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Compito di Fisica 2 Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni 31 gennaio 2012
- Tre cariche puntiformi di uguale valore q = 8nC sono poste in tre dei vertici di un quadrato di lato L = 2cm. (a) Determinare la forza elettrica agente sulla quarta carica elettrica q 0 = -2q che si trova al centro del quadrato. (b) Calcolare l’energia elettrostatica del sistema costituito dalle quattro cariche.
- Un guscio sferico di materiale conduttore di raggio interno ai =2cm e raggio esterno ae =4cm contiene una sfera pure conduttrice di raggio b = 1cm concentrica. Sul guscio e sulla sfera viene depositata una medesima quantità di carica elettrica positiva Q = 4nC. Determinare l’andamento (a) del campo elettrico E e (b) del potenziale elettrostatico V in tutto lo spazio.
- Due lamine metalliche piane e parallele di estensione infinita sono percorse da correnti superficiali di uguale valore assoluto Js = 0.2 A/m che fluiscono in direzioni opposte. Calcolare la densità di energia magnetica in tutti i punti dello spazio.
- In una determinata regione dello spazio esiste un campo vettoriale espresso dalla relazione:
ⅹ䙦∀䙧 = Ↄᡶ
∀ − ↄ |∀ − ↄ|⡱
con a e b vettori costanti e r ≠ b. Dimostrare che il campo W ( r ) potrebbe essere un campo magnetico.
- Supponiamo che un campo magnetico B sia diverso da zero solo all’interno di una regione cilindrica di raggio R = 5cm e lunghezza infinita. Il campo magnetico è uniforme e parallelo all’asse del cilindro e varia con il tempo con la legge B(t) = at^2 – bt dove a = 0.05 T/s^2 e b = 0.2 T/s. Due cariche elettriche puntiformi q = 1.6x10-19C sono tenute ferme rispettivamente alla distanza d 1 = 4cm e d 2 = 7cm dall’asse. Calcolare le forze agenti sulle due cariche all’istante t 0 = 4s. Supporre che l’interazione tra le due cariche sia trascurabile.
Soluzioni
- (a) La forza che agisce sulla carica q 0 è la sola F 2 =
いㄖい ⡲ゕやㄖ㐶√ㄘㄘ ㉡㑀
いㄘ ゕやㄖ〓ㄘ^ = 5.75x
-3 (^) N, dato che F 1 ed F 3 , dovute all’interazione di q 0
con le altre due cariche, si annullano a vicenda.
(b) Energia elettrostatica del sistema delle 4 cariche:
⡩ ⡰ ∑^
い㊄い㊅ ⡲ゕやㄖぅ㊄㊅^ =^
⡩ ⡲ゕや 䙲
⡰いㄘ 〓 ㎗^
いㄘ √⡰〓 ㎗^
⡱いいㄖ √⡰〓/⡰䙳 =^
⡩ ⡲ゕや
⡰√⡰⡹⡩⡩ √⡰
いㄘ 〓 = 1.66x
-4 J.
- La sfera interna essendo conduttrice all’equilibrio ha la carica Q tutta sul guscio esterno, per r = b. Il guscio esterno, essendo conduttore, ha carica –Q che si affaccia sulla superficie interna , per r = ai e quindi, essendo complessivamente carico con carica +Q, ha carica 2Q sul guscio esterno, di raggio r = ae.
(a) Coerentemente, il campo elettrostatico è nullo all’interno dei conduttori.
Nella regione b < r < ai è pari a ᠱ䙦ᡰ䙧 = (^) ⡲ゕや〘 ㄖㄘぅㄘ
, nella regione r > ae è pari a ᠱ䙦ᡰ䙧 = (^) ⡲ゕや⡰〘 ㄖㄘぅㄘ
L’andamento è riportato nel grafico.
