Cálculo Superior 2007, Exercises of Advanced Calculus

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UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

GUÍA DE ESTUDIO PARA EL CURSO 3011

CÁLCULO SUPERIOR

ELABORADA POR:

Hugo Barrantes Campos

ii GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR

Producción Académica

Licda. Ana M

a

Sandoval Poveda.

Digitación a cargo del Autor.

Diagramación e ilustraciones. Lic. Alberto Soto.

iv GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR

• Enunciados y soluciones de exámenes aplicados en periodos académicos anteriores.

Se espera que esta guía ayude a comprender algunos aspectos que puedan parecer poco claros en

la unidad didáctica.

1. Breve descripción del curso

En el curso de Análisis Real se inició el estudio de las funciones de varias variables; esto es,

funciones cuyo dominio es R

2

o R

3

y cuyo codominio es R, R

2

o R

3

. Específicamente, este estudio

se centró en el Cálculo diferencial en varias variables.

La primera parte del curso de Cálculo Superior amplía el estudio del Cálculo diferencial de las

funciones de varias variables proporcionando una aplicación al Cálculo de máximos y mínimos e

introduciendo los conceptos de rotacional y divergencia.

El resto del curso se dedica al estudio del Cálculo integral en varias variables, considerando

dominios de integración de diferentes tipos: regiones planas, sólidos, curvas y superficies, que

dan origen, respectivamente, a las integrales dobles, triples, de línea y de superficie.

1.1. Conocimientos previos

Además de los conocimientos básicos de la Matemática elemental se supone, por parte del estu-

diante, un conocimiento sólido en los siguientes temas:

1. Funciones reales de variable real, derivación y técnicas de integración (lo correspondiente a

los cursos Cálculo Diferencial, código 175 y Cálculo Integral, código 178).

2. Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas que se estudian en el curso de Geometría Ana-

lítica, código 193.

3. Algunos de los conocimientos que se proporcionan en el curso de Álgebra Lineal código 191,

tales como vectores, producto interno, distancia, longitud de un vector, producto vectorial,

matrices y determinantes.

4. Lo básico del Cálculo diferencial en varias variables, estudiado en el curso de Análisis Real:

funciones de varias variables, límites, continuidad, derivadas direccionales, derivadas par-

ciales, gradientes y las propiedades correspondientes.

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR v

Cabe señalar que los dos primeros capítulos del texto que se utiliza en el curso constituyen

un repaso de los temas que mencionamos en los puntos 2, 3 y 4. Le recomendamos su estudio, si

considera que tiene algunas debilidades al respecto.

1.2. Unidad didáctica

A continuación señalamos los capítulos del texto que cubren los temas del curso y se señala la

ubicación de capítulos y secciones en cada una de las ediciones.

Temas Cuarta edición Quinta edición

Extremos de funciones con valores reales

Extremos restringidos y

multiplicadores de Lagrange

Capítulo 3

secciones: 3.3 y 3.

Ídem cuarta edición

Velocidad, aceleración

Longitud de arco

Campos vectoriales

Divergencia y rotacional

Capítulo 2

sección: 2.

Capítulo 4

secciones: todas

Ídem cuarta edición

Integral doble sobre un rectángulo

Integral doble sobre regiones más generales

Cambio de orden de integración

Integral triple

Capítulo 5

secciones: 5.1 a 5.

y 5.

Capítulo 5

secciones todas

Geometría de las funciones de R

a R

Teorema del cambio de variables

Aplicaciones de las integrales dobles y triple

Capítulo 6

secciones: 6.1 a 6.

Ídem cuarta edición

La integral de trayectoria

Integrales de línea

Superficies parametrizadas

área de una superficie

Integrales de funciones escalares sobre superficies

Integrales de superficie de funciones vectoriales

Capítulo 7

secciones: todas

Capítulo 7

secciones: todas

excepto 7.

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR vii

• 6.2 El teorema del cambio de variables
• 6.3 Aplicaciones de las integrales dobles y triples
  • Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
• 7.1-2 Integrales de trayectoria e integrales de línea
• 7.3-4 Superficies parametrizadas y área de superficies
• 7.5-6 Integrales de superficie
• Exámenes anteriores - Soluciones de los exámenes
• Referencias de consulta - Esta parte es de la sección 2.4 del capítulo ∗

viii GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR

2 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR

soluciones del sistema de ecuaciones:

∂f

∂x

∂f

∂y

Note que se dice "posibles"; con esto se indica que los puntos solución del sistema pueden o

no ser extremos relativos. Mientras tanto, los puntos que no son solución de dicho sistema no

pueden ser extremos. Esto explica el nombre de puntos críticos que se da a las soluciones de dicho

sistema.

