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Exercices de microéconomie^12
Pr. Pascal FAVARD
21 août 2015
- Ces exercices sont écrits en Latex et les graphiques en Tikz. Ils font une large place aux graphiques et sont d’un niveau intermédiaire. Les corrections sont très détaillées mais elles n’ont aucun intérêt si vous n’avez pas tout d’abord passé du temps à faire ces exercices par vous même. Il est impossible de citer toutes mes sources d’inspiration mais sachez que rien n’est jamais vraiment original...
- Merci de me signaler les erreurs ou les coquilles.
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Sommaire
- 1 Consommation Page
- 2 Production
- 3 Risque & Dynamique
- 4 Équilibre partiel
- 5 Équilibre général
- 6 Monopole
- 7 Équilibre de Nash
- Références bibliographiques
- Liste des figures
- Liste des tables
- Index
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Les industriels s’y intéressent de plus en plus. Le mois dernier, à Dubaï, les participants au Sommet sur l’agenda global, dont les re- commandations alimenteront la réflexion des grands de ce monde au Forum de Davos de janvier prochain, ont pu voir une série de cli- chés montrant d’étranges cyborgs déambulant dans les allées des grandes surfaces. Sur le nez : des lunettes munies d’une caméra intégrée à la monture et couplée à un oculomètre (ou « eye- tracker ») mesurant le temps de fixation des yeux sur chaque stimulus visuel présent dans le champ de vision. Sur le crâne : des électrodes enregistrant en temps réel les variations de l’ac- tivité électrique des neurones du cortex céré- bral. Le tout relié à un smartphone collectant les données. Ces consommateurs du 3e type sont les co- bayes d’une expérience d’envergure conduite à la demande des organisateurs du Forum de Davos par Olivier Oullier, professeur à Aix- Marseille Université, où il enseigne la psycho- logie et les neurosciences. Initiée en septembre 2013 et menée dans plusieurs pays (Etats-Unis, Angleterre, Inde, Chine...), elle vise à mieux cer- ner comment les jeunes de la « génération Y » (15-35 ans) réagissent aux messages environne- mentaux mis en avant par les fabricants. Il y a une quinzaine d’années, une telle étude aurait reposé exclusivement sur les mé- thodes classiques d’enquête : sondages, ques- tionnaires, entretiens... Mais le développement rapide des technologies d’imagerie cérébrale - électroencéphalographie (EEG) ou imagerie par résonance magnétique fonctionnelle (IRMf) - a changé la donne. Et permis d’affiner considéra- blement les résultats. Car toute enquête fondée sur la verbalisation par les individus de leurs propres jugements ou préférences est nécessai- rement biaisée par des distorsions bien connues des psychologues (rationalisation a posteriori, désirabilité sociale). Pour connaître ce que les gens ont réellement dans la tête, rien de tel que de la sonder par imagerie! Pas de bouton « achat » Plusieurs expériences sont venues mettre en lumière cet écart entre ce que les gens disent (de bonne foi) qu’ils ressentent et ce qu’ils res- sentent réellement, entre ce qu’ils disent qu’ils vont faire et ce qu’ils font en effet. L’une des plus révélatrices est celle conduite en 2010 par la neuroscientifique américaine Emily Falk. Une vingtaine de personnes à qui étaient montrées des affiches préconisant l’usage de crème so- laire cependant qu’elles étaient soumises à une IRMf devaient dire si elles avaient l’intention ou pas d’en utiliser, après quoi elles pouvaient rentrer chez elles avec un tube de crème. Une semaine plus tard, leur attitude vis-à-vis de ce tube était contrôlée à l’improviste. Il est apparu que leur comportement effectif concordait rare- ment avec leurs déclarations d’intention... mais bien davantage avec les résultats de l’IRMf : chez les personnes qui avaient effectivement utilisé de la crème, une certaine zone du cer- veau (le cortex préfrontal médian) s’était activée au moment de l’examen. En d’autres termes, l’imagerie cérébrale