Calculus 1 (introduction to real analysis), Lecture notes of Calculus

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Apuntes de C´alculo III

basados en el curso del maestro

Ra´ul Vallejo Garamendi

Ciudad de M´exico Enero 2017

Ra´ul Vallejo Apuntes de C´alculo

ii

Apuntes de C´alculo Ra´ul Vallejo

5.3. Cap´ıtulo 3.................................... 132 5.4. Cap´ıtulo 4.................................... 160

´INDICE GENERAL 1 ´INDICE GENERAL

Ra´ul Vallejo Apuntes de C´alculo

´INDICE GENERAL 2 ´INDICE GENERAL

Ra´ul Vallejo Apuntes de C´alculo

1.2. Producto escalar

Definici´on. Definimos el producto escalar de dos vectores como la funci´on 〈 , 〉 : Rn^ × Rn^ → R, (x, y) 7 → 〈x, y〉 de modo tal que:

〈x, y〉 :=

∑^ n

j=

xj yj = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... + xnyn

Proposici´on 1 (Propiedades del producto escalar). Para cualesquiera x, y, z ∈ Rn^ y para cualquier α ∈ R se tienen las siguientes propiedades:

i) Positividad: 〈x, x〉 ≥ 0 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0

iii) Simetr´ıa: 〈x, y〉 = 〈y, x〉

iv) Linealidad: 〈x + y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉 〈αx, y〉 = α〈x, y〉 = 〈x, αy〉

Demostraci´on.

i) Sea x ∈ Rn. Luego, para j = 1,... , n, como xj es real entonces x^2 j ≥ 0. Por lo tanto

〈x, x〉 =

∑^ n

j=

x^2 j ≥ 0

ii) Si x = ˜0, entonces 〈x, x〉 =

∑^ n

j=

Si 〈x, x〉 =

∑^ n

j=

x^2 j = 0, como xj ∈ R para j = 1,... , n entonces x^2 j ≥ 0 y como 〈x, x〉

es una suma de reales positivos igual a cero, entonces xj = 0 para toda j = 1,... , n.

iii) Sean x, y ∈ Rn. R es un campo por lo que el producto conmuta, por lo tanto:

〈x, y〉 =

∑^ n

j=

xj yj =

∑^ n

j=

yj xj = 〈y, x〉

1.2. PRODUCTO ESCALAR 4 CAP´ITULO 1. EL ESPACIO VECTORIAL RN

Apuntes de C´alculo Ra´ul Vallejo

iv) Sean x, y, z ∈ Rn. R es un campo por lo tanto el producto distribuye sobre la suma, entonces:

〈x + y, z〉 =

∑^ n

j=

(xj + yj )zj =

∑^ n

j=

(xj zj + yj zj ) =

∑^ n

j=

xj zj +

∑^ n

j=

yj zj = 〈x, z〉 + 〈y, z〉

v) Sea α ∈ R y x ∈ Rn. Tenemos que:

〈αx, y〉 =

∑^ n

j=

(αxj )yj =

∑^ n

j=

α(xj yj ) Asoc. del producto en R

= α

∑^ n

j=

xj yj Dist. del producto sobre la suma en R

= α〈x, y〉

Similarmente:

〈αx, y〉 =

∑^ n

j=

(αxj )yj =

∑^ n

j=

α(xj yj ) Asociatividad del producto en R

∑^ n

j=

xj (αyj ) Conm. y asoc. del producto en R

= 〈x, αy〉

Proposici´on 2 (Desigualdad de Schwarz). Para cualesquiera x, y ∈ Rn^ se tiene que:

(〈x, y〉)^2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉 (1.3)

Demostraci´on. Si x o y son el ˜0 la desigualdad es obvia. Supongamos entonces x 6 = ˜ 0 y y 6 = ˜0. Sea λ ∈ R. Tenemos que:

〈x + λy, x + λy〉 = 〈x, x + λy〉 + 〈λy, x + λy〉 Aditividad de 〈, 〉 = 〈x, x〉 + 〈x, λy〉 + 〈λy, x〉 + 〈λy, λy〉 Aditividad de 〈, 〉 = 〈x, x〉 + λ〈x, y〉 + λ〈x, y〉 + λ^2 〈y, y〉 Simetr´ıa y homogeneidad de 〈, 〉 = 〈x, x〉 + 2λ〈x, y〉 + λ^2 〈y, y〉 ≥ 0 〈, 〉 es definido positivo