Los puntos que son soluciones de dicho sistema pero que no son extremos relativos son los

que los que se denominan puntos silla. El significado geométrico, para funciones de dos variables,

de los puntos silla, está bien ilustrado en el dibujo de la página 202 (192).

Otro resultado importante que debe considerarse en esta sección es el teorema 6. Este pro-

porciona un método para determinar cuándo un punto crítico de una función de dos variables

corresponde a un máximo o a un mínimo. Observe que este teorema establece que (x

0

, y

0

) es un

mínimo relativo cuando es un punto crítico y además cumple dos cosas:

2

f

∂x

2

(x

0

, y

0

) es positivo

y D(x

0

, y

0

) también es positivo. También dice que (x

0

, y

0

) es un mínimo relativo cuando es un

punto crítico y además cumple que

2

f

∂x

2

(x

0

, y

0

) es negativo y D(x

0

, y

0

) es positivo. Por otra parte,

si D(x

0

, y

0

) es negativo entonces (x

0

, y

0

) es un punto de silla.

¿Qué sucede cuando D(x

0

, y

0

) = 0? El teorema no responde; el punto puede ser máximo,

mínimo o de silla, pero esto solo se puede saber de alguna otra manera en cada caso particular.

Nota: En la cuarta edición, en este teorema, aparece un error; falta un exponente 2 en uno de

los términos del discriminante. Debe leerse:

D =

2

f

∂x

2

2

f

∂y

2

2

f

∂x ∂y

2

Extremos absolutos

Puede decirse que un mínimo absoluto es el punto que tiene la menor imagen, bajo la función,

de todos los del dominio; por el contrario, un máximo absoluto es el que tiene la mayor imagen

de todos los elementos del dominio.

Observe la diferencia entre máximo relativo y máximo absoluto; el relativo tiene la mayor

imagen con respecto a una "parte" del dominio, mientras que el absoluto tiene la mayor imagen

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 3

con respecto a "todo" el dominio. Un comentario análogo vale para el caso de mínimo relativo y

mínimo absoluto.

Lo anterior NO impide, desde luego, que un máximo relativo pueda ser también absoluto (lo

mismo, un mínimo relativo también puede ser mínimo absoluto).

El teorema 7 es muy importante porque establece que si el dominio de la función es cerrado

y acotado, entonces la función va a tener un máximo y un mínimo. Cuando se dice máximo o

mínimo sin más, se refiere a máximo o mínimo absoluto.

En la página 213 (203), se establece un método para hallar los puntos de máximo y mínimo

absolutos en una región con frontera.

Cuando se considera que el domino A de una función de dos o más variables es un conjunto

cerrado y acotado, éste está formado por su interior (que podría ser vacío) que es abierto y por

su frontera (que es un conjunto cerrado). El método para encontrar los extremos de la función

definida en A consiste en:

• Localizar los puntos críticos de f en el interior del dominio A.
• Localizar los puntos críticos de la función considerada solo en la frontera de A.
• Calcular la imagen de todos los puntos obtenidos en los dos pasos anterior.
• Comparar los valores obtenidos en el punto anterior. El mayor corresponde al punto má-

ximo y el menor corresponde al punto mínimo.

Observaciones

• El material que se expone entre las páginas 203 y 207 (194 y 198) se refiere a un concepto

(el hessiano) que permite determinar si un punto crítico es máximo o mínimo relativo, sin

embargo, no forma parte de los contenidos del curso.

• De la lista de ejercicios de esta sección HACER los ejercicios del 1 al 35, para ambas ediciones.

Ejemplos resueltos tomados de la lista de ejercicios, páginas de la 214 a la 217 (204 a la 207)

1. Hallar los puntos críticos de la función f (x, y) = x

2

+ y

2

− xy y determinar si son máximos

o mínimos relativos, o corresponden a puntos silla.