s’est révélée un meilleur prédicteur du comportement des sujets que leurs propres déclarations. Il ne faudrait cependant pas croire que notre cerveau est devenu transparent comme du cristal pour les spécialistes des neurosciences du consommateur. Car cette discipline brosse, d’étude en étude, un tableau toujours plus com- plexe et nuancé de ce qui se passe à l’inté- rieur de notre boîte crânienne au moment où nous décidons d’acheter ou non un produit ou lorsque nous regardons un spot publicitaire. « Il n’y a pas de correspondance directe entre les aires du cerveau et les fonctions cognitives, pas de relation univoque entre l’activité cérébrale
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et un comportement aussi complexe que, par exemple, la décision d’achat. Une aire du cer- veau n’est jamais dévolue à une seule fonction. Elle peut avoir des rôles différents selon le ré- seau cérébral dans lequel elle s’intègre », ex- plique Olivier Oullier. Rien donc dans notre cer- veau ne ressemble de près ou de loin à ce bou- ton « achat » qui a tant fait fantasmer... Une expérience conduite l’an dernier par le neuroscientifique américain Seung-Lark Lim a montré que l’évaluation d’un simple tee-shirt mobilisait trois zones différentes du cerveau et se faisait en deux temps : dans un premier temps, le gyrus fusiforme évalue la couleur du tee-shirt (attribut visuel) tandis que la partie postérieure du gyrus temporal supérieur évalue le logo imprimé dessus (attribut sémantique) ; puis ces deux évaluations indépendantes sont intégrées dans une troisième zone, le cortex pré- frontal ventromédian, qui joue un rôle clef dans nos prises de décision. Evidemment, ce méli-mélo cérébral n’est pas de nature à faciliter la tâche des experts en neuromarketing chargés de vendre leurs ana- lyses... Mais les neurosciences du consomma- teur n’en continuent pas moins de progresser, à leur rythme, dans leur exploration de nos méandres cérébraux. « Notre discipline n’a pris son essor que dans les années 1990, grâce au dé- veloppement des techniques d’imagerie. Nous en sommes encore à la première phase, qui consiste à identifier les différents réseaux céré- braux d’intérêt », reconnaît Olivia Petit, qui a soutenu sa thèse l’an dernier à Aix-Marseille Université sous la direction d’Olivier Oullier. Pour une jeune chercheuse comme elle, c’est le moment parfait pour se lancer! Un marché florissant Aujourd’hui, quelque 150 officines privées se disputent le marché du neuromarketing. Parmi elles, quelques grands noms : le bri- tannique Neurosense, créé en 1999 à Oxford par le professeur Gemma Calvert, pionnière des neurosciences du consommateur ; l’améri- cain Brighthouse, basé à Atlanta, à un jet de pierre du siège de Coca-Cola ; ou encore Neu- rofocus, une firme née à Berkeley, rachetée en 2008 par Nielsen et ayant fait venir dans son board le neuropsychiatre américain Eric Kan- del, prix Nobel de médecine 2000 pour ses tra- vaux sur la mémoire. Tous ces cabinets ne tra- vaillent pas avec le même sérieux. Pour faire le ménage dans leurs rangs, les professionnels ont créé il y a deux ans la Neuromarketing Science and Business Association (NSBA), pré- sente dans une trentaine de pays. Son premier travail a été d’établir un code de bonnes pra- tiques. 1.1 Exercices appliqués Exercice 1 : Trois biens, bonjour les dégâts! Casimir, étudiant en 2ième^ année d’économie, est brillant. Comme il dit : « j’ai dépassé le stade des deux biens ». Casimir consomme des livres, x 1 , du Gloubi-boulga au restaurant universitaire, x 2 , et des vêtements, x 3. On suppose que ces biens ne sont pas discrets. Le prix unitaire des livres, p 1 est de 20=C, celui des repas, p 2 , est de 3=C et celui des vêtements, p 3 , est de 60=C. Ses parents lui versent, m, 400=C. 1 – Quel est l’ensemble de consommation de Casimir? 2 – Donnez l’équation de la contrainte budgétaire de Casimir. 3 – Donnez la contrainte budgétaire de Casimir s’il ne consomme que deux des trois biens.
