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ANALISIS DIMENSIONAL
CONCEPTO
El estudio de las distintas formas que adoptan las magnitudes derivadas nos obliga a desarrollar un conjunto de leyes, reglas y propiedades en un campo puramente matemático.
El Análisis Dimensional es el estudio matemático de las relaciones que guardan entre si todas las magnitudes físicas, ya que toda magnitud derivada puede ser expresada como una combinación algebraica de las magnitudes fundamentales.
FINES
- Relacionar una magnitud física cualquiera con otras elegidas como fundamentales.
- Establecer el grado de verdad de una fórmula física.
- Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de simple desarrollo.
FÓRMULA DIMENSIONAL
Es una igualdad que nos indica la dependencia fija de una magnitud cualquiera respecto de las que son fundamentales. En el Sistema Internacional las unidades elegidas como fundamentales son las siguientes:
MAGNITUD FUNDAMENTAL UNIDAD BÁSICA Nombre Símbolo Nombre Símbolo
**1. Longitud L metro m
- Masa M Kilogramo kg
- Tiempo T Segundo s
- Intensidad de Corriente Eléctrica I**^ ampere^ **A
- Temperatura Termodinámica Ɵ**^ Kelvin^ **K
- Intensidad Luminosa J candela cd
- Cantidad de Sustancia N mol mol**
El operador empleado para trabajar una ecuación o fórmula dimensional serán los corchetes [ ], los mismos que encierran a una magnitud, así [trabajo] se lee “fórmula dimensional del trabajo”.
En general en el sistema internacional la fórmula dimensional de una magnitud derivada “x” se expresará por la matriz siguiente: [x] = La^ Mb^ Tc^ Id^ θe^ Jf^ Ng a, b, c, d, e, f, g = Son números racionales
Para determinar la fórmula dimensional de la velocidad se empleará la siguiente fórmula física :
Pero como la distancia es una magnitud fundamental que es longitud L y el tiempo es T, entonces:
Que es la fórmula dimensional de la velocidad.
TABLA DE FÓRMULAS DIMENSIONALES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA
Esta tabla es sólo un extracto.
MAGNITUDES
DERIVADAS
Fórmula Dimensional Area, Superficie L^2 Volumen L^3 Velocidad LT-^1 Aceleración (^) LT-^2 Fuerza LMT-^2 Momento, Torque (^) L^2 MT-^2 Trabajo, Energía y Calor L^2 MT-^2 Potencia L^2 MT-^3 Presión L-^1 MT-^2 Velocidad angular T-^1 Aceleración angular (^) T-^2 Período T Frecuencia (^) T-^1 Impulso LMT-^1 Voltaje, Potencial L^2 MT^3 I-^1 Resistencia L^2 MT^3 I-^2 Carga eléctrica IT Campo eléctrico (^) LMT^3 I-^1 Capacidad eléctrica L-^2 M-^1 T^4 I^2 Densidad (^) L-^3 M Peso Específico L-^2 MT-^2 Cantidad de movimiento LMT-^1 Coeficiente de dilatación Θ-^1 Calor específico L^2 T-^2 Θ-^1 Carga magnética (^) LI Inducción magnética MT-^2 I-^1 Flujo Magnético L^2 MT-^2 I-^1 Iluminación L-^2 J
ECUACIONES DIMENSIONALES
Son aquellas relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes son conocidas y las otras o no lo son o tienen exponentes (dimensiones) desconocidas.
Ejemplos:
a) [A] LT-1^ + [B] LMT = LMT- Donde las incognitas son magnitudes A y B
b) Lx^ T-y^ = L^3 T- Donde las incógnitas son los exponentes x y también llamadas dimensiones.
REGLAS
- Al operar con ecuaciones dimensionales, se pueden emplear todas las reglas algebraicas excepto las de suma y resta, en su lugar diremos que la suma y diferencia de magnitudes de la misma especie da como resultado otra magnitud de la misma especie.
a) [AB] = [A] [B]
b)
^ =
D
C
D
C
c) [An] = [A]n
d) L + L + L = L
e) T – T – T = T
- La fórmula dimensional de todo ángulo, función trigonométrica, logaritmo y en general toda cantidad adimensional o número es la unidad.
[30 rad] = 1 [Sen 30°] = 1
[45] = 1 [Log 2] = 1
- Las expresiones que son exponentes no tienen unidades.
- Toda ecuación dimensional se escribe en forma de monomio entero; si es fraccionario, se hace entero con exponente negativo.
M
LT
= LM-1T 3
T
L
= LT-
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL o de FOURIER
En toda ecuación dimensionalmente correcta, los términos que se están sumando o restando deben tener igual ecuación dimensional.
La ecuación dimensional del primer miembro de la ecuación debe ser igual a la del segundo miembro.
Si: es dimensionalmente correcto entonces se debe cumplir que:
PROBLEMAS PROPUESTOS
- Aplicando las reglas del análisis dimensional, responde lo siguiente:
- L + L + … = L
- T – T = ….