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 5

De la segunda ecuación se concluye que x 6 = 0, por lo tanto, es posible despejar y en ella:

y =

x

2

2 x

Después se sustituye esto en la primera ecuación y se obtiene:

2 x ·

x

2

2 x

x

2

2 x

2

= 0 ⇒ x

2

x

4

+ 2x

2

4 x

2

Se debe simplificar esta suma y calcular el numerador para solo igualar a cero este numera-

dor. Al calcularlo se obtiene

4 x

4

− x

4

− 2 x

2

⇒ 3 x

4

− 2 x

2

⇒(3x

2

+ 1)(x + 1)(x − 1) = 0

De la última ecuación se obtienen las soluciones reales x = 1 o x = − 1 que en ninguno de los

casos anula el denominador de la expresión original. Para determinar los puntos críticos, se

sustituyen los valores de x encontrados en la ecuación 2 xy − 1 − y

2

Sustituyendo x = 1 en (1) se obtiene 2 y − 1 − y

2

= 0; es decir −(y − 1)

2

= 0 y, por lo tanto,

y = 1. Esto da un primer punto crítico: (1, 1).

Sustituyendo x = − 1 en (1) se consigue − 2 y − 1 − y

2

= 0; es decir −(y + 1)

2

= 0 y, por lo

tanto, y = − 1. Esto da un segundo punto crítico: (− 1 , −1). Dado que no hay más valores

que anulan las derivadas parciales, entonces solo hay estos dos puntos críticos.

Ahora se calculan las derivadas parciales segundas para utilizar el teorema correspondiente:

2

f

∂x

2

= 2y,

2

f

∂y

2

= − 2 x,

2

f

∂x ∂y

= 2x − 2 y.

De aquí se tiene que

D =

2

f

∂x

2

2

f

∂y

2

2

f

∂x ∂y

2

= (2y)(− 2 x) − (2x − 2 y)

2

= − 4 x

2

− 4 y

2

+ 4xy.

Como

2

f

∂x

2

(1, 1) = 2 > 0 , y D(1, 1) = − 4 < 0 , entonces, (1, 1) es un punto de silla.

Por otra parte

2

f

∂x

2

(− 1 , −1) = − 2 < 0 y D(− 1 , −1) = − 4 < 0 , entonces, (− 1 , −1) también es

un punto de silla.

6 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR

3. Considere la función f (x, y) = (y − 3 x

2

)(y − x

2

(a) Compruebe que (0, 0) es un punto crítico.

(b) Si g(t) = f (at, bt) tiene un punto mínimo para t = 0 para todo a, b ∈ R.

(c) Demuestre que (0, 0) no es un punto mínimo relativo de f.

Solución: La función es f (x, y) = (y − 3 x

2

)(y − x

2

) y desarrollando: f (x, y) = y

2

− 4 x

2

y + 3x

4

Ahora

(a) Se pide verificar que (0, 0) (el origen) es un punto crítico. Dado que

∂f

∂x

= − 8 xy + 12x

3

∂f

∂y

= 2y − 4 x

2

vemos que si se hace x = 0, y = 0 entonces ambas derivadas se anulan. Luego, (0, 0) es un

punto crítico.

Observe que

2

f

∂x

2

= − 8 y + 36x

2

2

f

∂y

2

2

f

∂x ∂y

= − 8 x

Luego D = (− 8 y + 36x

2

)(2) − (− 8 x)

2

= 8x

2

− 16 y. Así, al evaluar D en (0, 0) se obtiene

D(0, 0) = 0, por lo que el teorema no se aplica.

(b) Primero se evalúa f en (at, bt); se obtiene:

f (at, bt) = (bt)

2

− 4(at)

2

(bt) + 3(at)

4

= b

2

t

2

− 4 a

2

t

3

b + 3a

4

t

4

Esto proporciona una función en una sola variable (la variable t). Si se deriva e iguala a 0 se

obtendrán los puntos críticos (curso de Cálculo Diferencial, código 175):

f

′

(at, bt) = 2b

2

t − 12 a

2

t

2

b + 12a

4

t

3

Note que t = 0 es un punto crítico.