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- Le restaurant propose cette tarification pour, par exemple, étaler dans le temps les repas en fonc- tion de la disposition à payer des consommateurs et donc mieux utiliser sa capacité de production qui est forcément limitée. Dans le même temps cela permet de faire venir des consommateurs qui ont une disposition maximale à payer un repas plus faible que 5=C.
- Si Pépé prend son repas à midi, il lui reste : 15 − 5 = 10 =C.
- Si Pépé prend son repas à 14h, il lui reste : 15 − ( 5 − 2 ) = 12 =C.
- Moins il dépense pour le repas, plus il peut dépenser pour le reste, noté y. La somme des deux devant être égale à 15=C, on a donc : ( 5 − t) + y = 15 ⇒ y = 10 + t = 10 + |h − 12 | où h est l’heure effective du repas, donc : ⇒ y =
10 + h − 12 = h − 2 , si h > 12 10 − h + 12 = 22 − h , si h ≤ 12 Graphiquement c’est donc deux segments de droites, un de pente −1 et l’autre de pente 1 (cf. Fi- gure 1.2). 11 11 12 10 15 13 Bien agrégé O Heures Figure 1.2 : Contrainte de Pépé
- Les courbes d’indifférence de Pépé cohérentes avec ses goûts sont, par exemple, du type : (cf. Fi- gure 1.3).
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Heures Bien agrégé (^011 12 13 14 ) 5 10 15 I^3 I 2 H•∗ 1 H• I 1 2 ∗ Figure 1.3 : Courbes d’indifférence de Pépé : « pas midi »
- Des courbes d’indifférence, telles que Pépé mange à midi, peuvent être de la forme suivante : (cf. Figure 1.4). Heures Bien agrégé (^011 12 13 14 ) 5 10 15 I 3 I 2
H∗ Figure 1.4 : Courbes d’indifférence de Pépé : « midi » Exercice 3 : Des ronds dans l’eau Calvin préfère consommer au goûter huit tartines, x 1 , et quatre verres de lait, x 2 , à toute autre combinaison de ces deux biens. Sa mère lui donne chaque jour, treize tartines et un verre de lait. Un jour, c’est la tante de Calvin qui le garde. Elle lui donne deux tartines et sept verres de lait. Calvin ne trouve pas que ce que lui donne sa mère est idéal mais ce que lui donne sa tante, c’est pire! 1 – Quel est l’ensemble de consommation de Calvin?
