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CUERPOS EN EQUILIBRIO La estatica es el andlisis de cuerpos en equilibrio, incluidos los operadores robdticos, los puentes, las presas y los edificios. Ahora que ya hemos aprendido a calcular momentos, podemos enfrentarnos a problemas de equilibrio mas interesantes. En este capitulo se establecen las ecuaciones de equilibrio y describimos madelos sencillos de los diversos tipos de soportes utilizados en ingenieria. Luego se mostrard cOmo usar las ecuaciones de equilibrio para obtener informacién respecto a los sistemas de fuerzas y momentos que acttian sobre los cuerpos. ECUACIONES DE EQUILIBRIO Anteriormente definimos que un cuerpo esta en equilibrio cuando se encuentra en reposo o en traslacion uniforme relativa a un marco de referencia inercial. Cuando un cuerpo sobre el cual acttia un sistema de fuerzas y momentos esta en equilibrio, se curnplen las siguientes condiciones. 1. Lasuma de las fuerzas es igual a cero. 2F=0 2. La suma de los momentos respecto a cualquier punto es igual a cero, = Mi cualquier punta) = 0 Cuerpo sometido a un sistema de fuerzas y momentos Figura ib Determinacion de la suma de los momentos respecto a O. podemos elegir cualquier otro punto O” (Fig. 1c) y demostrar que la suma de los momentos respecto a O" es igual a cero. Es decir, demostraremos que = Mor = (r'a X Fa) + (t's X Fa) + (rc X Fe) + Mo + Me = 0 En funcion del vector r de O' a O, observe que ra=rety re=r+fs re=rtte Sustituyendo en la ecuacidn 3, se tiene = Mo: = (r+ ra) X Fat (r +e) X Fe + (r+ te) X Fe + Mo + Me 2 Mo =r X (Fat Fo + Fe) + (ta X Fa) + (i's X Fa) + (re X Fe) + Mo + Me EMo=rX=ZF)+=Mo=0 APLICACIONES BIDIMENSIONALES. Muchas aplicaciones en ingenieria implican sistemas de fuerzas y momentos. Por ejemplo, fuerzas y momentos ejercidos sobre diferentes vigas y estructuras planas. Aqui analizaremos soportes, diagramas de cuerpo libre y las ecuaciones de equilibrio para aplicaciones bidimensionales (cuerpos en dos dimensiones). Sistemas de fuerzas y momentos actuante = cargas Sistema de fuerza y momentos resistente = reacciones (generadas por los soportes) Sisma DE Fumzas 1 MoMesOS Aetuotes Y WowesTO) Pesisvene C Fencciouss ) Figura 2.- Sistemas de fuerzas y momentos (actuante y resistente) sobre un cuerpo. (fig. 3d). Las flechas indican las direcciones de las reacciones si Ax y Ay son positivas. Si se determina que Ax 0 Ay son negativas, la reaccidn tendra la direccidn opuesta a la de la flecha. Pasador Cuerpo soportado Figura 3. Con un soporte de pasador se representa cualquier soporte real capaz de ejercer una fuerza en cualquier direcci6n sin generar un par. Hay soportes de pasador en muchos dispasitivos comunes, come los disefiados para que partes conectadas giren una respecto a la otra (figura 4). Una superficie plana y lisa se puede representar por medio de un soporte de rodillo (figura 6). Figura 6 Los soportes de la figura 7 son similares al soporte de rodillo en que no pueden generar un par sino sdlo una fuerza normal a una direccién particular (la friccién se desprecia). El cuerpo soportado esta unido a un pasador o deslizador que se mueve libremente en una direccidn, pero no en la direccién perpendicular. A diferencia de los de rodillo, estos soportes pueden ejercer una fuerza normal en cualquier sentido. = ne {a) (b) (c) A Figura 7 Soporte de empotramiento. El soporte de empotramiento, o soporte fijo, presenta el objeto soportado literalmente empotrado en la pared (figura 8a). Para entender sus reacciones, imaginémonos sujetando una barra empotrada en la pared (figura 8b). Si intentamos trasladar la barra, el soporte genera una fuerza reactiva que lo impide; si tratamos de hacerla girar, el soporte genera un par reactivo que lo impide. Un empotramiento puede generar dos componentes de fuerza y un par (figura 8c), El término Ma es el par generado por el