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INSTITUT PREPARATOIRE
AUX ETUDES D’INGENIEURS
DE SFAX
Département de la Préparation Mathématiques Physique Section MP Janvier 2019 SÉRIE N^0 7 D’ALGÈBRE Espaces vectoriels - Applications linéaires
Exercice 0.0.1. Soit E un K-e.v. Dans chacun des cas suivants, vérifier si l’ensemble en question est un s.e.v de E ou non :
Cas où E = R^3 :
- F 1 = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x − 3 y + 2z = a}, a ∈ R.
- F 2 = {(x, y, z) ∈ R^3 ; xyz = 0}. Cas où E = Rn, n ∈ N∗^ : F = {(x 1 , x 2 , ..., xn) ∈ Kn; ∃i ∈ N∗, xi = 0}. Cas où E = RR^ : l’ ensemble des applications de R dans R.
- Soient a, b ∈ R. F 1 = {f ∈ E; f (a) = b}.
- F 2 = {f ∈ E; (^) x→lim+∞ f (x) = 0}.
Cas où E = RN^ : l’ ensemble des suites réelles. F = {(un)n∈N; un+2 + 2un+1 − un = 0}.
Exercice 0.0.2. 1. Soit F = {P ∈ K[X]; P (1) = P (−1) = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de K[X] et que K[X] = F ⊕ K 1 [X]. Dans toute la suite on considère n ∈ N.
- Montrer que Kn[X] est un s.e.v de K[X]
- Fn = K[X]\Kn[X] est-il un s.e.v de K[X]?
- Soient P 1 , P 2 ∈ K[X] tels que deg(P 1 ) = deg(P 2 ) = n + 1, G 1 = {P 1 .Q; Q ∈ K[X]} := P 1 K[X] et G 2 = P 2 K[X]. (i) Montrer que G 1 et G 2 sont deux sous espaces vectoriels de K[X]. (ii) A-t-on G 1 = G 2? (iii) Montrer que K[X] = G 1 ⊕ Kn[X] = G 2 ⊕ Kn[X].
- Que peut-on conclure?
Exercice 0.0.3. Soit E un K-e.v. Un endomorphisme f de E est dit nilpotent s’il existe k ∈ N∗^ tel que f k^ = ˜ 0. Soient f, g ∈ LK(E).
- On suppose que f ◦ g = g ◦ f. Montrer que f (ker(g)) ⊂ ker(g) et que f (Im(g)) ⊂ Im(g).
- On suppose que f est nilpotent. Montrer que l’ensemble {k ∈ N∗; f k^ = ˜ 0 } admet un plus petit entier (cet entier est appelé : indice de nilpotence de l’endomorphisme f ).
- Justifier que si f est nilpotent et f ◦ g = g ◦ f, alors f ◦ g est nilpotent.
- Justifier que si f ◦ g est nilpotent, alors g ◦ f est nilpotent.
- Justifier que si f est nilpotent, alors l’endomorphisme (idE − f ) est inversible.
Exercice 0.0.4. Soit E un K-e.v et f ∈ LK(E).
- Montrer que Im(f ) = Im(f 2 ) ⇐⇒ E = ker(f ) + Im(f ).
- Montrer que Im(f ) ∩ ker(f ) = { (^0) E } ⇐⇒ ker(f ) = ker(f 2 ).
Exercice 0.0.5. Les vecteurs suivants de E sont-ils libres ou liés? Donner des relations de dépendance linéaire quand ces relations existent.
- Cas où E = R^2 : u 1 = (− 1 , 2) et u 2 = (3, 1).
- Cas où E = R^3 : u 1 = (0, 2 , −1), u 2 = (1, 0 , 3), u 3 (− 1 , 1 , 0).
- Cas où E = R[X] : P 1 = X^3 + 3X^2 − 1 , P 2 = (X − 1)^3 , P 3 = (X + 1)^3
Exercice 0.0.6. On considère l’application :
ϕ : Rn[X] −→ R^2 P 7 −→ (P (0), P (1)).
- Montrer que Rn[X] est un K-espace vectoriel de dimension finie et donner une base.
- Montrer que ϕ est linéaire de Rn[X] dans R^2.
- Déterminer ker(ϕ) er donner une base.
- Déterminer Im(ϕ) er donner une base.
- Donner un supplémentaire de ker(ϕ) dans Rn[X].
Exercice 0.0.7. Soient P 0 , P 1 , · · · , Pn des polynômes non nuls de K[X].
- Montrer que si, pour tout i 6 = j , deg(Pi) 6 = deg(Pj ), alors la famille {P 0 , · · · , Pn} est libre dans K[X].
- Montrer que si, ∀i ∈ { 0 , · · · , n}, deg(Pi) = i, alors {P 0 , · · · , Pn} est libre dans K[X].
Exercice 0.0.8. Donner une base et déduire la dimension des R-espaces vectoriels suivants, puis donner une base d’un sous-espace vectoriel G supplémentaire de F dans E.
(b) Pour tout i ∈ { 0 , 1 , ..., n}, on pose Li(X) =
∏^ n j j=0 6 =i
X − aj ai − aj^.
(i) Montrer que Li(ai) = 1 et Li(ak) = 0, ∀k ∈ { 0 , 1 , ..., n}{i}.
(ii) Montrer que P (X) =
∑^ n i=
biLi(X) (appelé le polynôme d’interpolation de Lagrange). (iii) Montrer que (L 0 , L 1 , ..., Ln) est une base de Kn[X].
Exercice 0.0.12. Dans E = R^3 , on considère les deux ensembles :
E 1 = {(x, y, z) ∈ E; −x + y + z = 0} et E 2 = {(x, y, z) ∈ E; x = −y = −z}.
- Montrer que E 1 , E 2 sont deux sous-espaces vectoriels de E, donner deux bases B 1 et B 2 de E 1 et E 2 respectivement.
- Montrer que E = E 1 ⊕ E 2.
- Soit p la projection sur E 1 parallèlement à E 2. Déterminer p(x, y, z).
- Soit s 1 la symétrie par rapport à E 2 parallèlement à E 1. Déterminer s 1 (x, y, z).
