Estadística II: Muestreo en poblaciones con una distribución de probabilidad - Prof. Mende, Slides of Statistics

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Estadística II

I UNIDAD: Muestreo en poblaciones con una distribución de

probabilidad

• (^) Si tenemos una población cuya variable de interés X tiene una distribución de probabilidad con media μ y desviación estándar σ entonces Ⴟ seguirá una distribución de población con y para cualquier n Siempre que el muestreo se haya realizado de una población infinita o bien muestreamos con reposición de una población finita. Lo que nos dicta que :

Observaciones importante relacionadas con :

• (^) < σ
• (^) A menor σ menor
• (^) A mayor tamaño de muestra n menor
• (^) A menor mayor precisión del estimador.

• (^) Para la distribución muestral venta de seguros: Consideremos la población compuesta por 5 representantes de ventas y el numero de seguros de fida que vendieron el mes pasado Calculemos ahora y Por tanto μ=6.8 seguros. Como la muestra de tamaño n=2 se selecciona sin reposición de una población finita d tamaño N tenemos que : σ=(2.0396/ * =1.2490 seguros Representantes N° de seguro A 8 B 6 C 4 D 10 E 6 Xi F(xi) XiFi xi- 𝜇𝑥 (xi- (^) 𝜇𝑥 *) ² F(xi) 4 0.2 0.8 -2.8 1. 6 0.4 2.4 -0.8 0. 8 0.2 1.6 1.2 0. 10 0.2 2 3.2 2. 6.8 4.16 = 2. 𝑥

√ 𝑛^ √^

Muestreo de poblaciones no normales

• (^) No es realista suponer que siempre la población es normal. En muchos casos no se tienen ningún conocimiento de la población. Cuando se muestrea de una población no normal no sabemos qué distribución muestral seguirá Ⴟ de la figura. Cuestionémonos que aspectos Que aspectos tomaría si el tamaño de la muestra hubiera sido Más grande; probablemente la distribución muestral de Ⴟ sería más simétrica, la pregunta anterior nos conduce al teorema Más importante en la estadística básica, el teorema Del limite central.

Teorema del limite central :

• (^) Si muestreamos una población no normal, con media μ y desviación estándar σ, utilizando un tamaño de muestra suficientemente grande, esto es n >30, entonces Ⴟ tendrá una distribución aproximadamente normal.
• (^) Siempre que el muestreo se haya realizado en una población infinita
• Si el muestreo se hizo sin reposición de una población finita de tamaño N, el error estándar de Ⴟ se expresa así: 𝑥 𝑁𝑜 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (^ 𝜇, 𝜎 )^ 𝑦 𝑛 ≥ 30 → 𝑥 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 ( 𝜇𝑥 = 𝜇 , 𝜎 (^) 𝑥 = 𝜎 √ 𝑛^ ) Este teorema es importante porque permite al investigador hacer inferencias en cuanto a la media poblacional μ sin tener que conocer la forma especifica de la distribución poblacional.

Las formulas que presentaremos para los estimadores puntuales por intervalos de cualquier parámetro en un muestreo aleatorio simple serán aplicables también al muestreo aleatorio sistemático. Estimador puntual de μ y

• (^) Un estimador puntual de media poblacional es la media muestral.
• (^) Un estimador puntual del total de la población es el total muestral

Error estándar de Ⴟ y NႿ El error estándar de la media muestral Ⴟ se denota y se define así si la población es infinita y si la población es finita El error estándar del total muestral NႿ se denota y define así:

del resultado anterior es equivalente a decir que hay luna confianza del (1-)100% de que O de una manera más breve , diremos que un estimador por intervalo de confianza del (1-)100% para μ estará dado por : donde Ⴟ erá el limite inferior y Ⴟ del intervalo

Con un razonamiento similar podemos llegar a la conclusión de que un estimador por intervalo de confianza del (1-)100% para esta dado por donde Sí sustituimos por sus correspondientes formula según la población sea finita o infinita llegaremos a los siguientes resultados : Si una población es normal, esto es, si s característica de interés X tiene una distribución normal con desviación estándar conocida, entonces :

1. Un estimador por intervalo de confianza de (1-)100% para μ esta dado así: i. Para una población infinita : para cualquier n Donde es un valor de la normal estándar que tiene a su izquierda una área acumulada de 1- , y el limite inferior (Li) es la diferencia señalada por las expresiones anteriores y el límite superior (Ls) es la misma señalada por las mismas expresiones.

• (^) Notas: es el valor que se obtiene de la expresión
• (^) odemos omitir el factor de corrección
• (^) La introducción del factor en la formula reduce el error estándar del estimador.
• (^) La proporción muestral n/N representa la proporción de la población que se ha muestreado.
• (^) Podemos utilizar como una aproximación de donde 1-n/N representa la proporción de la población de la muestra.
• (^) Si la población no es normal pero podemos aplicar el teorema del limite central para garantizar la aplicación de las formulas anteriores a esas circunstancias.

Determinación del tamaño de la

muestra para μ

La determinación del tamaño de la muestra podemos decir que es un procedimiento sujeto a restricciones de presupuesto, tiempo y facilidad de selección. Tratemos ahora de obtener una formula para el tamaño de la muestra Supongamos que Ⴟes un estimador de μ y que queremos estimar μ de tal forma que