Si se calcula la segunda derivada:

f

′′

(at, bt) = 36a

4

t

2

− 24 a

2

bt + 2b

2

y al evaluarla en t = 0 se obtiene 2 b

2

que es un número positivo. Entonces, tiene un mínimo

en t = 0. Se concluye que f tiene un mínimo relativo en cada recta que pasa por (0, 0).

(c) Lo anterior parece indicar que (0, 0) es un mínimo relativo de f , pero no es así. Para que

fuese un mínimo debería serlo para cualquier trayectoria que pase por el origen, no solo para

8 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR

Así, el punto, en el plano dado, que se encuentra más cerca del origen es

5. Hallar los valores máximo y el mínimo absolutos de f (x, y) = sen x + cos y en el rectángulo

R = [0, 2 π] × [0, 2 π].

Solución: Primero se determinan los puntos críticos en el in-

terior de la región que corresponde al rectángulo R indicado

(vea la figura adjunta). Hacemos:

∂f

∂x

= cos x = 0,

∂f

∂y

= − sen y = 0

Pero cos x = 0 si x =

π o x =

π (solo se toman estos dos

porque x está entre 0 y 2 π).

0 2 π

2 π

1

2

3

4

Figura 1: Región para extremos.

Además, − sen y = 0, cuando y = 0, y = π (por una razón análoga a la anterior, solo se

toman esos dos valores). Así, se concluye que los puntos críticos son

y

. Se observa que hay dos puntos de estos en la frontera (los que tienen 0

como segunda coordenada) y, entonces solo quedan los otros dos como puntos críticos en el

interior de la región.

Ahora se determinan los puntos críticos en la frontera; para ello se considera cada uno de

los cuatro lados del cuadrado.

El lado señalado con © 1 en la figura corresponde a los puntos de la forma (x, 0), con x entre

0 y 2 π. De modo que al evaluar la función queda de una sola variable:

f (x, 0) = sen x + cos 0 = sen x + 1.

Derivando se tiene (sen x + 1)

′

= cos x, que se hace 0 cuando x =

π o x =

π. Se obtienen

así dos puntos críticos:

El lado señalado con © 2 en la figura corresponde a los puntos de la forma (2π, y), con y entre

0 y 2 π. De modo que al evaluar la función queda de una sola variable:

f (2π, y) = sen 2π + cos y = cos y.

Derivando se tiene (cos y)

′

= − sen y, que se hace 0 cuando y = 0, y = π o y = 2π. Se obtienen

así tres puntos críticos: (2π, 0), (2π, π), (2π, 2 π).

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 9

El lado señalado con

3

© en la figura corresponde a los puntos de la forma (x, 2 π), con x entre

0 y 2 π. De modo que al evaluar la función queda de una sola variable:

f (x, 2 π) = sen x + cos 2π = sen x − 1.

Derivando se tiene (sen x − 1)

′

= cos x, que se hace 0 cuando x =

π o x =

π. Se obtienen

así otros dos puntos críticos:

Finalmente, el lado señalado con © 4 en la figura corresponde a los puntos de la forma (0, y),

con 0 ≤ y ≤ 2 π. De modo que al evaluar la función queda de una sola variable:

f (0, y) = sen 0 + cos y = cos y.

Derivando se tiene (cos y)

′

= − sen y, que se hace 0 cuando y = 0, y = π o y = 2π. Se obtienen

así tres nuevos puntos críticos: (0, 0), (0, π) y (0, 2 π). En total hay 12 puntos críticos. Hay

que evaluar f en cada uno de ellos:

f (

1

2

π, π) = sen

1

2

π + cos π = 0 f (

3

2

π, π) = sen

3

2

π + cos π = − 2

f (

1

2

π, 0) = sen

1

2

π + cos 0 = 2 f (

3

2

π, 0) = sen

3

2

π + cos 0 = 0

f (2π, 0) = sen 2π + cos 0 = 1 f (2π, π) = sen 2π + cos π = − 1

f (2π, 2 π) = sen 2π + cos 2π = 1 f (

1

2

π, 2 π) = sen

1

2

π + cos 2π = 2

f (

3

2

π, 2 π) = sen

3

2

π + cos 2π = 0 f (0, 0) = sen 0 + cos 0 = 1

f (0, π) = sen 0 + cos π = − 1 f (0, 2 π) = sen 0 + cos 2π = 1

El valor máximo de la función es 2 este se alcanza en los puntos

y

y el

mínimo es − 2 que se alcanza en el punto

6. Un pentágono está compuesto por un rectángulo y un triángulo isósceles. Si la longitud del

perímetro está dada, hallar la máxima área posible.

