Geometry program program better | Exercises Geometry

Strutture algebriche – Generalità sugli insiemi. Unione, intersezione e diﬀerenza di insiemi. n-uple

ordinate e prodotto cartesiano di insiemi. Corrispondenze tra insiemi. Applicazioni tra insiemi.

Applicazioni iniettive, suriettive e biettive. Applicazioni invertibili e loro caratterizzazione. Inversa

di un’applicazione. Operazioni in un insieme e loro proprietà. Strutture algebriche: gruppi, anelli e

campi.

Spazi vettoriali – Spazi vettoriali su un campo. Esempi di spazi vettoriali: lo spazio dei vettori

applicati e dei vettori liberi; lo spazio vettoriale numerico; lo spazio dei polinomi a coeﬃcienti reali;

spazi di funzioni. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Sottospazi generati da sottoinsiemi.

Intersezione, somma e somma diretta di sottospazi. Dipendenza ed indipendenza lineare. Sistemi

di generatori e spazi vettoriali ﬁnitamente generati. Il lemma di Steinitz (senza dimostrazione).

Basi e loro caratterizzazione. Esistenza ed equipotenza delle basi (con dimostrazione solo nel caso

di spazi vettoriali ﬁnitamente generabili). Componenti di un vettore in una base. Estrazione di una

base da un sistema di generatori ed estensione a base di un sistema di vettori indipendente.

Dimensione di uno spazio vettoriale. Relazioni tra la dimensione dello spazio vettoriale e quella di

un suo sottospazio. La formula di Grassmann.

Applicazioni lineari – Applicazioni lineari tra spazi vettoriali e loro proprietà. Il teorema

fondamentale delle applicazioni lineari. Nucleo ed immagine di un’applicazione lineare. Teorema

della dimensione. Monomorﬁsmi, epimorﬁsmi, isomorﬁsmi. Isomorﬁsmo coordinato.

Spazi euclidei – Prodotto scalare e spazi vettoriali euclidei reali. Disuguaglianza di Cauchy-

Schwartz e disuguaglianza triangolare (senza dimostrazione). Angolo tra due vettori e vettori

ortogonali. Il teorema di Pitagora. Insiemi ortogonali e ortonormali, e loro lineare indipendenza.

Basi ortogonali e ortonormali. Coeﬃcienti di Fourier e proiezione ortogonale. Il processo di

ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio.

Matrici e sistemi lineari – Matrici su un campo. Operazioni tra matrici e loro proprietà: lo spazio

vettoriale delle matrici e l’anello delle matrici quadrate. Matrici a scala. Algoritmo di Gauss ed

algoritmo di Gauss-Jordan. Determinante di una matrice quadrata e Primo Teorema di Laplace

(senza dimostrazione). Il Secondo Teorema di Laplace. Il teorema di Binet (senza dimostrazione).

Metodi di calcolo del determinante. Matrici invertibili e gruppo lineare. Caratterizzazione delle

matrici invertibili in termini di determinante. Metodi di calcolo della matrice inversa. Dipendenza

lineare nello spazio vettoriale numerico e rango di una matrice. Il teorema degli orlati (senza

dimostrazione). Generalità sui sistemi lineari. Soluzioni di un sistema lineare, sistemi equivalenti e

ricerca delle soluzioni di un sistema lineare. Il teorema di Rouchè-Capelli e il teorema di Cramer. I

sistemi lineari omogenei. Sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo e rappresentazione

cartesiana di sottospazi vettoriali. Relazione tra le soluzioni di un sistema lineare e le soluzioni del

sistema omogeneo ad esso associato.

Diagonalizzazione di endomorﬁsmi e matrici – Matrice associata ad un’applicazione lineare e

applicazione lineare associata ad una matrice. Matrice associata alla composizione di due

applicazioni lineari e matrice associata all’inversa di un’applicazione lineare invertibile. Matrice del

cambio di riferimento. Matrici simili ed eﬀetto del cambiamento di riferimento sulla matrice

associata ad un endomorﬁsmo. Autovalori ed autovettori di un endomorﬁsmo. Autospazi.

Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore e loro relazione.

Diagonalizzabilità di un endomorﬁsmo. Caratterizzazione degli endomorﬁsmi diagonalizzabili in

termini di radici del polinomio caratteristico: il teorema spettrale. Matrici diagonalizzabili.

Geometria analitica nel piano e nello spazio – Riferimenti aﬃni e coordinate dei punti (nel piano e

nello spazio aﬃne euclideo). Rappresentazione parametrica ed equazioni cartesiane di rette e

piani (nel piano e nello spazio aﬃne euclideo). Posizioni reciproche tra rette e piani. Condizioni di

parallelismo ed ortogonalità. Fasci di rette nel piano. Fasci di piani nello spazio. Comune

perpendicolare tra rette nello spazio. Distanze.

