Download Finite Elements Method and more Schemes and Mind Maps Advanced Algorithms in PDF only on Docsity!
IEM/AC/2013S2/PEP
APLICACIONES COMPUTACIONALES [15063]
INGENIERÍA DE EJECUCIÓN MECÁNICA
Miércoles, 22 de enero de 2014 (Tiempo: 120 min)
PRUEBA OPTATIVA DE REEMPLAZO
Problema 1 ( 1 pts): Como resultado de un experimento diseñado para medir el coeficiente de roce, se obtienen los datos mostrados en la tabla:
x (m) 0 5 10 15 20 25 30 F (x) (N) 0 , 0000 1 , 5297 9 , 5120 8 , 7025 2 , 8087 1 , 0881 0 , 3537
donde F (x) es la fuerza aplicada y x el desplazamiento en la dirección de la fuerza. Se pide: (a) Calcular el trabajo W =
R
F (x) dx con la regla del trapecio usando todos los datos mos- trados. ( 0 , 7 pts) (b) Cuantificar el error relativo porcentual si el resultado teórico es 129 , 52 (N·m). ( 0 , 3 pts)
Solución:
(a) Aplicando la regla del trapecio se obtienen los siguientes valores para cada intervalo:
% Metodo del trapecio
x = 0:5:30; F = [0.0000 1.5297 9.5120 8.7025 2.8087 1.0881 0.3537];
I (1) = ( x (2) - x (1))( F (2) + F (1))/2; I (2) = ( x (3) - x (2))( F (3) + F (2))/2; I (3) = ( x (4) - x (3))( F (4) + F (3))/2; I (4) = ( x (5) - x (4))( F (5) + F (4))/2; I (5) = ( x (6) - x (5))( F (6) + F (5))/2; I (6) = ( x (7) - x (6))( F (7) + F (6))/2;
I = 3.8243 27.6043 45.5363 28.7780 9.7420 3.
I_trapz = sum ( I )
% % Funcion de Matlab trapz (x , F )
(b) Teniendo en cuenta el valor teórico, se obtiene el error como:
% Error relativo al valor teorico en porcentaje
error = (129.52 - 119.0893)/129.52 * 100 error =
A ✓
l 1
B
l 2 C x
Problema 2 ( 1 pts): Para el mecanismo formado por las y barras de longitudes l 1 = 2 m y l 2 = 3 m mostrado en la figura se pide: (a) Escribir una función en lenguaje Matlab que devuel- va un vector con la posición x e y de las uniones A, B y C, teniendo como dato de entrada el ángulo ✓ ( 0 , 5 pts). (b) Escribir un script en lenguaje Matlab que dibuje la posición x(t) del extremo C si se conoce la variación del ángulo con el tiempo, cuyos datos son proporcionados en un archivo de texto en formato matriz (columna 1 [sec]: tiempo, columna 2 [deg]: ángulo). Use en su script la función programada en el punto anterior ( 0 , 5 pts).
Solución:
(a) Función para obtener las posiciones de A, B y C.
% Funcion para obtener las posiciones function pos = position ( theta )
l1 = 2; l2 = 3;
x (1) = 0; y (1) = 0;
x (2) = l1 * cos ( theta ); y (2) = l1 * sin ( theta );
beta = asin ( y (2)/ l2 ); x (3) = x (2) + l2 * cos ( beta ); y (3) = 0;
pos = [x ’ ;y ’]; %plot (x , y )
end
(b) Script para dibujar la posición x(t) del punto C.
% % Mecanismo
% Se crea un archivo de datos y se guarda en " datos. txt " %t = 0:0.05:10; %p = sin ( t ).* t .^2.* sqrt ( t ); %dt = [t ’ p ’]; %save ( ’ datos. txt ’ , ’ dt ’ , ’ - ascii ’)
% Se carga el fichero " datos. txt " y % se alamcena en el vector ’ datos ’. datos = load ( ’ datos. txt ’ );
% Reemplazando la primera columna por el vector b se obtiene : C = 90 -1 -1 0 40 4 0 - 130 0 4 - 80 -1 -1 4 det ( C ) ans = 8400 T3 = 8400/ T3 =
% Reemplazando la segunda columna por el vector b se obtiene : C = 4 90 -1 0 -1 40 0 - -1 130 4 - 0 80 -1 4 det ( C ) ans = 6000 T4 = 6000/ T4 =
% Reemplazando la tercera columna por el vector b se obtiene : C = 4 -1 90 0 -1 4 40 - -1 0 130 - 0 -1 80 4 det ( C ) ans = 10320 T1 = 10320/ T1 =
% Reemplazando la cuarta columna por el vector b se obtiene : C = 4 -1 -1 90 -1 4 0 40 -1 0 4 130 0 -1 -1 80
det ( C ) ans = 7920 T2 = 7920/ T2 =
% Vector solucion x = A \ b x =
% Distribucion de temperaturas en la placa T = 45.0000 10.0000 10.0000 20. 80.0000 43.7500 31.2500 30. 80.0000 53.7500 41.2500 30. 65.0000 50.0000 50.0000 40.
Problema 4 ( 2 pts): El coeficiente de fricción en una tubería de sección circular que transporta agua está dado por la fórmula de Colebrook (ecuación no lineal):
1 p f
= 1, 14 2 log
e D
Re
p f
donde f es el coeficiente de fricción, e la rugosidad de la tubería, D el diámetro de la sección de la tubería y Re el número de Reynolds. Se pide: (a) Utilizar el método de Newton-Raphson para encontrar el coeficiente de fricción, usando los siguientes parámetros: D = 0, 1 m e = 0, 0001 m y Re = 5 ⇥ 10 6. Haga 5 iteraciones e inicie con f = 0, 001. ( 1 , 0 pts) (b) Escribir un programa en Matlab que resuelva el problema no lineal usando el método de Newton-Raphson. ( 1 , 0 pts)
Solución:
(a) El método de Newton-Raphson nos permite obtener el valor de la fricción de forma iterativa usando la expresión:
fi = fi 1
g(f ) g 0 (f ) A partir de la fórmula de Colebrook se obtienen las siguientes expresiones:
g(f ) = 2 log
p f R (^) e
e D
p f
s(f ) = g 0 (f ) =
f
32 ⇣^ p 9 , 35 f R (^) e +^
e D
Re
2 f
(^32)
Diferencias finitas para la conducción del calor en estado transitorio (caso 1D):
T (^) in +1= T (^) in +
T (^) in+1 2 T (^) in + T (^) in 1
, con = k
t ( x) 2
Diferencias finitas para la conducción del calor en estado estacionario (caso 2D):
T (^) i+1, j 2 T (^) i, j + T (^) i 1 , j x 2
T (^) i, j+1 2 T (^) i, j + T (^) i, j 1 y 2
Regla de Cramer (ejemplo matrix 3 ⇥ 3 , A x = b):
x 1 =
det A
b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33
,^ x^2 =^
det A
a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33
,^ x^3 =^
det A
a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3
Eliminación de Gauss (ejemplo matrix 3 ⇥ 3 , A x = b):
a 11 a 12 a 13
. b 1 a 21 a 22 a 23
. b 2 a 31 a 32 a 33
. b 3
a 11 a 12 a 13
. b 1 0 a 022 a (^023)
. b 20 0 0 a (^0033)
. b (^003)
Algunas derivadas útiles: d dx
(log x) =
x