soporte y la flecha curva indica su direccidn. Los postes de bardas y los del alumbrado publico tienen soportes de empotramiento. Las uniones de partes conectadas que no pueden moverse una con respecto a la otra, como la cabeza y el mango de un martillo, se pueden representar como soportes empotrados. Cuerpo soportado é @ a) () Figura 8 Sopories Reacelones Soporte de pasador Y | ae ae Dos componentes de fuerza Soporte de rodillo Soportes equivalentes 2 Una fuerza normal Pasador guiado o deslizador A Una fuerza normal Soporte empotrado Dos componentes de fuerza y un par DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE, Anteriormente se presentaron los diagramas de cuerpo libre y los usamos para determinar las fuerzas que actian sobre cuerpos simples en equilibrio. Con las convenciones de soportes se pueden representar cuerpos mas elaborados y construir en forma sistematica sus diagramas de cuerpo libre. La viga mostrada en la figura la, tlene un soporte de pasador en su extremo lzquierdo y uno de rodillo en el derecho, y soporta una carga F. El soporte de rodillo esta sobre una superficie inclinada 30° respecto a la horizontal. Para obtener el diagrama de cuerpo libre de la viga, la aislamos de sus soportes (figura 1b), pues el diagrama no debe contener mas cuerpos que la viga. Completamos el diagrama con las reacciones que pueden generar los soportes sobre la viga (figura 1c). Observe que la reaccion generada por el soporte de rodillo es normal a la superficie sobre la que descansa. El cuerpo mostrado en la figura 2a, tiene un soporte de empotramiento en su extremo izquierdo, E| cable que pasa por la polea esta unido al cuerpo en dos puntos. Aislamos el cuerpo de sus soportes (figura 2b) y completamos el diagrama de cuerpo libre con las reacciones en el empotramiento y las fuerzas ejercidas por el cable (figura 2c). No hay que olvidar el par en el empotramiento. Se supuso qué la tension en el cable es la misma en ambos lados de la polea; asi, las dos fuerzas ejercidas por el cable tienen la misma magnitud T. Con el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo en equilibrio mostrando cargas y reacciones sobre él, podemos aplicar las ecuaciones de equilibria, Reacciones : debidas al cab! rT Reacciones debidas al empotramiento (bh) () Figura 2 ECUACIONES ESCALARES DE EQUILIBRIO. Cuando las cargas y las reacciones de un cuerpo en equilibrio forman un sistema bidimensional de fuerzas y momentos, se encuentran relacionadas por tres ecuaciones escalares de equilibrio: LFr=0 (1) EFy=0 (2) E Mjcuatquiar punted =0 QG) Revisando la ecuacién 3 surge la pregunta ges posible obtener mas de una ecuacidn al evaluar la suma de los momentos respecto a mas de un punto? La respuesta es Si, y en algunos casos sera conveniente hacerlo. Sin embargo, existe una limitacin: las ecuaciones adicionales no serdn independientes de las ecuaciones 1, 2 y 3. En otras palabras, no se pueden obtener mas de tres ecuaciones de equilibrio independientes para un diagrama de cuerpo libre bidimensional, lo que implica que no se pueden resolver para mas de tres fuerzas o pares desconocidos (es decir, no se pueden tener mas de tres ecuaciones). CUERPOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS, Ejemplo de soportes redundantes. Figura 2. Diagrama de cuerpo libre En este caso tenemos cuatro incdgnitas, que es el mismo niimero de reacciones que generan los dos soportes articulados y que se puede observar en el diagrama de cuerpo libre; como se trata de un cuerpo en dos dimensiones Gnicamente podemos generar tres ecuaciones independientes por lo cual tendriamos mas incdgnitas que ecuaciones. Por lo cual no se puede resolver el problema con las ecuaciones de estatica, Ejemplo de soportes impropios. Figura 3. La viga tiene dos soportes de rodillo y esta cargada con una fuerza F inclinada. a * ar I i Figura 4. Diagrama de cuerpo libre 