Partial preview of the text

Download Geometry program program better and more Exercises Geometry in PDF only on Docsity!

Strutture algebriche – Generalità sugli insiemi. Unione, intersezione e differenza di insiemi. n-uple ordinate e prodotto cartesiano di insiemi. Corrispondenze tra insiemi. Applicazioni tra insiemi. Applicazioni iniettive, suriettive e biettive. Applicazioni invertibili e loro caratterizzazione. Inversa di un’applicazione. Operazioni in un insieme e loro proprietà. Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi.

Spazi vettoriali – Spazi vettoriali su un campo. Esempi di spazi vettoriali: lo spazio dei vettori applicati e dei vettori liberi; lo spazio vettoriale numerico; lo spazio dei polinomi a coefficienti reali; spazi di funzioni. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Sottospazi generati da sottoinsiemi. Intersezione, somma e somma diretta di sottospazi. Dipendenza ed indipendenza lineare. Sistemi di generatori e spazi vettoriali finitamente generati. Il lemma di Steinitz (senza dimostrazione). Basi e loro caratterizzazione. Esistenza ed equipotenza delle basi (con dimostrazione solo nel caso di spazi vettoriali finitamente generabili). Componenti di un vettore in una base. Estrazione di una base da un sistema di generatori ed estensione a base di un sistema di vettori indipendente. Dimensione di uno spazio vettoriale. Relazioni tra la dimensione dello spazio vettoriale e quella di un suo sottospazio. La formula di Grassmann.

Applicazioni lineari – Applicazioni lineari tra spazi vettoriali e loro proprietà. Il teorema fondamentale delle applicazioni lineari. Nucleo ed immagine di un’applicazione lineare. Teorema della dimensione. Monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi. Isomorfismo coordinato.

Spazi euclidei – Prodotto scalare e spazi vettoriali euclidei reali. Disuguaglianza di Cauchy- Schwartz e disuguaglianza triangolare (senza dimostrazione). Angolo tra due vettori e vettori ortogonali. Il teorema di Pitagora. Insiemi ortogonali e ortonormali, e loro lineare indipendenza. Basi ortogonali e ortonormali. Coefficienti di Fourier e proiezione ortogonale. Il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio.

Matrici e sistemi lineari – Matrici su un campo. Operazioni tra matrici e loro proprietà: lo spazio vettoriale delle matrici e l’anello delle matrici quadrate. Matrici a scala. Algoritmo di Gauss ed algoritmo di Gauss-Jordan. Determinante di una matrice quadrata e Primo Teorema di Laplace (senza dimostrazione). Il Secondo Teorema di Laplace. Il teorema di Binet (senza dimostrazione). Metodi di calcolo del determinante. Matrici invertibili e gruppo lineare. Caratterizzazione delle matrici invertibili in termini di determinante. Metodi di calcolo della matrice inversa. Dipendenza lineare nello spazio vettoriale numerico e rango di una matrice. Il teorema degli orlati (senza dimostrazione). Generalità sui sistemi lineari. Soluzioni di un sistema lineare, sistemi equivalenti e ricerca delle soluzioni di un sistema lineare. Il teorema di Rouchè-Capelli e il teorema di Cramer. I sistemi lineari omogenei. Sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo e rappresentazione cartesiana di sottospazi vettoriali. Relazione tra le soluzioni di un sistema lineare e le soluzioni del sistema omogeneo ad esso associato.

Diagonalizzazione di endomorfismi e matrici – Matrice associata ad un’applicazione lineare e applicazione lineare associata ad una matrice. Matrice associata alla composizione di due applicazioni lineari e matrice associata all’inversa di un’applicazione lineare invertibile. Matrice del cambio di riferimento. Matrici simili ed effetto del cambiamento di riferimento sulla matrice associata ad un endomorfismo. Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore e loro relazione. Diagonalizzabilità di un endomorfismo. Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili in termini di radici del polinomio caratteristico: il teorema spettrale. Matrici diagonalizzabili.

Geometria analitica nel piano e nello spazio – Riferimenti affini e coordinate dei punti (nel piano e nello spazio affine euclideo). Rappresentazione parametrica ed equazioni cartesiane di rette e piani (nel piano e nello spazio affine euclideo). Posizioni reciproche tra rette e piani. Condizioni di parallelismo ed ortogonalità. Fasci di rette nel piano. Fasci di piani nello spazio. Comune perpendicolare tra rette nello spazio. Distanze.

Geometry program program better, Exercises of Geometry

Related documents

Partial preview of the text

Download Geometry program program better and more Exercises Geometry in PDF only on Docsity!