Geometría Analítica: Rectas y Cónicas - Unidad 2, Exercises of Materials Physics

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UNIDAD II

GEOMETRÍA ANALÍTICA

FUNCIONES

MATEMÁTICAS

Índice

2.1.2 Conceptos de: punto, recta, distancia entre puntos, punto medio de un segmento de

• Presentación de la unidad:
• Objetivo de aprendizaje de la unidad.......................................................................................
• Desempeños de la unidad
• Temario
• Evaluación y calendarización de actividades por unidad
• Esquema de evaluación general
• Contenido unidad 2..................................................................................................................
• 2.1 La recta en el sistema cartesiano
  • 2.1.1 Elementos y características del plano cartesiano.
    • una recta, ángulo entre dos rectas y pendiente de una recta. recta, división de un segmento de recta en una razón dada, distancia de un punto a
  • 2.1.3 Forma común de la ecuación de la recta: y = mx + b
  • 2.1.4 Forma simétrica de la ecuación de la recta: x/a + y/b =
  • 2.1.5 Forma general de la ecuación de la recta: ax + by + c =
  • 2.1.6 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
  • 2.1.7 ECUACIÓN DE LA RECTA PUNTO-PENDIENTE
  • 2.1.8 Ecuación de la recta pendiente y ordenada al origen
• 2.2 cónicas - e hipérbola. 2.2.1 Concepto de: cónica, lugar geométrico, elementos de circunferencia, parábola, elipse
  • 2.2.2 Ecuaciones de la circunferencia: común, canónica y general.
  • 2.2.3 Ecuaciones de la parábola: canónica, común y general............................................
  • 2.2.4 Ecuaciones de la elipse: canónica, común y general.
  • 2.2.5 Ecuaciones de la hipérbola: canónica, común y general.
• Cierre de la unidad
• Fuentes de consulta

Desempeños de la unidad

 Obtiene la distancia entre dos puntos, el punto medio de un segmento de

recta, la división de un segmento de recta en una razón dada, la distancia de

un punto a una recta, el ángulo entre dos rectas y la pendiente de una recta.

 Representa en el plano cartesiano el punto, el punto medio de un segmento de recta,

la división de un segmento de recta en una razón dada y el ángulo entre dos rectas.

 Obtiene la ecuación de la recta.

 Representa la ecuación de la recta en sus diferentes formas.

 Representa en el plano cartesiano los elementos de la circunferencia, la parábola, la

elipse y la hipérbola.

 Obtiene las ecuaciones de circunferencia, parábola, elipse e hipérbola dadas sus

condiciones.

 Representa las ecuaciones de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola en sus

diferentes formas.

Temario

Unidad 2. Geometría Analítica

2.1. La recta en el sistema cartesiano

2.1.1. Elementos y características del plano cartesiano

2.1.2. Conceptos de: punto, recta, distancia entre puntos, punto medio de un segmento

de recta, división de un segmento de recta en una razón dada, distancia de un

punto a una recta, ángulo entre dos rectas y pendiente de una recta

2.1.3. Forma común de la ecuación de la recta: y = mx + b

2.1.4. Forma simétrica de la ecuación de la recta: x/a + y/b = 1

2.1.5. Forma general de la ecuación de la recta: ax + by + c = 0

2.1.6. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

2.1.7. Ecuación de la recta punto pendiente

2.1.8. Ecuación de la recta pendiente y ordenada al origen

2.2. Cónicas

2.2.1. Concepto de: cónica, lugar geométrico, elementos de circunferencia, parábola,

elipse e hipérbola

2.2.2. Ecuaciones de la circunferencia: común, canónica y general

2.2.3. Ecuaciones de la parábola: común, canónica y general

2.2.4. Ecuaciones de la elipse: común, canónica y general

2.2.5. Ecuaciones de la hipérbola: común, canónica y general

Evaluación y calendarización de actividades por unidad

Consideraciones generales

 Para acreditar la unidad es requisito indispensable realizar todas las

actividades programadas en la plataforma, puesto que los productos generados

son esenciales para establecer las bases teóricas y prácticas, fundamentales

para lograr un aprendizaje significativo.

 El promedio final mínimo para aprobar la unidad es 80.

 Todas las actividades y evidencias de aprendizaje se evalúan de acuerdo a los criterios

de evaluación establecidos para cada actividad, por medio de rúbricas, cuestionarios y listas

de cotejo, considerando los niveles de autonomía alcanzados de acuerdo al logro de la

competencia.

Contenido unidad 2

2.1 La recta en el sistema cartesiano

2.1.1 Elementos y características del plano cartesiano.

La geometría analítica es una disciplina matemática propuesta por el matemático y filósofo

René Descartes en 1637, que combina el álgebra con la geometría, asociando los números

con puntos y ecuaciones de figuras geométricas (Carpinteyro Vigil, 2016).

Un sistema de coordenadas rectangulares, denominado plano cartesiano , divide un plano en

cuatro cuadrantes ( I, II, III y IV ) por medio de dos rectas numéricas perpendiculares que se

intersectan en un punto de origen que se representa por la letra O. Los cuadrantes siempre

se ordenan en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Estas rectas numéricas reciben el nombre de eje X o eje de las abscisas (posición horizontal)

y eje Y o eje de las ordenadas (posición vertical) y ambos constituyen los ejes de las

coordenadas (Kindle, 1992).

Figura 1. Plano cartesiano. Fuente: Elaboración propia.