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8 4 2 4 7 13 1 Lait O^ Tartines T •
sentier consommation-revenu Figure 1.6 : Courbes d’indifférence : cercles
- On doit tracer le sentier consommation-revenu (x 2 ∗ (x 1 ∗ )). Lorsque le montant d’argent de poche est plus élevé que celui qui permet à Calvin d’acheter le panier (8,4) donc que 12=C, Calvin n’a pas intérêt à changer de panier. Il ne dépense pas tout son pécule. En revanche, si le pécule de Calvin est de moins de 12=C, il va alors essayer d’égaliser la valeur absolue de son TmS (
∣ dx dx^21
∣ x x^12 −−^84
au rapport de prix (i.e. 1). Comme les courbes sont des cercles, l’ensemble des paniers de biens où la valeur absolue du TmS est égale à un, est la droite (i.e. x 2 = x 1 − 4) de pente égale à un, passant par le centre du cercle. Lorsque Calvin a moins de quatre euros, il ne peut plus égaliser la valeur absolue de son TmS à un. Il ne consomme alors que des tartines (cf. Figure 1.6). (x 1 ∗ (m), x∗ 2 (m)) =
(m, 0) , si m ≤ 4 ( (^) m + 4 2 , m^ −^4 2
, si m ∈ (^) ]4, 12[ (8, 4) , si m ≥ 12
Le sentier consommation-revenu, représenté en vert (cf. Figure 1.6), a donc pour équation : x∗ 2 (x 1 ∗ ) =
0 , si x∗ 1 ≤ 4 x∗ 1 − 4 , si x∗ 1 ∈ ]4, 8]
- Avec (1.1), c’est immédiat (cf. Figure 1.7) :
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unité de bien O 4 m 4 12 8 Courbe d’Engel (Tartines) Courbe d’Engel (Lait) Figure 1.7 : Courbes d’Engel : Lait et Tartines Exercice 4 : Travailler c’est trop dur Fanée Kô suit un cours d’économie. Durant ce cours, il y aura deux contrôles notés sur 20. La note finale sera le maximum des deux notes. Elle dispose de 400 minutes en tout pour préparer ces deux contrôles. Elle ne peut pas profiter du temps non utilisé pour travailler ses examens. Elle n’a aucune désutilité du travail. Si elle ne travaille pas un contrôle, elle aura zéro, et toutes les dix minutes (vingt minutes) de travail, sa note du premier (second) contrôle augmente d’un point. Son niveau d’utilité est donné par sa note finale. 1 – Représentez la « droite de budget » en violet et les courbes d’indifférence en bleu de Fanée Kô. 2 – Déterminez le(s) meilleur(s) choix de Fanée. Représentez-les en rouge sur le graphique précé- dent. 3 – Que se passe t-il si le professeur prend le minimum des deux notes? 4 – Pédagogiquement, quel système devrait choisir le professeur? Solution :
- Ici l’espace de « consommation » n’est pas R^2 +. La « droite » de budget a pour équation : 10N 1 + 20 N 2 = 400 ⇒ N 1 + 2 N 2 = 40 avec Ni la note au contrôle i si N 2 > 10 et N 1 = 20 si N 2 ≤ 10. Les courbes d’indifférences sont concaves. C’est, pour chaque niveau de satisfaction, la réunion d’un segment horizontal et d’un segment vertical (cf. Figure 1.8). Les points anguleux se situent sur la première bissectrice.
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- Dans le second cas, Fanée ne peut pas privilégier un de ses deux contrôles et donc doit travailler les deux contrôles. Exercice 5 : Faguo La fonction d’utilité de Zheng Fang est la suivante : u(x 1 , x 2 ) = (x 1 + 4 )(x 1 + x 2 ) où x 1 est la quantité consommée de viande et x 2 est la quantité consommée de soupe. Le revenu de Zheng est de R euros. Ce revenu est intégralement utilisé à l’achat de ces deux biens. Le prix du kilo de viande est de 3=C et celui du litre de soupe est de 2=C. 1 – Quel est l’espace de consommation de Zheng Fang? 2 – Écrivez l’équation de la contrainte budgétaire de Zheng Fang. 3 – Représentez, après une étude mathématique détaillée, la courbe d’indifférence de niveau u. 4 – Déterminez le meilleur choix de Zheng Fang. 5 – Déterminez l’équation du sentier d’expansion revenu et dessinez-le sur un nouveau graphique. 6 – Déterminez les équations des courbes d’Engel et dessinez-les sur un nouveau graphique. 7 – Caractérisez ces biens, viande et soupe, pour Zheng Fang. Solution :
- X = R^2 +.
- La contrainte budgétaire de Zheng est : 3 x 1 + 2 x 2 = R (1.1) ⇔ x 2 = R^ − 2 3 x^1. Il s’agit d’une droite de pente − 32 , d’ordonnée à l’origine R 2 et d’abscisse à l’origine R 3 , droite violette (cf. Figure 1.10).
