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Teorema de TorricelliTeorema de Torricelli
El Teorema de Torricelli o Principio de Torricelli es una aplicación del Principio de Bernoulli yEl Teorema de Torricelli o Principio de Torricelli es una aplicación del Principio de Bernoulli y estudia el flujo de unestudia el flujo de un liquido contenido en un recipiente, a trliquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajoavés de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad.la acción de la gravedad.
Para explicar el teorema de Torricelli seráPara explicar el teorema de Torricelli será necesario demostrarnecesario demostrar queque lala presiónpresión solosolo dependedepende dede lala alturaaltura debidodebido aa queque usareusaremos la gravemos la gravedaddad y la presiy la presión como fueón como fuerzas prinrzas principalecipaless yy además la aplicación de la Ecuación de Bernoulli.además la aplicación de la Ecuación de Bernoulli.
SeSe tienetiene un recun recipientipiente dee de volumevolumen indn indeforeformablemable ((VV)) coconn uunana alturaaltura ((hh)) queque ccontieontiene,ne, eenn todtodoo susu vvolumenolumen,, unun fluidfluidoo homogéneo, incohomogéneo, incompresible enmpresible en condición estáticondición estáticaca en contactoen contacto con la atmosferacon la atmosfera (atm)(atm)..
Propiedad del Gradiente Presión:Propiedad del Gradiente Presión:
DeDe todotodo elel volumenvolumen deldel fluidofluido coconsnsididererarareemomoss unun papararalelelelepípípepeddoo
infinitesimal para determinar la resultanteinfinitesimal para determinar la resultante de las fuerzas que ejercen sobre las carasde las fuerzas que ejercen sobre las caras de este espacio geométrico infinitesimalde este espacio geométrico infinitesimal considerado.considerado.
Considerando el puntoConsiderando el punto OO como el centro geometrico del solido infinitesimal con cordenadascomo el centro geometrico del solido infinitesimal con cordenadas (x,y,z)(x,y,z). Determinaremos el resultante de las fuerzas que se ejercen sobre la. Determinaremos el resultante de las fuerzas que se ejercen sobre la Cara “1”Cara “1” y lay la CaraCara “2”“2” las cuales tienen la direccion del ejelas cuales tienen la direccion del eje YY como se muestra en el grafico:como se muestra en el grafico:
SeaSea PP la presión en el puntola presión en el punto OO..
La presiónLa presión PP 22 en el centro de laen el centro de la Cara “2”Cara “2” es:es:
La presiónLa presión PP 11 en el centro de laen el centro de la Cara “1”Cara “1” es:es:
Entonces la fuerza en laEntonces la fuerza en la Cara “1”Cara “1” será:será:
⃗⃗ == (( −− 22
))⃗⃗
La fuerza en laLa fuerza en la Cara “2”Cara “2” es:es:
⃗⃗ == −− ++ 2 2⃗⃗
La resultanteLa resultante de estasde estas dos fuerzasdos fuerzas es:es:
⃗⃗ ++⃗⃗ == −− 22 −− ++ 2 2⃗⃗⃗⃗
++⃗⃗ == −− 22 −− −− 2 2⃗⃗⃗⃗
++⃗⃗ == −−⃗⃗
Asimismo, con referencia a laAsimismo, con referencia a la Cara “3”Cara “3” yy Cara “4”Cara “4” en la direcciónen la dirección XX tenemos:tenemos:
⃗⃗ ++⃗⃗ == −−⃗⃗
Para unaPara una línea de corriente, para cualquier punlínea de corriente, para cualquier punto la combinación de variables:to la combinación de variables:
++ ℎℎ ++ es una constantees una constante (( )) ((constante de Bernoulli)constante de Bernoulli)
Para un fluido en movimiento:Para un fluido en movimiento:
++ ℎℎ ++ 22 ==
++ ℎℎ ++ 22
==
++ ℎℎ ++ 22 ==
AlAl dedemmosostrtrarar lala eecucuacacióiónn ddee BeBernrnououllllii ssee sasabrbráá ququee ppararaa lala cocontntanantete ,, ,, yy ddee fforormmaa genérgenérica paica para cra cualquiualquier per puntounto en len la lína línea dea de core corrientriente,e, la cla constanonstante ete es las la mismamisma y sey se llamollamo ::
Y para cada línea deY para cada línea de corriente tendrá su propia constante de Bernoullicorriente tendrá su propia constante de Bernoulli
,, ,, ,, eenn ggeenneerraall ssoonn ddiissttiinnttaass..