- [π] = …
- [Sen (ab)] = …
- [log x] = …..
- (…) – (LT-1) = LT-
- (LMT^2 ) + (…) = (…) (LMT^2 )
- L^1 T-2^ = LxTy^ entonces x = …; y = …
- T-1^ = LxTy^ entonces x = …; y = …
- LT-2^ = L2xMx+yTz^ entonces x = …; y = …
- Hallar la fórmula dimensional de P en la siguiente ecuación: P = (Densidad)(Velocidad)² a) LMT-1^ b) LM-1T-2^ c) LMT^2 d) L-1MT-2^ e) MT-
- En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea se tiene que: x = d Sen (abx) donde [x] = L, [a] = T ¿cuál es la fórmula dimensional de “b”? a) T-1^ b) L-1^ c) LT d) L-1T-1^ e) L^2
- Encontrar la fórmula dimensional de A para que la ecuación sea dimensionalmente homogénea.
G =
T A
L L bCos
2
G = Aceleración de la gravedad b = distancia T = Periodo a) L b) L^2 c) L^3 d) L-3M e) L^4
TAREA DOMICILIARIA
- Determinar la fórmula dimensional de “G”
G = (^2)
2
( )
( )( tan ) Masa
Fuerza Dis cia
a) L-1MT-3^ b) LMT-3^ c) L^3 M-1T- d) L-2MT-1^ e) L
- La siguiente ecuación nos define la velocidad V en función del tiempo (T) de un cuerpo que se desplaza sobre una superficie horizontal V = AW Cos(WT) Hallar: [W] a) LMT-1^ b) LT-1^ c) T- d) T-2^ e) T-
- La fórmula de la energía está dada por:
E = (^ ) z
Senw
Si w = Ángulo de incidencia Hallar [z] a) M-1L-2T^2 b) ML^2 c) M-1L^2 T d) MLT-1^ e) LT-
- La ecuación de estado de un gas ideal es pV= nRT p = presión, V=volumen n=cantidad de sustancia T= temperatura termodinámica Determinar la fórmula dimensional de la constante Universal de los gases R a) 1 b) L^2 M^2 T- c) L^2 M^2 T-2θ- d) L^2 MT-2θ-1N- e) L^2 M^3 T-2θ-1N-
- Indique la fórmula que no satisface el principio de homogeneidad dimensional, si se sabe que: d = Desplazamiento; V 0 = Velocidad inicial V = velocidad final, a = Aceleración, g = Aceleración de gravedad, t = tiempo, h = altura. a) (V)^2 = (V 0 )^2 + 2ad b) d = g
( V 0 )^2 Sen 2 θ
c) d = (V 0 ).t+
at^2 d) h = g
V Sen 2
( 0 ) 2 θ
e) t = g
2 V 0 Sen θ
- Dadas las siguientes expresiones encontrar [A]:
V C
A B
F
C
( A + B )^2 =
V: Velocidad F: Fuerza a) MLT-1^ b) MT c) MT- d) MT-1^ e) L^2
- El volumen del fluido que pasa en unidad de tiempo por un tubo capilar, está colocado por: V = (^) P I
R n 8
(^1). π^4
R = Radio I = Longitud P = Presión Hallar la fórmula dimensional de la viscosidad n: a) L-1MT-1^ b) L^2 MT-2^ c) LMT- d) L-1MT-2^ e) LT-
- Cuál será la fórmula dimensional de x para que la expresión sea dimensionalmente correcta: x = m ( b^2 n^2 )
W
W : Trabajo m : Masa h : Altura a) L^2 b) ML^2 c) MT^2 d) T-2^ e) T-
- La velocidad de una partícula en el interior de un fluido está dada por la fórmula:
V =
I m nR
V
c t
b t
a b
( 2 )
0
V 0 ; V = Velocidad t = Tiempo R = Radio I, m, n = Números Hallar las dimensiones de: E = (bc)/a² a) LT-2^ b) L1/2T-1^ c) L^2 T^3 d) T-3^ e) L
- Hallar la fórmula dimensional de “x” e “y”
xV 3 + D. Sen 37 º= yAL^2
V = Velocidad A = Área D = Densidad L = Longitud a) ML, L^2 T b) ML^3 T, LT c) ML^2 , LT- d) ML-4T, ML-7^ e) L^2 , T-
- En la siguiente ecuación homogénea:
HF = pωx^ + m 0
r
V y
Hallar x. y F: Fuerza m 0 = Masa V=Velocidad r = Radio de giro p: Cantidad de movimiento (masa.velocidad) ω : Velocidad angular (ángulo/tiempo) a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -
- La ecuación que se muestra nos da la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre:
h =
p gy^ tz
h = Altura t = Tiempo p = Peso g = 9,8 m/s²
Determinar el valor de: E = z^ x + y
a) 0 b) 1 c) 2
d) 2 e) 2 2