- L’équation de cette courbe d’indifférence est donnée par : u(x 1 , x 2 ) = u ⇔ (x 1 + 4 )(x 1 + x 2 ) = u ⇔ (x 1 + x 2 ) = (^) (x u 1 +^4 )^ ⇔ x 2 = (^) (x u 1 +^4 )^ − x 1 = Iu(x 1 ). Il faut alors étudier cette fonction Iu :
R + −→ R +
x 1 7 −→ (^) (x u 1 +^4 )^ − x 1
dIu(x 1 ) dx 1 =^ −^ u (x 1 + 4 )^2 −^1 <^0 d^2 Iu(x 1 ) dx^21 = (^2) (ux(x^1 +^4 ) 1 +^4 )^4 = (^) (x^2 u 1 +^4 )^3
Lim x 1 →^0 dIu(x 1 ) dx 1 =^ −^ u 16 −^ 1 et^ xLim 1 →+∞ dIu(x 1 ) dx 1 =^ −1.
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La courbe d’indifférence de niveau u est décroissante et strictement convexe. La fonction d’utilité est donc strictement quasi-concave. Cela n’exclut pas la possibilité d’une solution en coin, puisque les courbes d’indifférence coupent les axes. En revanche, cela garantit l’unicité de la solution. Aucun des deux biens est essentiel, les limites aux bords de la dérivée première étant finies, pour Zheng. Il faut donc envisager la possibilité que sa consommation de soupe soit nulle ou que sa consommation de viande soit nulle. L’ordonnée à l’origine est donnée par : Iu( 0 ) = u 4 et l’abscisse à l’origine par : Iu(x 1 ) = 0 ⇔ (^) (x u 1 +^4 )^ − x 1 = 0 ⇔ u = x 1 (x 1 + 4 ) ⇔ x^21 + 4 x 1 − u = 0. Ce polynôme d’ordre 2 admet deux solutions réelles : x 11 =
u + 4 − 2 > 0 et x 12 = −
u + 4 − 2 < 0, comme u est positif et que la quantité de viande consommée par Zheng doit être positive, l’abs- cisse à l’origine est x 11 (cf. Figure 1.10). Bol Soupe O √ Kg Viande u + 4 − 2 Iu u 4 R 2 R 3 Figure 1.10 : Courbe d’indifférence de Zheng Fang de niveau u
- Le programme de Zheng est :
PZ
∣∣ ∣∣ ∣∣
Max {x 1 ,x 2 } u(x 1 , x 2 ) = (x 1 + 4 )(x 1 + x 2 ) slc 3 x 1 + 2 x 2 = R
Il faut d’abord calculer le TmS. On sait que : |TmS 12 | =
∣∣^ dx^2 dx 1
∂ u(x 1 , x 2 ) ∂ x 1 ∂ u(x 1 , x 2 ) ∂ x 2 = 2 x^1 x^ +^ x^2 +^4 1 +^4
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avec R ∈ [4, 12]. Le meilleur choix de Zheng en fonction des valeurs de R est donc : (x∗ 1 , x∗ 2 ) =
( 0, R 2 )
si R < 4 ( R 2 −^ 2, 3^ −^
R
4 )
si R ∈ [4, 12] ( (^) R 3
si R > 12
- Si R < 4, alors Zheng ne consomme que de la soupe. Lorsque R = 4, x∗ 2 = 42 = 2. Si R > 12, Zheng ne consomme que de la viande. Lorsque R = 12 alors x∗ 1 = 12 3 = 4. Lorsque la solution de (1.2) est intérieure, l’équation de la courbe consommation-revenu (cf. Figure 1.11) est donnée par : 2 x 1 + x 2 + 4 x 1 + 4 =^
2 ⇔^4 x^1 +^2 x^2 +^8 =^3 x^1 +^12 ⇔^ x^2 =^ −x 1 + 4 2 Le sentier d’expansion est donné par : x∗ 2 (x∗ 1 ) =
∈ [0, 2[ si x 1 ∗ = 0 4 − x 1 ∗ 2 si^ x ∗ 1 ∈]0, 4] 0 si x 1 ∗ ∈]4, +∞]
Bol Soupe Kg Viande O 2 • sentier consommation-revenu
Figure 1.11 : Choix de Zheng Fang
- La courbe d’Engel donne la quantité consommée d’un bien en fonction du revenu du consomma- teur. On cherche donc x∗ 1 (R) et x∗ 2 (R) qui se déduisent (cf. Figure 1.12) immédiatement de (1.5).