Solución: La función a maximizar es la función determi-

nada por el área de la figura, que es A = xy +

yh, donde h

es la altura del triángulo. De acuerdo con la trigonometría,

h =

y tan θ. Según esto,

A = xy +

y

2

tan θ. (3)

Por otra parte, el perímetro es P = 2x + y + 2r, donde r es

la medida de los lados iguales del triángulo isósceles.

x x

y

h

r r

θ

Figura 2: Maximizar el área.

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 11

6. Determine el máximo absoluto y el mínimo absoluto de f (x, y) = x

2

− 4 xy + y

3

+ 4y, en el

cuadrado R = [0, 2] × [0, 2].

7. Determine la distancia mínima entre el punto (1, 2 , 0) y el cono z

2

= x

2

+ y

2

8. Encuentre los valores máximos y mínimos de f (x, y) = y

2

− x

2

sobre el triángulo cerrado

cuyos vértices son (0, 0), (1, 2) y (2, −2).

3.4 Extremos restringidos y multiplicadores de Lagrange

En esta sección se estudia un método para encontrar máximos y mínimos de funciones con cier-

tas restricciones sobre el dominio de la función. Interesa, en particular que usted comprenda el

teorema que sustenta el método de multiplicadores de Lagrange para calcular los puntos críticos de

una función f con ciertas restricciones. Este teorema es el número 8 y se encuentra en la página

218. (209. Teorema 9)

Con las hipótesis dadas en el teorema correspondiente, se establece es que si se quiere maxi-

mizar o minimizar la función f (x

1

,... , x

n

) sujeta a la restricción g(x

1

,... , x

n

) = c, entonces, para

determinar los puntos críticos, debe resolverse el sistema de ecuaciones

∂f

∂x

1

∂g

∂x

1

∂f

∂x

2

∂g

∂x

2

∂f

∂x

n

∂g

∂x

n

g(x

1

,... , x

n

) = c

Si el sistema se resuelve por completo entonces se determinarán valores de x

1

,... , x

n

, λ. Los

valores importantes son los de las equis; el valor de λ (llamado multiplicador de Lagrange) so-

lamente es auxiliar e incluso puede darse el caso de que se encuentren los puntos críticos sin

encontrar λ en forma explícita.

El método proporciona los puntos críticos pero NO indica cuáles son máximos o mínimos.

Usualmente la naturaleza del problema permite saber, sin muchas dificultades, cuáles son máxi-

mos o mínimos. Finalmente, pueden presentarse dos restricciones de la forma g

1

(x

1

,... , x

n

y g

2

(x

1

,... , x

n

) = 0. En ese caso, para determinar los puntos críticos, se debe resolver el sistema

12 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR

de ecuaciones:

∂f

∂x

1

1

∂g

1

∂x

1

2

∂g

2

∂x

1

∂f

∂x

2

1

∂g

1

∂x

2

2

∂g

2

∂x

2

∂f

∂x

n

1

∂g

1

∂x

n

2

∂g

2

∂x

n

g

1

(x

1

,... , x

n

g

2

(x

1

,... , x

n

A partir de aquí es evidente como se procedería si hubiera tres restricciones o más.

Observaciones

• La estrategia de multiplicadores de Lagrange para encontrar máximos o mínimos absolu-

tos en regiones con frontera, NO se estudiará. Tampoco la sección "Criterio de la segunda

derivada para extremos condicionados".

• La lista de ejercicios recomendados de la sección son del 1 al 22.

Ejemplos resueltos tomados de la lista de ejercicios, páginas de la 234 a la 237 (223 a la 225)

1. Hallar los extremos de f (x, y) = x − y sujeto a la restricción x

2

− y

2

Solución: Si se hace g(x, y) = x

2

− y

2

− 2 , la restricción es g(x, y) = 0 y el sistema a resolver

es

∂f

∂x

∂g

∂x

∂f

∂y

∂g

∂y

g(x, y) = 0

Es decir, calculando las derivadas parciales correspondientes:

1 = λ(2x) (4)

−1 = λ(− 2 y) (5)

x

2

− y

2