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Typology: Exercises
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Strutture algebriche ā GeneralitĆ sugli insiemi. Unione, intersezione e differenza di insiemi. n-uple ordinate e prodotto cartesiano di insiemi. Corrispondenze tra insiemi. Applicazioni tra insiemi. Applicazioni iniettive, suriettive e biettive. Applicazioni invertibili e loro caratterizzazione. Inversa di unāapplicazione. Operazioni in un insieme e loro proprietĆ . Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi.
Spazi vettoriali ā Spazi vettoriali su un campo. Esempi di spazi vettoriali: lo spazio dei vettori applicati e dei vettori liberi; lo spazio vettoriale numerico; lo spazio dei polinomi a coefficienti reali; spazi di funzioni. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Sottospazi generati da sottoinsiemi. Intersezione, somma e somma diretta di sottospazi. Dipendenza ed indipendenza lineare. Sistemi di generatori e spazi vettoriali finitamente generati. Il lemma di Steinitz (senza dimostrazione). Basi e loro caratterizzazione. Esistenza ed equipotenza delle basi (con dimostrazione solo nel caso di spazi vettoriali finitamente generabili). Componenti di un vettore in una base. Estrazione di una base da un sistema di generatori ed estensione a base di un sistema di vettori indipendente. Dimensione di uno spazio vettoriale. Relazioni tra la dimensione dello spazio vettoriale e quella di un suo sottospazio. La formula di Grassmann.
Applicazioni lineari ā Applicazioni lineari tra spazi vettoriali e loro proprietĆ . Il teorema fondamentale delle applicazioni lineari. Nucleo ed immagine di unāapplicazione lineare. Teorema della dimensione. Monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi. Isomorfismo coordinato.
Spazi euclidei ā Prodotto scalare e spazi vettoriali euclidei reali. Disuguaglianza di Cauchy- Schwartz e disuguaglianza triangolare (senza dimostrazione). Angolo tra due vettori e vettori ortogonali. Il teorema di Pitagora. Insiemi ortogonali e ortonormali, e loro lineare indipendenza. Basi ortogonali e ortonormali. Coefficienti di Fourier e proiezione ortogonale. Il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio.
Matrici e sistemi lineari ā Matrici su un campo. Operazioni tra matrici e loro proprietĆ : lo spazio vettoriale delle matrici e lāanello delle matrici quadrate. Matrici a scala. Algoritmo di Gauss ed algoritmo di Gauss-Jordan. Determinante di una matrice quadrata e Primo Teorema di Laplace (senza dimostrazione). Il Secondo Teorema di Laplace. Il teorema di Binet (senza dimostrazione). Metodi di calcolo del determinante. Matrici invertibili e gruppo lineare. Caratterizzazione delle matrici invertibili in termini di determinante. Metodi di calcolo della matrice inversa. Dipendenza lineare nello spazio vettoriale numerico e rango di una matrice. Il teorema degli orlati (senza dimostrazione). GeneralitĆ sui sistemi lineari. Soluzioni di un sistema lineare, sistemi equivalenti e ricerca delle soluzioni di un sistema lineare. Il teorema di RouchĆØ-Capelli e il teorema di Cramer. I sistemi lineari omogenei. Sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo e rappresentazione cartesiana di sottospazi vettoriali. Relazione tra le soluzioni di un sistema lineare e le soluzioni del sistema omogeneo ad esso associato.
Diagonalizzazione di endomorfismi e matrici ā Matrice associata ad unāapplicazione lineare e applicazione lineare associata ad una matrice. Matrice associata alla composizione di due applicazioni lineari e matrice associata allāinversa di unāapplicazione lineare invertibile. Matrice del cambio di riferimento. Matrici simili ed effetto del cambiamento di riferimento sulla matrice associata ad un endomorfismo. Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Autospazi. Polinomio caratteristico. MolteplicitĆ algebrica e geometrica di un autovalore e loro relazione. DiagonalizzabilitĆ di un endomorfismo. Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili in termini di radici del polinomio caratteristico: il teorema spettrale. Matrici diagonalizzabili.
Geometria analitica nel piano e nello spazio ā Riferimenti affini e coordinate dei punti (nel piano e nello spazio affine euclideo). Rappresentazione parametrica ed equazioni cartesiane di rette e piani (nel piano e nello spazio affine euclideo). Posizioni reciproche tra rette e piani. Condizioni di parallelismo ed ortogonalitĆ . Fasci di rette nel piano. Fasci di piani nello spazio. Comune perpendicolare tra rette nello spazio. Distanze.