CAP´ITULO 1. EL ESPACIO VECTORIAL RN^5 1.2. PRODUCTO ESCALAR

Apuntes de C´alculo Ra´ul Vallejo

1.3. Norma

Definici´on. Definimos la norma euclidiana de un vector x ∈ Rn^ como la funci´on ‖ ‖ : Rn^ → R, x 7 → ‖x‖ tal que: ‖x‖ :=

〈x, x〉 Ejemplos:

Si x ∈ R^2 , x = (x 1 , x 2 ), entonces ‖x‖ =

x^21 + x^22

x ∈ R^3 , x = (x 1 , x 2 , x 3 ), luego ‖x‖ =

x^21 + x^22 + x^23

Proposici´on 4 (Propiedades de la norma euclidiana). Para toda x, y ∈ Rn

i) ‖x‖ ≥ 0

ii) ‖x‖ = 0 ⇔ x = ˜ 0

iii) Si λ ∈ R, ‖λx‖ = |λ| ‖x‖

iv) Desigualdad del tri´angulo ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (1.4)

Demostraci´on. i), ii) y iii) se siguen r´apidamente de i), ii) y v) respectivamente de la proposici´on 1. Demostremos pues la desigualdad del tri´angulo.

Tenemos que: ‖x + y‖^2 = 〈x + y, x + y〉 = 〈x, x〉 + 2〈x, y〉 + 〈y, y〉 = ‖x‖^2 + 2〈x, y〉 + ‖y‖^2 ≤ ‖x‖^2 + 2|〈x, y〉| + ‖y‖^2

De la desigualdad de Schwarz (1.3) se sigue que: ‖x + y‖^2 ≤ ‖x‖^2 + 2〈x, y〉 + ‖y‖^2 ≤ ‖x‖^2 + 2 ‖x‖ ‖y‖ + ‖y‖^2 = (‖x‖ + ‖y‖)^2 Tomando ra´ız cuadrada a ambos lados de la desigualdad tenemos que:

‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖

que es la desigualdad 1.

Ejercicios

CAP´ITULO 1. EL ESPACIO VECTORIAL RN^7 1.3. NORMA

Ra´ul Vallejo Apuntes de C´alculo

1. Sean x, y ∈ Rn^ entonces: ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ⇐⇒ y = λx, λ ≥ 0
2. Para toda x, y ∈ Rn^ se tiene la igualdad del paralelograma: ‖x + y‖^2 + ‖x − y‖^2 = 2

‖x‖^2 + ‖y‖^2

Proposici´on 5. Para cualesquiera x, y ∈ Rn^ se cumple:

|‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x − y‖ (1.6)

Demostraci´on. Por la desigualdad del tri´angulo (1.4) tenemos: ‖x‖ = ‖x + y − y‖ ≤ ‖x − y‖ + ‖y‖ ∴ ‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x − y‖ (1) Similarmente, ‖y‖ − ‖x‖ ≤ ‖y − x‖ = | − 1 | ‖x − y‖ = ‖x − y‖. De lo anterior y (1) se sigue la desigualdad 1.

Proposici´on 6. Sea x = (x 1 ,... , xn) ∈ Rn. Entonces:

|xj | ≤ ‖x‖ ≤

∑^ n

k=

|xk| j = 1,... , n

Demostraci´on. Para cualquier j ∈ { 1 ,... , n} tenemos:

|xj |^2 ≤

∑^ n

k=

|xk|^2

∴ |xj | ≤

√√ ∑n

k=

|xk|^2 = ‖x‖ (1)

Por otro lado, tenemos que: ( (^) n ∑

k=

|xk|

∑^ n

k=

x^2 k +

∑^ n

k=

∑^ n

l 6 =k

|xk||xl|

Dado que la segunda suma es de t´erminos positivos entonces: ( (^) n ∑

k=

|xk|

∑^ n

k=

x^2 k

∑^ n

k=

|xk| ≥ ‖x‖ (2)

De (1) y (2) se sigue lo que quer´ıamos demostrar

1.3. NORMA 8 CAP´ITULO 1. EL ESPACIO VECTORIAL RN

Ra´ul Vallejo Apuntes de C´alculo

1.4. DISTANCIA 10 CAP´ITULO 1. EL ESPACIO VECTORIAL RN

Cap´ıtulo 2

Topolog´ıa de R

n

2.1. Preliminares

Definici´on. Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A est´a contenido en B si ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B. Lo denotamos por A ⊂ B.

