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Typology: Summaries
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El estudio de las distintas formas que adoptan las magnitudes derivadas nos obliga a desarrollar un conjunto de leyes, reglas y propiedades en un campo puramente matemático.
El Análisis Dimensional es el estudio matemático de las relaciones que guardan entre si todas las magnitudes físicas, ya que toda magnitud derivada puede ser expresada como una combinación algebraica de las magnitudes fundamentales.
Es una igualdad que nos indica la dependencia fija de una magnitud cualquiera respecto de las que son fundamentales. En el Sistema Internacional las unidades elegidas como fundamentales son las siguientes:
MAGNITUD FUNDAMENTAL UNIDAD BÁSICA Nombre Símbolo Nombre Símbolo
**1. Longitud L metro m
El operador empleado para trabajar una ecuación o fórmula dimensional serán los corchetes [ ], los mismos que encierran a una magnitud, así [trabajo] se lee “fórmula dimensional del trabajo”.
En general en el sistema internacional la fórmula dimensional de una magnitud derivada “x” se expresará por la matriz siguiente: [x] = La^ Mb^ Tc^ Id^ θe^ Jf^ Ng a, b, c, d, e, f, g = Son números racionales
Para determinar la fórmula dimensional de la velocidad se empleará la siguiente fórmula física :
Pero como la distancia es una magnitud fundamental que es longitud L y el tiempo es T, entonces:
Que es la fórmula dimensional de la velocidad.
TABLA DE FÓRMULAS DIMENSIONALES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA
Esta tabla es sólo un extracto.
Fórmula Dimensional Area, Superficie L^2 Volumen L^3 Velocidad LT-^1 Aceleración (^) LT-^2 Fuerza LMT-^2 Momento, Torque (^) L^2 MT-^2 Trabajo, Energía y Calor L^2 MT-^2 Potencia L^2 MT-^3 Presión L-^1 MT-^2 Velocidad angular T-^1 Aceleración angular (^) T-^2 Período T Frecuencia (^) T-^1 Impulso LMT-^1 Voltaje, Potencial L^2 MT^3 I-^1 Resistencia L^2 MT^3 I-^2 Carga eléctrica IT Campo eléctrico (^) LMT^3 I-^1 Capacidad eléctrica L-^2 M-^1 T^4 I^2 Densidad (^) L-^3 M Peso Específico L-^2 MT-^2 Cantidad de movimiento LMT-^1 Coeficiente de dilatación Θ-^1 Calor específico L^2 T-^2 Θ-^1 Carga magnética (^) LI Inducción magnética MT-^2 I-^1 Flujo Magnético L^2 MT-^2 I-^1 Iluminación L-^2 J
Son aquellas relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes son conocidas y las otras o no lo son o tienen exponentes (dimensiones) desconocidas.
Ejemplos:
a) [A] LT-1^ + [B] LMT = LMT- Donde las incognitas son magnitudes A y B
b) Lx^ T-y^ = L^3 T- Donde las incógnitas son los exponentes x y también llamadas dimensiones.
a) [AB] = [A] [B]
c) [An] = [A]n
d) L + L + L = L
e) T – T – T = T
[30 rad] = 1 [Sen 30°] = 1
[45] = 1 [Log 2] = 1
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL o de FOURIER
En toda ecuación dimensionalmente correcta, los términos que se están sumando o restando deben tener igual ecuación dimensional.
La ecuación dimensional del primer miembro de la ecuación debe ser igual a la del segundo miembro.
Si: es dimensionalmente correcto entonces se debe cumplir que:
G =
2
G = Aceleración de la gravedad b = distancia T = Periodo a) L b) L^2 c) L^3 d) L-3M e) L^4
G = (^2)
2
( )
( )( tan ) Masa
Fuerza Dis cia
a) L-1MT-3^ b) LMT-3^ c) L^3 M-1T- d) L-2MT-1^ e) L
E = (^ ) z
Senw
Si w = Ángulo de incidencia Hallar [z] a) M-1L-2T^2 b) ML^2 c) M-1L^2 T d) MLT-1^ e) LT-
( V 0 )^2 Sen 2 θ
c) d = (V 0 ).t+
at^2 d) h = g
V Sen 2
( 0 ) 2 θ
e) t = g
2 V 0 Sen θ
V C
V: Velocidad F: Fuerza a) MLT-1^ b) MT c) MT- d) MT-1^ e) L^2
R n 8
(^1). π^4
R = Radio I = Longitud P = Presión Hallar la fórmula dimensional de la viscosidad n: a) L-1MT-1^ b) L^2 MT-2^ c) LMT- d) L-1MT-2^ e) LT-
W
W : Trabajo m : Masa h : Altura a) L^2 b) ML^2 c) MT^2 d) T-2^ e) T-
I m nR
V
c t
b t
a b
( 2 )
0
−
V 0 ; V = Velocidad t = Tiempo R = Radio I, m, n = Números Hallar las dimensiones de: E = (bc)/a² a) LT-2^ b) L1/2T-1^ c) L^2 T^3 d) T-3^ e) L
V = Velocidad A = Área D = Densidad L = Longitud a) ML, L^2 T b) ML^3 T, LT c) ML^2 , LT- d) ML-4T, ML-7^ e) L^2 , T-
HF = pωx^ + m 0
Hallar x. y F: Fuerza m 0 = Masa V=Velocidad r = Radio de giro p: Cantidad de movimiento (masa.velocidad) ω : Velocidad angular (ángulo/tiempo) a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -
h =
p gy^ tz
h = Altura t = Tiempo p = Peso g = 9,8 m/s²
a) 0 b) 1 c) 2