2.1.2 Conceptos de: punto, recta, distancia entre puntos, punto medio

de un segmento de recta, división de un segmento de recta en una

razón dada, distancia de un punto a una recta, ángulo entre dos rectas

y pendiente de una recta.

a) Punto

Un punto puede posicionarse en una recta, en un plano o en el espacio; de acuerdo a su

ubicación, cambia la referencia para localizarlo.

Cada punto de un plano se asocia con una pareja de números llamados coordenadas , las

cuales indican las distancias dirigidas desde un punto determinado a dos rectas fijas: eje de

las abscisas y eje de las ordenadas; por tanto, las coordenadas de un punto en un plano

cartesiano se representan por el símbolo (x, y) y se escriben en el orden (abscisa, ordenada)

(Ruíz Basto, 2018).

Por ejemplo, la notación del punto P(-1, 3) indica que las coordenadas de P son abscisa - 1,

ordenada 3.

Figura 2. Punto en el plano cartesiano, P (-1, 3). Fuente: Elaboración propia.

Figura 3. Distancia entre dos puntos. Fuente: Elaboración propia.

Por ejemplo, la distancia entre los puntos (7, – 2) y (5, 3) es:

1

2

2

2

= 5. 385 unidades

El cálculo de la distancia entre los puntos es útil para calcular el perímetro de un polígono o

alguna figura geométrica; basta con sumar las longitudes de los lados de la figura (para

obtener la longitud del contorno) (SEP, 2015).

Por ejemplo, el cálculo del perímetro de la siguiente figura geométrica:

Figura 4. Figura geométrica. Fuente: Elaboración propia.

Primero se calcula la distancia de los 3 segmentos 𝐴𝐵

y 𝐶𝐴

1

2

2

= 6. 324 unidades

2

2

2

= 5. 385 unidades

3

2

2

= 2. 236 unidades

Por tanto, el perímetro es igual a P = 𝐴𝐵

P = 6.324 + 5.385 + 2.236 = 13.945 unidades

e) División de un segmento de recta en una razón dada

Si se tiene un segmento de recta de 𝑃

1

a 𝑃

2

y por él se define un punto 𝑃, entonces el segmento

de recta 𝑃

1

2

queda dividido en razón de 𝑟.

Figura 6. Segmento de recta en una razón dada. Fuente: Elaboración propia.

El punto 𝑃

que divide a un segmento de recta en una razón dada se llama punto de

división y se calcula con la fórmula:

1

2

Si la distancia entre 𝑃 1

y 𝑃

2

es positiva, entonces las distancias entre 𝑃

1

𝑃 y 𝑃𝑃

2

serán positivas

y la razón 𝑟 también será positiva.

Si el punto 𝑃 está fuera del segmento 𝑃

1

2

entonces una de las distancias 𝑃

1

ó 𝑃𝑃

2

será

negativa y la razón 𝑟 también será negativa (SEP, 2015).

Ejemplo:

Se tiene un segmento de recta 𝐴𝐵

cuyos puntos extremos son A(-3, - 5) y B(4, 2). Calcular la

razón en la que el punto P(- 1 , - 3 ) divide al segmento de recta.

Figura 7. Segmento de recta para calcular la razón del ejemplo. Fuente: Elaboración propia.

Figura 8. Segmento de recta que muestra el resultado del ejemplo. Fuente: Elaboración propia.

f) Distancia de un punto a una recta

La línea recta es el lugar geométrico definido por un conjunto infinito de puntos unidos en una

misma dirección y de una sola dimensión, que tienen entre sí la misma pendiente (SEP, 2015).

La distancia de un punto P 1 (x 1 , y 1 ) a una recta, es la longitud perpendicular trazada desde

dicho punto hasta la recta.

g) Pendiente de una recta.

Una pendiente es el grado de inclinación de una recta, se representa con la letra m y

representa el cambio del eje y con respecto al eje x (SEP, 2015). La pendiente se define como

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 (𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛)

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙(𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜)

Figura 9. Cambio del eje y con respecto al eje x (SEP, 2015).

Si una recta pasa por dos puntos diferentes P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ), su pendiente m es la

tangente del ángulo de inclinación 𝜃 (es el menor de los ángulos que forma una recta con el

eje horizontal x) y está dada por la siguiente fórmula (SEP, 2015):

𝑦

𝑥

2

1

2

1

Donde x 1

tiene que ser diferente de x 2

, cualesquiera que sean los cuadrantes en los que estén

situados los puntos P 1 y P 2.

La pendiente m entonces se define como la razón de cambio que existe entre un

desplazamiento vertical con respecto a un desplazamiento horizontal (Morales Mercado,

Cárdenas Esquer, Conde Hernández, Palafox Duarte, & Amavisca Carlton, 2017). La

pendiente puede ser de varios tipos:

Figura 1 1. Tipos de pendiente (SEP, 2015).

Ejemplo:

Encuentra la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos A(1,-

2. y B(-2, 3).

Para el punto A(x 1

,y 1

) y B(x 2

,y 2

𝑦

2

−𝑦

1

𝑥

2

−𝑥

1

3 −(− 2 )

− 2 − 1

5

− 3

Para el punto B(x 1

,y 1

) y A(x 2

,y 2

𝑦

2

−𝑦

1

𝑥

2

−𝑥

1

− 2 − 3

1 −(− 2 )

− 5

3

En ambos casos, m= - 1.

Después se calcula el ángulo de inclinación (se despeja 𝜃 de la fórmula):

− 1

− 1

(− 1. 67 ) = − 59 .04° (que indica que es medido en contra de las manecillas

del reloj).

Entonces se suma 180 ° con − 59 .04° = 120.96°, quedando la gráfica como sigue:

Figura 12. Recta que pasa por los puntos A (1,-2) y B (-2, 3) (SEP, 2015).