Definici´on (Igualdad de conjuntos). El conjunto A = B si A ⊂ B y B ⊂ A.

Definici´on. Definimos la diferencia de conjunto como:

A \ B := {x ∈ A | x /∈ B}

Definici´on. Dado I un conjunto de ´ındices definimos una familia o colecci´on de conjuntos como {Aα}α∈I con Aα alg´un conjunto para cada α ∈ I.

Por ejemplo:

I = { 1 , 2 , 3 } entonces {A 1 , A 2 , A 3 } es una familia de conjuntos.

{Aα}α∈R.

I puede ser igual a N o a Z por ejemplo.

Definici´on (Uni´on de una colecci´on de conjuntos). Dada una colecci´on {Aα}α∈I definimos

la uni´on de los conjuntos Aα, denotada por

α∈I

Aα como:

⋃

α∈I

Aα : = {x | x ∈ Aα para alg´un α ∈ I}

= {x | ∃α ∈ I 3 x ∈ Aα}

Ejemplos:

11

Apuntes de C´alculo Ra´ul Vallejo

2.2. Conjuntos en Rn

Describa los siguientes conjuntos de manera gr´afica:

A = {x = (x 1 , x 2 ) | 2 x 1 − x 2 + 1 < 0 }. La recta y = 2x 1 + 1 es nuestra referencia: todos los puntos por encima de ella son el conjunto A. En efecto, tomando (x 1 , x 2 ) de tal modo que x 2 > y = 2x 1 + 1, implica que 2x 1 − x 2 + 1 < 0 y por lo tanto (x 1 , x 2 ) ∈ A. Si tomamos (x 1 , x 2 ) con x 2 ≤ y = 2x 1 + 1 entonces 2x 1 + 1 − x 2 ≥ 0 y por lo tanto (x 1 , x 2 ) ∈/ A.

Conjunto A

B =

(x 1 , x 2 ) | x^21 ≥ x 2

Cuando x^21 = x 2 tenemos la gr´afica de la par´abola. Como adem´as el conjunto pide x^21 ≥ x 2 entonces todos los puntos (x 1 , x 2 ) por debajo de dicha gr´afica estar´an en el conjunto B.

Conjunto B

CAP´ITULO 2. TOPOLOG´IA DE RN^13 2.2. CONJUNTOS EN RN

Ra´ul Vallejo Apuntes de C´alculo

C =

(x 1 , x 2 ) | x^21 + x^22 ≤ 2 x 1

De la desigualdad tenemos que x^21 − 2 x 1 + x^22 ≤ 0. Completando el trinomio llegamos a que (x 1 − 1)^2 + x^22 ≤ 1. Cuando se cumple la igualdad, tenemos una elipse con centro en (1, 0) y con la desigualdad menor que obtenemos todos los puntos dentro de la elipse. En efecto, tomando un punto dentro de la elipse (x 1 , x 2 ), supongamos que x 2 > 0 y tomando y > 0 de tal modo que (x 1 , y) est´e sobre la elipse, tenemos que x 2 < y (de lo contrario el punto se saldr´ıa del ´area delimitada por la elipse), entonces x^22 < y^2 ⇒ (x 1 − 1)^2 + x^22 < (x 1 − 1)^2 + y^2 = 1 ⇒ (x 1 , x 2 ) ∈ C. De manera an´aloga para x 2 < 0.

Por ´ultimo, si un punto est´a fuera de la elipse (x 1 , x 2 ) supongamos x 2 > 0 y sea y > 0 tal que (x 1 , y) est´e sobre la elipse. Como el punto (x 1 , x 2 ) est´a fuera de la elipse entonces x 2 > y y se concluye que (x 1 , x 2 ) ∈/ C. Similarmente si x 2 < 0. Con ello hemos probado que el conjunto C es el ´area delimitada por la elipse y ella misma.

