):

Nota: Su representación gráfica es realizada mediante el dibujo un conjunto discreto de puntos (n,

a

n

) en el plano cartesiano.

a 1

a 2

a 3

a n

y = L (recta)

0 1 2 3 4 5 n-1 n n+1 …

y = f(n) = a n

EJEMPLO 1: Sea la sucesión  a  { n } ;

n n 1 n 1



1

1,

1,

1,

1,

2

2,

2,

2,

2,

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8

n

an La sucesión DIVERGE

Su grafica es:

es decir,  a  {1, 2 , 3 ,2, 5 ,...}.

n n 1



EJEMPLO 3: Sea la sucesión

es decir,  a  { 0,1/2,2/3,3/4,...} n (^) n 1







La sucesión CONVERGE a

1

Sucesión Convergente

0

0,

0,

0,

0,

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

n

an

 a  { } ;

n n^1

(n 1)

n n 1

Su grafica es:

EJEMPLO 4: Sea la sucesión

esto es,  a  {0,-1/2,2/3,-3/4,...} n



La sucesión DIVERGE

Sucesión Divergente

-0,

0

0,

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

n

an

 a   ( 1) .   ; n n 1

n (^1) n 1 n





   

Su grafica es:

TEOREMA A: (De Sucesiones)

 

     

     

 

 

 

    0 i 0.

n

1 ( )lim lim n lim

( )lim lima i ,.

lim 0.

lim

lim a a ( ) lim

( ) lim a lim a lim.

( ) lim a lim a lim.

( ) lim a lim a.

( ) lim

p n

• p

n n

n n

n n

n n n n

n n

n

n

n

n n

n n

n n n

n n

n n

n n n

n n

n n

n

vi n y s p 

vi b s p lR fijo

siempre que b

b b

v

iv b b

iii b b

ii

i

p

p p

^ 



 



  

 

  















  

  

  



   

  

 

 

 

 

   

   

  

 

 

 

Supóngase que {a

n

} y {b n

} son dos sucesiones convergentes y que λ  lR fijo, entonces

TEOREMA B: (De Sucesiones)

   

   

( ) ( ) cot ,  a  cot.

( ) , a.

( ) lim , lim a.

n

n

n x n

iii Si f x esa ada entonces es a ada

ii Si f x esmonótona entonces tambienes monótona

i Si f x  L entonces  L  

Supóngase que {a

n

} es una sucesión. Si existe una función continua definida de  o,+   lR tal que

f(n) = a

n

, para cada n=0,1,2,3,…,entonces f(x) y {a n

} tienen el mismo comportamiento, esto es,

Teorema C (De Sucesiones) : Supóngase que { a

n

} es tal que

lim 0 , lim^ ^ a ^0. n n n

    

a entonces n

Determine la convergencia o divergencia de las siguientes sucesiones: EJEMPLO 5:

   

     

       





 



 



 



 



 



 



 







 







 



   

  















  













 

 













 

  

1

( )

1 n 1

n n 1

1

2 n 1

1

6

3 2

n 1

1

4 2

5

n 1

1

4 3

4

n 1

5. a ( 1) 6. a .( 1 )
   4. a n 3n n

• 3n n

n 6

3. a

n 6n 3

2n 1

2. a

3n 4n 2n

7n 2n 5

1. a

1

n n n n

n^ n

n

n

n

n

n

n

n n e

n

Sol. Ej. 5 :

Determine la convergencia o divergencia de las siguientes sucesiones:

1). lim lim lim lim

3

7

3

7 3 0 0

7 0 0

x

2 x

4 3

x

5

x

2 7

x

2x

x

4x

x

3x

x

5

x

2x

x

7x

3x 4x 2x

7x 2x 5 3n 4n 2n

7n 2n 5

3

3 4

4 4

3

4

4

4 4 4

4

4 3

4 4 3

4

la sucesiónconverge a

n x x x

 

 

 

 

 

  ^ 

 

   

     

   

 

 

       

2 ) lim lim lim lim 0.

2 2 x

2x x 6 x 3

2x 1 n 6 n 3

2n 1 5

4 4 2

5 4 2

5

lasucesión converge a

x n x x x



     

      



 



   



 

       

3. lim lim lim lim 0.

1

3

1

3x

x

3x x

x 6

3n

n n 6 6 3

3

6

3 2

6

3 2

la sucesiónconverge a

x x^ x

x

n n x



     



 ^      

 

 

 

 

 

 

 

   

lim   lim  lim 3.

4. lim n 3n n lim lim

1 0 0

3

1

3

x 3x

3x

x 3x

x 3x x

x 3x

x 3x x

x 3x

x 3x 1

(^2) x 3x x

2

2 2 3 1

2 2

2

2

2 2

2

2 2

^ 



 



    

 















    

   ^ ^  

 

 

    

 

 

 

^  

^  

 (^) 

   

   

  

x x x x x x x

x x x

x

n x

La sucesión converge a 3.

NOTACIÓN FACTORIAL

Los factoriales CRECEN más rápido que los exponenciales!

1 1 1 1 ( 11 1 1 ) (n) n! n (n-1)(n-2)  3  2  1       e

   e e e  e e

Si n es mayor que 5, entonces

n n! e

(n) (con 5 décimales)

0 0! = 1 e

(0) = 1

1 1! = 1 e(1)^ ≈ 2,^71828

2 2! = 2x1 = 2 e(2)^ ≈ (2,71828)^2 = 7,^38905

3 3! = 3x2x1 = 6 e(3)^ ≈ (2,71828)^3 = 20,^08553

4 4! = 4x3x2x1 = 24 e

(4) ≈ (2,71828)

4 = 54,

59815

5 5! = 5x4x3x2x1 = 120 e

(5) ≈ (2,71828)

5 = 148,

6 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 e(6)^ ≈ (2,71828)^6 = 403,^42879

7 7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5.040 e(7)^ ≈ (2,71828)^7 = 1.096,^63315

8 8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40.320 e(8)^ ≈ (2,71828)^8 = 2.980,^95798

NOTACIÓN FACTORIAL

0!  1

n!  1.2.3.4.5. ....n

n!  n   (n  1) 3  2  1   n (n  1)!

Se define:

Los factoriales CRECEN más rápido que los exponenciales

(n 1)!(n 1) n!

n! e , 3.

(n)

  n 

EJEMPLO 6:

Determine si las siguientes sucesiones son convergentes o

divergentes

 

 

  1

n

1

n 2

1 Ayuda :

Ayuda: 2, 1

Ayuda: n!, 0

n 1 n

n

n 12

n 1 n

2

1

3. a

(-1) 1

n 1

( 1 ) 1

2. a

n

n!

1. a

  

  

  











 

















  











 

n

n

n

n e

n

n

n

n

n

n

n

UNA SUCESIÓN MONÓTONA CRECIENTE SI SE CUMPLE QUE a n

< a n+

, n 1.

UNA SUCESIÓN MONÓTONA DECRECIENTE SI SE CUMPLE QUE a n

a n+

, n 1.

UNA SUCESIÓN MONÓTONA CONSTANTE SI SE CUMPLE QUE a n

= a n+

, n 1.

Clasificación de las sucesiones: