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Esame di Fisica - Politecnico di Milano, Cheat Sheet of Mathematical finance

Le soluzioni di un esame di fisica svolto presso il politecnico di milano. Contiene esercizi di meccanica classica, come il calcolo della velocità di un corpo che scivola su uno scivolo circolare, l'applicazione della seconda legge di newton al moto rotatorio di un corpo rigido e il calcolo della velocità di fuga e della massima distanza raggiunta da un corpo lanciato dalla superficie di un pianeta privo di atmosfera. Inoltre, include un esercizio sulla termodinamica di una macchina frigorifera. Il documento rappresenta un utile materiale di studio per gli studenti di ingegneria che devono affrontare esami di fisica di base.

Typology: Cheat Sheet

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Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione
- Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA
- FIRMARE l’elaborato
- MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente le formule utilizzate
12/7/2016
ore 16:30
FISICA (primo appello)
Prof. Magni
1) Un scivolo liscio di massa M con la forma di un quarto di circonferenza di
raggio R è inizialmente fermo, appoggiato su un pavimento orizzontale dove può
scorrere senza attrito. Un corpo puntiforme di massa m inizialmente fermo
viene lasciato scivolare dalla sommità (punto A nella figura). Si calcoli:
a) la velocità del corpo rispetto al pavimento quando giunge alla fine dello sci-
volo (punto B),
b) la velocità del corpo rispetto allo scivolo nel medesimo istante,
c) l’impulso esercitato dal pavimento sullo scivolo tra l’istante iniziale del
moto, t0, e quello in cui il corpo giunge alla fine dello scivolo, t1 (considerare
come noto Δt = t1t0).
2) a) Si enunci la seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi, definendo e spiegando il signifi-
cato di tutti i simboli utilizzati.
b) Se ne discuta l’applicazione alla dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido attorno a un asse fisso
e, in particolare, si deduca la ben nota equazione
z
MI =
θ
.
3) Si consideri un pianeta privo di atmosfera come una sfera omogenea che non ruota.
a) Si spieghi che cos’è la velocità di fuga.
Un corpo puntiforme viene lanciato dalla superficie del pianeta con una velocità pari a 3/4 della velocità di
fuga. Si calcoli la massima distanza dalla superficie che raggiunge se è lanciato:
b) in direzione radiale;
c) in direzione tangente alla superficie.
[esprimere il risultato in funzione del raggio R del pianeta]
4) Una macchina frigorifera compie dei cicli scambiando calore con due sorgenti a temperatura T1 = 200 K
e T2 = 400 K. Durante un ciclo la sorgente calda subisce una variazione di entropia in modulo tripla di
quella della sorgente fredda. Si determini:
a) il segno delle variazioni dentropia delle sorgenti,
b) se la macchina è reversibile.
c) Si calcoli il rapporto tra il calore assorbito dalla macchina e il lavoro in ogni ciclo.
m
M
A
B
R
pf3

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  • Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA - FIRMARE _l’elaborato
  • MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente le formule utilizzate_

ore 16:

FISICA (primo appello)

Prof. Magni

1) Un scivolo liscio di massa M con la forma di un quarto di circonferenza di raggio R è inizialmente fermo, appoggiato su un pavimento orizzontale dove può scorrere senza attrito. Un corpo puntiforme di massa m inizialmente fermo viene lasciato scivolare dalla sommità (punto A nella figura). Si calcoli: a) la velocità del corpo rispetto al pavimento quando giunge alla fine dello sci- volo (punto B ), b) la velocità del corpo rispetto allo scivolo nel medesimo istante, c) l’impulso esercitato dal pavimento sullo scivolo tra l’istante iniziale del moto, t 0 , e quello in cui il corpo giunge alla fine dello scivolo, t 1 (considerare come noto Δt = t 1 – t 0 ).

