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Exercice_4 analyse numérique, Exercises of Mathematical Methods

Exercice_4 analyse numérique Quelle est la nature de la série de terme général

Typology: Exercises

2017/2018

Available from 09/29/2021

anass81
anass81 🇺🇸

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bg1
Exercice 4.
eterminer le rayon de convergence Rdes eries enti`eres suivantes, ainsi que leur somme sur
l’intervalle ] R, R[.
P
n0
(i) A(x) = (2n+ 3n)xn, (ii) B(x) = P
n0
(3n+ 1)x3n, (iii) C(x) = P
n0
1
(2n)! x4n,
(iv) D(x) = P
n0
sin(n)xn, (v) E(x) = P
n0
4n
n+1 xn+1, (vi) F(x) = P
n0
cos(n)
n!xn.
Exercice 5.
On consid`ere la erie enti`ere P
n2
(1)n
n(n1) xn.
1. eterminer le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere, de sa erie eriv´ee et de sa erie
eriv´ee seconde.
2. Calculer la valeur de sa somme S.
Indication. On pourra commencer par calculer la eriv´ee seconde de S.
3. En eduire la valeur de
I=
+
X
n=2
(1)n
n(n1).
Exercice 6.
Montrer que les fonctions suivantes sont eveloppables en erie enti`ere, et calculer leur eve-
loppement.
(i) f(x) = excos(x), (ii) g(x) = ln(1+x)
x, (iii) h(x) = 2
x24x+3
(v) j(x) = Rx
0et2 dt, (vi) k(x) = ln(6-5 x + x2).
eexercice 4.
Quelle est la nature de la série de terme général un =1
2+sinnp
4
?
Calculer
+
n=0
un un=e2nch n.
1) Vérifier que, pour tout nN,ona
1
n(n+ 1)(n+2) =1
2n1
n+1+1
2(n+2).
2) Pour n1onposeun=1
n(n+ 1)(n+2).Soit Sn=
n
k=1
uk,la
elsomme parti le de rang ne la série de terme général un. Montrer que
Sn=1
4+1
2
1
n+21
n+1
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3) En déduire que la série de terme général unconverge et calculer sa somme
+
n=1
S=un.
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Université Sidi Mohamed Ben Abdellah
Faculté Polydisciplinaire de Taza
Analyse 3 (série 3)
Anne´ 2018-2019
Filières : SMP
(S3) TD
Exercice 1.
Exercice 2.
Exercice 3.
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pf4
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Exercice 4. D´eterminer le rayon de convergence R des s´eries enti`eres suivantes, ainsi que leur somme sur l’intervalle ] − R, R[. ∑ n≥ 0

(i) A(x) = (2n^ + 3n)xn, (ii) B(x) =

n≥ 0

(3n + 1)x^3 n, (iii) C(x) =

n≥ 0

1 (2n)! x

4 n,

(iv) D(x) =

n≥ 0

sin(n)xn, (v) E(x) =

n≥ 0

4 n n+1 x

n+1, (vi) F (x) = ∑ n≥ 0

cos(n) n! x

n.

Exercice 5. On considere la s´erie entiere

n≥ 2

(−1)n n(n−1) x

n.

  1. D´eterminer le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere, de sa s´erie d´eriv´ee et de sa s´erie d´eriv´ee seconde.
  2. Calculer la valeur de sa somme S. Indication. On pourra commencer par calculer la d´eriv´ee seconde de S.
  3. En d´eduire la valeur de

I =

∑^ +∞

n=

(−1)n n(n − 1)

Exercice 6. Montrer que les fonctions suivantes sont d´eveloppables en s´erie enti`ere, et calculer leur d´eve- loppement.

(i) f (x) = ex^ cos(x), (ii) g(x) = ln(1+ x x), (iii) h(x) = (^) x (^2) −^24 x+

(v) j(x) =

∫ (^) x 0 e

−t^2 dt, (vi) k(x) = ln(6-5 x + x (^2) ).

eexercice 4.

Quelle est la nature de la série de terme général un =

2 + sin n p 4

Calculer

n = 0

u (^) nu (^) n = e −^2 n^ ch n.

  1. Vérifier que, pour tout n ∈ N∗, on a

1 n ( n + 1)( n + 2)

2 n

n + 1

2( n + 2)

  1. Pour n  1 on pose u (^) n =

n ( n + 1)( n + 2)

. Soit Sn =

∑^ n

k = 1

u (^) k , la

somme parti (el le de rang n e la série de terme général u (^) n. Montrer que

Sn =

n + 2

n + 1

)d .

  1. En déduire que la série de terme général u (^) n converge et calculer sa somme ∑+∞

n = 1

S = u (^) n.

ËP K H í j

A A í^ JÀ@ ËX

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ÈJ æÀ@ È

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YJ.´ ·K. Y m◊“^ YJÉ

¯ È™”A .g

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah e

Faculté Polydisciplinaire de Taza

Analyse 3 (série 3)

Anne´ 2018 -201 9

Filières : SMP

(S3) TD

Exercice 1.

Exercice 2.

Exercice 3.

Exercice 8. Soit f , la fonction paire, 2 π-p´eriodique, d´efinie par

∀x ∈ [0, π], f (x) = π^2 − x^2.

  1. D´evelopper la fonction f en s´erie de Fourier.
  2. En d´eduire la somme de la s´erie

S =

k=

(−1)k+ k^2

Exercice 7 :

Soit f la fonction 2π p´eriodique impaire d´efinie par f (x) = x sur [0, π]

1. Tracer le graphe de f , v´erifier que f est continue et de classe C^1 par morceaux.

2. Calculer la s´erie de Fourier associe´ `a f.

3. Etudier la convergence de la s´erie de Fourier.

4. En d´eduire les sommes

∑^ +∞

n=

n^2

∑^ +∞

n=

(−1)n

n^2

∑^ +∞

n=

(2n + 1)^4

∑^ +∞

n=

n^4

Exercice 9. Soit f , la fonction 2 π-p´eriodique donn´ee par

∀x ∈] − π, π], f (x) = e−x.

  1. Calculer les coefficients de Fourier complexes de la fonction f.
  2. En d´eduire que 1 π

k∈Z

1 + k^2

1 + e−^2 π 1 − e−^2 π^

(travail personnel)

exercice 10. Soit α un nombre réel non entier et soit f une fonction de période 2 π ,

définie sur R, égale à sin α t pour | t | ≤ π.

1) Déterminer la série de Fourier de f.

2) La fonction f est-elle égale à la somme de sa série de Fourier?

3) Même questions avec la fonction g , de période 2 π, définie sur R, égale à cos α t pour

| t | ≤ π.

4) A partir des séries de Fourier de f et de g , expliciter la série de Fourier (complexe) de

la fonction h de période 2 π, définie sur R, égale à ei^ α t^ pour | t | ≤ π.

5) En déduire l’identité :

π^2

sin^2 πα

+∞

n =−∞

( α − n )^2