Conjunto C

D = {(x 1 , x 2 ) | |x 1 | = 1}.

Como |x 1 | = 1 entonces los ´unicos valores que puede tomar son {− 1 , 1 }. No hay ninguna restricci´on respecto a x 2 por lo tanto el conjunto D son las rectas paralelas al eje y que pasan por (1, 0) y (− 1 , 0).

2.2. CONJUNTOS EN RN^14 CAP´ITULO 2. TOPOLOG´IA DE RN

Ra´ul Vallejo Apuntes de C´alculo

2.3. Topolog´ıa de Rn

Definici´on. Sea a ∈ Rn^ y ε > 0. Definimos la vecindad de radio ε con centro en a, denotada por Vε(a), como:

Vε(a) : = {x ∈ Rn^ | d(x, a) < ε} = {x ∈ Rn^ | ‖x − a‖ < ε}

Por ejemplo, si a ∈ R^2 , a = (a 1 , a 2 ), dado un ε > 0 tenemos:

Vε(a) =

x ∈ R^2 | ‖x − a‖ < ε

x ∈ R^2 |

(x 1 − a 1 )^2 + (x 2 − a 2 )^2 < ε

Este ´ultimo conjunto es el disco con centro en a y radio ε. Definimos la esfera con centro en a y radio ε y la denotamos por S como:

S := {x ∈ Rn^ | ‖x − a‖ = ε}

Si a ∈ R, entonces:

Vε(a) = {x ∈ R | |x − a| < ε} = {x ∈ R | − ε < x − a < ε} = {x ∈ R | a − ε < x < a + ε} = (a − ε, a + ε)

Es decir, las vecindades en R son intervalos abiertos. Ejercicios

3. Sea a ∈ Rn. Pruebe las siguientes igualdades: ⋃

ε∈R+

Vε(a) = Rn^

ε∈R+

Vε(a) = {a}

Definici´on. Sea X ⊆ Rn^ y a ∈ X. Decimos que a es un punto interior de X si existe ε > 0 tal que Vε(a) ⊆ X. Al conjunto de todos los puntos interiores de un conjunto X le llamamos el interior de X y lo denotamos por X◦.

Ejemplos:

2.3. TOPOLOG´IA DE RN^16 CAP´ITULO 2. TOPOLOG´IA DE RN

Apuntes de C´alculo Ra´ul Vallejo

Figura 2.1: Punto interior

Sea X = {x = (x 1 , x 2 ) | 0 < x 1 ≤ 1 }. Entonces a =

es un punto interior de

X. En efecto, a ∈ X y sea b = (b 1 , b 2 ) ∈ V (^14)

, entonces:

√(

b 1 −

• (b 2 − 1)^2 = ‖b − a‖ <

y por la proposici´on 6: ∣∣ ∣∣b 1 − 1 2

∣∣ ≤ ‖b − a‖ < 1 4

< b 1 −

< b 1 <

< 1 =⇒ b ∈ X

Como b fue arbitrario concluimos que V (^14)

⊂ X y por lo tanto a es punto interior de X

Sea X = {x = (x 1 , x 2 ) | 0 < x 2 ≤ 1 }. a = (0, 1) ∈ X sin embargo a no es punto inte-

rior de X, pues para ε > 0, aε =

ε 2

∈ Vε(a), pues ‖aε − a‖ =

( (^) ε 2

ε 2

< ε, sin embargo 1 < 1 +

ε 2

y por lo tanto aε ∈/ X. Es decir, para todo ε > 0, Vε(a) 6 ⊂ X que implica que a no es punto interior de X.

Definici´on. Sea X ⊆ Rn. Se dice que X es un conjunto abierto de Rn^ si todos los puntos de X son puntos interiores, i.e.,

X es abierto si ∀a ∈ X ∃ε > 0 3 Vε(a) ⊆ X

De la definici´on se sigue que un conjunto es abierto si y s´olo si es igual a su interior. Ejemplos:

CAP´ITULO 2. TOPOLOG´IA DE RN^17 2.3. TOPOLOG´IA DE RN