Fluido en reposo:Fluido en reposo:
Donde:Donde: == 0 0
++ ℎℎ == (( ))
Para cada combinación de variables de los puntos sePara cada combinación de variables de los puntos se cumple la misma constantecumple la misma constante MM. Entonces:. Entonces:
++ ℎℎ == ++ ℎℎ == ++ ℎℎ ==
Fluido en Movimiento que parte del Reposo:Fluido en Movimiento que parte del Reposo:
Como el fluido parte del reposo, en los puntosComo el fluido parte del reposo, en los puntos 11 ,, 22 ,, 33
la vella velocidadocidad es ceres ceroo (( == 0 0 ), entonces), entonces la constantela constante
MM se cumple:se cumple:
++ ℎℎ == (( ))
Además, estaAdemás, esta constante seconstante se cumplirácumplirá para cada pupara cada punto:nto:
++ ℎℎ == ++ ℎℎ == ++ ℎℎ ==
Ahora, dentro dAhora, dentro de unae una misma línea demisma línea de corriente secorriente se cumplía la constantecumplía la constante línealínea de Bernoullide Bernoulli (( ))::
En la línea deEn la línea de corriente de los puntoscorriente de los puntos 11 yy 1’1’::
++ ℎℎ ++ 22 == ++ ℎℎ == (^11)
Donde:Donde:
++ ℎℎ , también cumple con la contante, también cumple con la contante MM::
++ ℎℎ == == (^11)
Entonces como todas las líneas deEntonces como todas las líneas de corriente parten del reposo cumplirá con lacorriente parten del reposo cumplirá con la constanteconstante
MM y también se cumplirá la constante línea de Bernoulliy también se cumplirá la constante línea de Bernoulli (( )) para cada punto dentro de unapara cada punto dentro de una
misma línea de corriente, por lo quemisma línea de corriente, por lo que será igualserá igual para todaspara todas laslas líneas dlíneas de corrientee corriente deldel
fluido:fluido:
((constante línea de Bernoulli)constante línea de Bernoulli) ssee ttrraannssffoorrmmaarraa eenn ((constante campo de Bernoulli),constante campo de Bernoulli),
demostrando que la combinación en cualquier punto del fluido será cumplirá la constantedemostrando que la combinación en cualquier punto del fluido será cumplirá la constante
o so sololoo , p, parara ea estste ce casaso.o.
Entonces:Entonces:
== 2 2 ℎℎ ==
dondondede es la ves la veloelocidacidad deld del flufluido a la sido a la salialida dda del reel recipcipieniente.te.
Tiempo de Evacuación:Tiempo de Evacuación:
AhoraAhora ssupongupongamosamos queque en cen ciertierto insto instanteante eel fluidl fluidoo
dendentrotro deldel recrecipiipienentete esestá atá a unauna alalturturaa y ay ademdemásás sese
sasabebe ququee lala ececuauaciciónón dedell cacaududalal eses::
== , d, donondede eses lala vevelolocicidadad dd de pe pasaso do delel flfluiuidodo aa
trtravavésés dede ununa sa sececciciónón ..
ElEl vovolulumemen dn delel flfluiuidodo quque ee ememergrge ee en un un tn tieiempmpoo eses
== , lo que hace bajar el nivel del tambor en, lo que hace bajar el nivel del tambor en
== −− . Tenemos que:. Tenemos que:
Ordenando la ecuación:Ordenando la ecuación:
Integrando la ecuaciónIntegrando la ecuación desde quedesde que comienza a evacuarcomienza a evacuar el tambor hasta qel tambor hasta que esteue este vacío, sevacío, se obtendrá:obtendrá:
−− √√
dondedonde ℎℎ es les la difa diferenerencia dcia de ae alturaslturas máximmáxima, ya, y el tiel tiempoempo totaltotal de ede evacuavacuación.ción.
Desarrollando integrales:Desarrollando integrales:
−− 2 (^2 00) ℎℎ == (^22 )
2 2√√ℎℎ == 22
Para estePara este caso, el tiempo que decaso, el tiempo que demora en evacuarse el fluido esmora en evacuarse el fluido es::
== 2 2
ℎℎ 22
