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Documento che contiene cinque problemi relativi alla fisica elettrostatica e elettromagnetica, compresi il calcolo delle forze elettriche, l'energia elettrostatica, il campo elettrico e potenziale in presenza di sfera e guscio conduttori, la densità di energia magnetica e il campo magnetico generato da correnti superficiali in due lamine parallele. Tratto da un compito di laurea in ingegneria elettronica e telecomunicazioni.
Typology: Exams
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Compito di Fisica 2 Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni 31 gennaio 2012
ⅹ䙦∀䙧 = Ↄᡶ
∀ − ↄ |∀ − ↄ|⡱
con a e b vettori costanti e r ≠ b. Dimostrare che il campo W ( r ) potrebbe essere un campo magnetico.
Soluzioni
いㄖい ⡲ゕやㄖ㐶√ㄘㄘ ㉡㑀
いㄘ ゕやㄖ〓ㄘ^ = 5.75x
-3 (^) N, dato che F 1 ed F 3 , dovute all’interazione di q 0
con le altre due cariche, si annullano a vicenda.
(b) Energia elettrostatica del sistema delle 4 cariche:
⡩ ⡰ ∑^
い㊄い㊅ ⡲ゕやㄖぅ㊄㊅^ =^
⡩ ⡲ゕや 䙲
⡰いㄘ 〓 ㎗^
いㄘ √⡰〓 ㎗^
⡱いいㄖ √⡰〓/⡰䙳 =^
⡩ ⡲ゕや
⡰√⡰⡹⡩⡩ √⡰
いㄘ 〓 = 1.66x
(a) Coerentemente, il campo elettrostatico è nullo all’interno dei conduttori.
Nella regione b < r < ai è pari a ᠱ䙦ᡰ䙧 = (^) ⡲ゕや〘 ㄖㄘぅㄘ
, nella regione r > ae è pari a ᠱ䙦ᡰ䙧 = (^) ⡲ゕや⡰〘 ㄖㄘぅㄘ
L’andamento è riportato nel grafico.
(b) 0 ≤ r ≤ b ᡈ䙦ᡰ䙧 − ᡈ䙦0䙧 = ᔖ ᠱᡖᡰ =
ぅㄘ ⡨ 0 →^ V(r) = V(0).
Imponendo V(0) abbiamo V(r)=0 e in particolare V(b) = 0.
0.0E+
5.0E+
1.0E+
1.5E+
2.0E+
2.5E+
3.0E+
3.5E+
4.0E+
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.
E(r) [V/m]
r [m]
x
y
q 0
ai
ae
b
Considerando le due lamine parallele con correnti che scorrono in verso opposto si osserva che il campo totale, somma vettoriale delle due componenti, si annulla all’esterno delle lamine, mentre risulta costante e pari alla somma dei due: B = μ 0 Js = 2.5x10-7^ T.
La densità di energia magnetica nello spazio si calcola quindi come: ᡳ =
⡩ ⡰
〃ㄘ ゑㄖ^ =^
ゑㄖ】㊔ㄘ ⡰ = 2.5x
-8 (^) J/m (^3).
❄ ∙ 㐨Ↄᡶ
∀ − ↄ |∀ − ↄ|⡱
Osserviamo che vale la proprietà: ❄ ∙ 䙰ⅷᡶᡈ䙱 = 䙦❄∆ⅷ䙧 ∙ ⅸ − ⅷ ∙ 䙦❄∆ⅸ䙧
e quindi: ❄ ∙ ⅹ = 䙦❄∆Ↄ䙧 ∙
∀⡹ↄ |∀⡹ↄ|ㄙ^ − Ↄ ∙ 䙲❄∆^
∀⡹ↄ |∀⡹ↄ|ㄙ䙳
poiché il vettore a è costante ❄∆Ↄ = ❷. Il secondo termine del membro di destra contiene il rotore di
un campo centrale, che è irrotazionale, percui: ❄∆
∀⡹ↄ |∀⡹ↄ|ㄙ^ = 0. Abbiamo perciò dimostrato che la divergenza del campo W(r) è nulla.
ㄅ〃 ㄅぇ ∮ Ⅱ ∙ ↆ↔ = −^
ㄅ䙦〃䙧 ㄅぇ.^ La geometria del problema suggerisce che il campo elettrico avrà direzione tale da essere tangente a circonferenze concentriche con centro sull’asse del cilindro. Utilizzando la legge della circuitazione scegliamo perciò una di queste circonferenze, con raggio r.
Per r < R ᠱ2․ᡰ = − (^) 〱ぇ〱 䙰䙦ᡓᡲ⡰^ − ᡔᡲ䙧․ᡰ⡰䙱 = −䙦2ᡓᡲ − ᡔ䙧․ᡰ⡰, da cui deriviamo:
〱 〱ぇ 䙰䙦ᡓᡲ
⡰
La carica si trova ad una distanza d 1 < R e quindi la forza agente su di essa al tempo richiesto è
ᠲ⡩ = ᡩ
䙦〩⡹⡰〨ぇ䙧〱ㄗ ⡰ = 6.24x
-22N ed è diretta come E.
Per r > R ᠱ2․ᡰ = −䙦2ᡓᡲ − ᡔ䙧․ᡄ⡰, da cui deriviamo: ᠱ䙦ᡰ䙧 =
䙦〩⡹⡰〨ぇ䙧〙ㄘ ⡰ぅ
La carica si trova ad una distanza d 2 > R e quindi la forza agente su di essa al tempo richiesto è
ᠲ⡰ = ᡩ
䙦〩⡹⡰〨ぇ䙧〙ㄘ ⡰〱ㄘ^ = 1.14x
-20 (^) N ed è diretta come E.
y
x B 2