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unité de bien O 4 R 2 12 4 Courbe d’Engel (Soupe) Courbe d’Engel (Viande) Figure 1.12 : Courbes d’Engel : Viande et Soupe
- Pour Zheng, la viande est un bien normal. La soupe est un bien inférieur lorsque le revenu est supérieur à 4=C. Sinon c’est un bien normal pour Zheng. Exercice 6 : Une ça va, quatre... Considérons deux friandises, les Rochers au chocolat noir (le bien 1) et les sucettes Chupa (le bien 2), et les quatre filles de monsieur et madame Versaire : Laure, Elsa, Annie et Rose, consommant, a priori, ces deux biens. Les quatre sœurs ont six ans aujourd’hui. Les biens 1 et 2 sont vendus respectivement 1=C et 0,5=C l’unité. Chacune a 10=C d’ar- gent de poche. Les préférences de nos consommatrices sont caractérisées par les fonctions d’utilité suivantes :
- Laure : uL(x 1 , x 2 ) = Min {x 1 + 1, x 2 + 2 },
- Elsa : uE(x 1 , x 2 ) = 2 x 1 + x 2 ,
- Annie : uA(x 1 , x 2 ) = 12 (x 1 )^2 + 4 x 2 ,
- Rose : uR(x 1 , x 2 ) = 2 x 1 x 2.
1 – Ecrire les contraintes budgétaires de chacune des quatre sœurs. 2 – Quelle est la particularité des préférences de : i) Laure ii) Elsa iii) Annie iv) Rose 3 – Calculez le Taux marginal de Substitution de : i) Laure ii) Elsa iii) Annie iv) Rose 4 – Après avoir défini leur programme, déterminez le « meilleur » panier de consommation de : i) Laure
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- On a : i. 0, indéterminé, −∞ ii. Pour calculer ce TmS, il suffit de différentier totalement (1.2), soit : dx 2 = −2dx 1 + dk. Or, le long d’une courbe d’indifférence le niveau d’utilité est constant, donc dk = 0. On a alors : ⇒ TmSE(x 1 , x 2 ) = d dxx^2 1 = −2 ; ∀(x 1 , x 2 ) ∈ R^2 + (1.5) iii. Pour calculer ce TmS, il suffit de différentier totalement (1.3), soit : dx 2 = (^14)
dk − 2 x 2 1 dx 1
. Or,
le long d’une courbe d’indifférence le niveau d’utilité est constant, donc dk = 0. On a alors : ⇒ TmSA(x 1 , x 2 ) = dx^2 dx 1 = − x^1 4 ; ∀(x 1 , x 2 ) ∈ R^2 + (1.6) iv. Pour calculer ce TmS, il suffit de différentier totalement (1.4), soit : 2x 1 dx 2 + 2 x 2 dx 1 = dk. Or, le long d’une courbe d’indifférence le niveau d’utilité est constant, donc dk = 0. On a alors : =⇒ TmSR(x 1 , x 2 ) = d dxx^2 1 = − x x^2 1 ; ∀(x 1 , x 2 ) ∈ R^2 + (1.7)
- On a : i. Laure veut maximiser son utilité sous sa contrainte budgétaire (1.1) :
PL
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
Max {x 1 ,x 2 } uL(x 1 , x 2 ) slc x 1 + x 22 = 10
Comme la fonction d’utilité n’est pas différentiable, on ne peut pas calculer les CN1. En revanche, le panier solution doit vérifier la contrainte budgétaire, mais aussi appartenir à la droite x 2 = x 1 − 1 pour ne pas « gaspiller » un des deux biens. En effet, en dehors de cette droite un certain nombre de Rochers ou de Chupas appartenant au panier considéré n’engendre aucune utilité supplémentaire. Le panier solution du programme (1.8) est donc solution du système suivant : x 2 = x 1 − 1 x 1 + x^2 2
