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Este documento académico explora los métodos de secciones, funciones de discontinuidad y macaulay para determinar las leyes o funciones de fuerza cortante y momento flector en vigas. Se explica el método de secciones, que implica dividir la viga en segmentos para analizar las fuerzas internas. Se introducen las funciones de discontinuidad y macaulay como herramientas para expresar la carga o el momento interno en la viga usando una sola ecuación, simplificando el análisis de vigas con cargas variables.
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El análisis de cualquier viga o marco para determinar las fuerzas internas comienza con la preparación de un diagrama de cuerpo libre que muestre tanto las fuerzas aplicadas como las reactivas. Las reacciones pueden siempre calcularse usando las ecuaciones de equilibrio siempre que el sistema sea estáticamente determinado. Si el sistema es estáticamente indeterminado, las reacciones son apropiadamente marcadas y mostradas sobre el cuerpo libre. De esta manera, en todo caso, el sistema completo de fuerzas queda identificado. El método de las secciones puede entonces aplicarse a cualquier sección de una estructura, aplicando el concepto previamente empleado de que, si todo el cuerpo está en equilibrio, cualquier parte de él está igualmente en equilibrio.
Para ser más específicos, considere una viga como la de la figura 7- 11(a), con ciertas fuerzas concentradas y distribuidas actuando sobre ella. Se supone que se conocen las reacciones, Las fuerzas aplicadas externamente y las reacciones en el soporte mantienen todo el cuerpo en equilibrio. Ahora considere un corte imaginario X-X normal al eje de la viga, que la separa en dos segmentos, como se muestra en las figuras 7-11(b) y (c). Note en particular que la sección imaginaria pasa por la carga distribuida y también la separa. Cada uno de esos segmentos de viga es un cuerpo libre que debe estar en equilibrio. Esas condiciones de equilibrio requieren de la existencia de un sistema de fuerzas internas en la sección del corte de la viga. En general, en una sección de dicho miembro, son necesarias una fuerza vertical, una fuerza horizontal y un momento para mantener en equilibrio la parte aislada. Esas cantidades adquieren un significado especial en las vigas y por ello se analizarán por separado.
Popov, E. P. (2000). En Mecánica de sólidos. (pp.275-276).: México: Pearson Educación.
Funciones de singularidad. Esas funciones sólo se usan para describir el lugar del punto de aplicación de fuerzas concentradas o momentos de par que actúen sobre una viga o eje. En forma específica, una fuerza concentrada P se puede considerar como caso especial de la carga distribuida, donde la intensidad de la carga es w= P/Ɛ tal que su ancho es Ɛ, y Ɛ → 0. El área bajo este diagrama de carga equivale a P, positivo hacia abajo, por lo que se usará la función de singularidad para describir la fuerza P. Observe aquí que n=-1, para que las unidades de w sean fuerza entre longitud, tal como deben. P en el punto x=a, donde se Aplica la carga; en cualquier otro caso es cero.
Hibbeler R.C. (2017). Mecánica de Materiales (pp.594-595). Estados Unidos de América:Pearson Education.
FUNCIONES DE SINGULARIDAD
Esas funciones sólo se usan para describir el lugar del punto de aplicación de fuerzas concentradas o momentos de par que actúen sobre una viga o eje. En forma específica, una fuerza concentrada 𝑃 se puede considerar como caso especial de la carga distribuida, donde la intensidad de la carga es 𝑤 = 𝑃/Ɛ tal que su ancho es Ɛ, y Ɛ → 0. El área bajo este diagrama de carga equivale a 𝑃, positivo hacia arriba, por lo que se usará la función de singularidad para describir la fuerza 𝑃.
𝑤 = 𝑃〈𝑥 − 𝑎〉−1^ = {^0 𝑃^ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 𝑎
Observe aquí que 𝑛 = −1 , para que las unidades de w sean fuerza entre longitud, tal como deben. Además, la función sólo asume el valor de P en el punto 𝑥 = 𝑎, donde se aplica la carga; en cualquier otro caso es cero. De manera similar, un momento de par 𝑀 0 , considerado positivo en sentido horario, es un límite cuando 𝜖 → 0 de dos cargas distribuidas. Aquí, la siguiente función describe su valor.
𝑤 = 𝑀 0 〈𝑥 − 𝑎〉−2^ = {^0 𝑀^ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 𝑎 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑎
El exponente 𝑛 = −2, tiene la finalidad de garantizar que se mantengan las unidades de 𝑤 , fuerza por longitud. La integración de las dos funciones de singularidad anteriores sigue las reglas del cálculo operacional y produce
resultados diferentes a los obtenidos mediante las funciones de Macaulay. En específico
∫〈𝑥 − 𝑎〉𝑛𝑑𝑥 = 〈𝑥 − 𝑎〉𝑛+1, 𝑛 = −1, −
Hibbeler R.C. (2017). Mecánica de Materiales (p.595). Estados Unidos de América:Pearson Education.
Para trabajar con estas funciones, es conveniente introducir dos funciones simbólicas adicionales. Una es para la fuerza concentrada, tratándola como un caso derivado de una carga distribuida. La otra es para el momento concentrado, tratándola similarmente. Deben también establecerse reglas para integrar todas estas funciones. En este análisis se seguirá el enfoque heurístico.
Una fuerza concentrada puede ser considerada como una carga distribuida enormemente fuerte actuando sobre un pequeño intervalo en 𝜀, Tratando 𝜀 como una constante, se cumple lo siguiente:
lim 𝜀→0 ∫
𝑎+𝜀/ 𝑎−𝜀/
Puede verse que 𝑃/𝜀 tiene las dimensiones de fuerzas por unidad de distancia unitaria y corresponde a la carga distribuida 𝑞(𝑥) en el tratamiento anterior. Por tanto, cuando 〈𝑥 − 𝑎〉^1 → 0, para una fuerza concentrada en 𝑥 = 𝑎, por analogía de 〈𝑥 − 𝑎〉^1 con 𝜀
𝑞 = 𝑃〈𝑥 − 𝑎〉∗−
Para 𝑞, esta expresión es dimensionalmente correcta, aunque 〈𝑥 − 𝑎〉−1, en 𝑥 = 𝑎 se vuelve infinita y por definición es cero en cualquier otra parte. Se trata entonces de una función singular. En la ecuación anterior el asterisco subíndice del corchete agudo es un recordatorio de que, según la ecuación del límite, la integral de esta expresión extendida sobre el rango 𝑒 permanece acotada y, al integrarla, de la misma fuerza puntual. Por tanto, debe adoptarse una regla simbólica especial de integración:
∫ 𝑃〈𝑥 − 𝑎〉∗^ −^1 𝑑𝑥
𝑥 0
El coeficiente 𝑃 en las funciones previas se conoce como la resistencia de la singularidad. Para 𝑃 igual a la unidad, la función de carga unitaria puntual 〈𝑥 − 𝑎〉∗−1^ se llama también delta de Dirac o función de impulso unitario. Por un razonamiento análogo, la función de carga 𝑞 para un momento concentrado en 𝑥 = 𝑎 es:
𝑞 = 𝑀𝑎〈𝑥 − 𝑎〉∗^ −^2