(b) 0 ≤ r ≤ b ᡈ䙦ᡰ䙧 − ᡈ䙦0䙧 = ᔖ ᠱᡖᡰ =
ぅㄘ ⡨ 0 →^ V(r) = V(0).
Imponendo V(0) abbiamo V(r)=0 e in particolare V(b) = 0.
0.0E+
5.0E+
1.0E+
1.5E+
2.0E+
2.5E+
3.0E+
3.5E+
4.0E+
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.
E(r) [V/m]
r [m]
x
y
F 1
F 2
F 3
q 0
ai
ae
b
Considerando le due lamine parallele con correnti che scorrono in verso opposto si osserva che il campo totale, somma vettoriale delle due componenti, si annulla all’esterno delle lamine, mentre risulta costante e pari alla somma dei due: B = μ 0 Js = 2.5x10-7^ T.
La densità di energia magnetica nello spazio si calcola quindi come: ᡳ =
⡩ ⡰
〃ㄘ ゑㄖ^ =^
ゑㄖ】㊔ㄘ ⡰ = 2.5x
-8 (^) J/m (^3).
- Il campo vettoriale W (r) è campo magnetico se la sua divergenza è nulla, quindi dobbiamo provare che
❄ ∙ 㐨Ↄᡶ
∀ − ↄ |∀ − ↄ|⡱
Osserviamo che vale la proprietà: ❄ ∙ 䙰ⅷᡶᡈ䙱 = 䙦❄∆ⅷ䙧 ∙ ⅸ − ⅷ ∙ 䙦❄∆ⅸ䙧
e quindi: ❄ ∙ ⅹ = 䙦❄∆Ↄ䙧 ∙
∀⡹ↄ |∀⡹ↄ|ㄙ^ − Ↄ ∙ 䙲❄∆^
∀⡹ↄ |∀⡹ↄ|ㄙ䙳
poiché il vettore a è costante ❄∆Ↄ = ❷. Il secondo termine del membro di destra contiene il rotore di
un campo centrale, che è irrotazionale, percui: ❄∆
∀⡹ↄ |∀⡹ↄ|ㄙ^ = 0. Abbiamo perciò dimostrato che la divergenza del campo W(r) è nulla.
- Il campo magnetico variabile genera un campo elettrico :∇ᡶᠱ = −
ㄅ〃 ㄅぇ ∮ Ⅱ ∙ ↆ↔ = −^
ㄅ䙦〃䙧 ㄅぇ.^ La geometria del problema suggerisce che il campo elettrico avrà direzione tale da essere tangente a circonferenze concentriche con centro sull’asse del cilindro. Utilizzando la legge della circuitazione scegliamo perciò una di queste circonferenze, con raggio r.
Per r < R ᠱ2․ᡰ = − (^) 〱ぇ〱 䙰䙦ᡓᡲ⡰^ − ᡔᡲ䙧․ᡰ⡰䙱 = −䙦2ᡓᡲ − ᡔ䙧․ᡰ⡰, da cui deriviamo:
〱 〱ぇ 䙰䙦ᡓᡲ
⡰
La carica si trova ad una distanza d 1 < R e quindi la forza agente su di essa al tempo richiesto è
ᠲ⡩ = ᡩ
䙦〩⡹⡰〨ぇ䙧〱ㄗ ⡰ = 6.24x
-22N ed è diretta come E.
Per r > R ᠱ2․ᡰ = −䙦2ᡓᡲ − ᡔ䙧․ᡄ⡰, da cui deriviamo: ᠱ䙦ᡰ䙧 =
䙦〩⡹⡰〨ぇ䙧〙ㄘ ⡰ぅ
La carica si trova ad una distanza d 2 > R e quindi la forza agente su di essa al tempo richiesto è
ᠲ⡰ = ᡩ
䙦〩⡹⡰〨ぇ䙧〙ㄘ ⡰〱ㄘ^ = 1.14x
-20 (^) N ed è diretta come E.
B 1 B 2 B 2 B 1 B 1
y
x B 2