2) a) Si enunci la seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi, definendo e spiegando il signifi- cato di tutti i simboli utilizzati. b) Se ne discuta l’applicazione alla dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido attorno a un asse fisso

e, in particolare, si deduca la ben nota equazione I θ^ = Mz.

3) Si consideri un pianeta privo di atmosfera come una sfera omogenea che non ruota. a) Si spieghi che cos’è la velocità di fuga.

Un corpo puntiforme viene lanciato dalla superficie del pianeta con una velocità pari a 3/4 della velocità di fuga. Si calcoli la massima distanza dalla superficie che raggiunge se è lanciato: b) in direzione radiale; c) in direzione tangente alla superficie. [esprimere il risultato in funzione del raggio R del pianeta]

4) Una macchina frigorifera compie dei cicli scambiando calore con due sorgenti a temperatura T 1 = 200 K e T 2 = 400 K. Durante un ciclo la sorgente calda subisce una variazione di entropia in modulo tripla di quella della sorgente fredda. Si determini: a) il segno delle variazioni d’entropia delle sorgenti, b) se la macchina è reversibile. c) Si calcoli il rapporto tra il calore assorbito dalla macchina e il lavoro in ogni ciclo.

m

M

A

B

R

FISICA (primo appello)

Prof. Magni SOLUZIONI 1) Poiché non agiscono forze esterne con componente orizzontale, si conserva la componente orizzontale della quantità di moto del sistema dei due corpi. Poiché inoltre non agiscono forze d’attrito si conserva anche l’energia del sistema. a) Indicate con V e v le componenti sull’asse x ( v. figura ) delle velocità dello scivolo e del corpo puntiforme quando quest’ultimo si trova in B , si ha: MV + mv = 0 , 21 MV^^2 +^21 mv^2 =^ mgR ,

m M

MgR v

m M M

m gR V ( )

b) Con le regole della cinematica relativa si ottiene:

rel ass TR x x x M x

m M gR v M

m v v v v u V u v u u

c) Nell’istante t 1 le velocità sono orizzontali, quindi tra gli istanti t 0 e t 1 la componente verticale della variazione di quantità di moto del sistema è zero. Per il teorema dell’impulso si ha:

P [ N m M g ] dt Ndt m M g t

t

t

t

t

0 ∆ (^) y ( ) ( ) ∆

1

0

1

0

Pertanto l’impulso della reazione vincolare ( N ) agente sullo scivolo è

y

t

t

J N u y dt ( m M ) gt u

1

0

2) v. testi.

3) a) La velocità di fuga è la minima velocità che deve avere un corpo puntiforme sulla superficie del pianeta per poter raggiungere una distanza infinita ( v. testi ). Per la conservazione dell’energia:

0 2

R

Mm mv (^) f GR

GM

v (^) f

dove R è il raggio del pianeta, M la massa, G la costante di gravitazione universale.

b) Moto rettilineo in direzione radiale. Indicata con r la massima distanza dal centro del pianeta, per la conserva- zione dell’energia si ha

r

Mm G R

Mm m ( 43 vf )^2 − G =− 2

.

Sostituendo l’espressione della velocità di fuga e risolvendo si ricava r e la massima distanza dalla superficie ( h ):

r R 7

= , h r R R 7

c) Con il lancio in direzione tangente il corpo segue una traiettoria ellittica e nel punto di mas- simo allontanamento (distanza r 1 dal centro) la sua velocità non è zero, ma incognita ( v 1 ). Per risol- vere il problema occorre utilizzare anche la conservazione del momento angolare (campo centrale):

1

2 1

2 4

3 2

r

Mm mv G R

Mm m vfG = − ,

mR (^) 43 vf = mr 1 v 1.

Sostituendo l’espressione della velocità di fuga e risolvendo si ricava r 1 e la massima distanza dalla superficie ( h 1):

r R 7

1 =^ ,^ h^ r R 7 R

1 =^1 − =.

R

r 1 v 1

¾ v f

m

M

A

B

R

y

x