x∗ 1 = 7 Rochers x∗ 2 = 6 Chupas ii. Son programme est le même que celui de Laure. Il y a deux façons de calculer la solution. Comme on sait que les biens sont des substituts parfaits, il suffit de comparer son TmS (−2) au rapport de prix (− (^) 0, 5^1 ). Ces deux valeurs sont égales, Elsa est donc indifférente entre tous les paniers de biens qui sont de la forme : (^) x∗ 1 = i Rochers x∗ 2 = 20 − 2 i Chupas i ∈ [0, 10] iii. Le programme d’Annie est le même que celui de Laure et d’Elsa. On ne peut pas écrire les CN1. En effet, le programme n’est pas convexe car sa fonction d’utilité n’est pas quasi-concave. En
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d’autres termes, les CN1 ne donneront pas un maximum. La solution sera donc une solution en coin. Etant donnée la contrainte budgétaire, si Annie n’achète pas de Rochers, elle peut acheter au maximum 20 Chupas. Si elle n’achète pas de Chupas, elle peut acheter au maximum 10 Ro- chers. Il suffit alors de calculer son utilité pour chacun de ces deux paniers : uA(0, 20) = 80 et uA(10, 0) = 50. Son panier optimal est donc : { x∗ 1 = 0 Rochers x∗ 2 = 20 Chupas iv. Le programme de Rose est le même que celui de ses trois soeurs. Dans ce cas, on peut toutefois, écrire les CN1. Elles sont suffisantes. En effet, le programme est convexe car sa fonction d’utilité est quasi-concave.
PR
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
Max {x 1 ,x 2 } 2 x 1 x 2 slc x 1 + x 22 = 10
Max {x 1 ,x 2 , λ } L(x 1 , x 2 , λ ) = 2 x 1 x 2 − λ
x 1 + x 22 − 10
où λ est le multiplicateur de Lagrange et L le lagrangien. Les CN1 du programme (1.10) sont : ∂ L(x∗ 1 , x∗ 2 , λ ∗) ∂ x 1 = 2 x∗ 2 − λ ∗^ = 0 ∂ L(x∗ 1 , x∗ 2 , λ ∗) ∂ x 2 =^2 x ∗ 1 −^ λ ∗ 2 =^0 ∂ L(x∗ 1 , x∗ 2 , λ ∗) ∂λ =^ −x ∗ 1 − x 2 ∗ 2 +^10 =^0
2 x∗ 2 − λ ∗^ = 0 2 x∗ 1 − λ ∗ 2 =^0 x∗ 1 + x ∗ 2 2 −^10 =^0
x∗ 1 = 5 Rochers x∗ 2 = 10 Chupas λ ∗^ = 20 Exercice 7 : Le fer à dix sous La fonction d’utilité de Popeye est la suivante : U(x, y) = x + y où x est la quantité consommée de boîtes de conserve d’épinards et y est la quantité consommée d’épinards frais vendus en botte 1. Le revenu de Popeye est de 100=C. Ce revenu est intégralement utilisé à l’achat d’épinards. Le prix de la boîte d’épinards est de 20=C et celui de la botte d’épinards de 25=C. 1 – Calculer le TmS. Quelle est la nature des deux biens considérés, pour Popeye? 2 – Déterminer le panier de consommation qui va maximiser l’utilité de Popeye. Justifier votre résultat (une justification graphique est possible). Quelle est la valeur de l’utilité en ce point?
- La quantité d’épinards est la même dans les deux cas : boîte ou botte.
