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Una introducción intuitiva al concepto de límites en cálculo, utilizando una analogía con una vecindad para explicar cómo se aproxima una función a un valor específico. Se exploran diferentes casos en los que el límite existe y no existe, y se establece la importancia de la información proporcionada por los vecinos (valores de la variable independiente) para determinar la existencia del límite. Una herramienta útil para estudiantes de cálculo que buscan comprender los conceptos básicos de límites antes de abordar un enfoque más formal.
Typology: Study notes
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Dra. Luc´ıa Bel´en Gamboa Salazar Universidad Aut´onoma de Yucat´an Facultad de Matem´aticas
10 de enero de 2024
1 Ideas intuitivas acerca de l´ımites
(^2) Casos en los que el l´ımite EXISTE
(^3) Casos en los que el l´ımite NO EXISTE
Ideas intuitivas acerca de l´ımites
Piensa que tienes una casa de fraccionamiento donde la pared de tu casa coincide con la de otras casas y la gente est´a muy cercana entre s´ı y algunos muy cercanos a tu casa.
Piensa tambi´en que en la calle de atr´as y en la calle de adelante no vive nadie, s´olo vive gente del mismo lado de la calle donde est´a tu casa.
Ideas intuitivas acerca de l´ımites
En eso llega alguien que quiere conocer informaci´on acerca de ti a fin de poder hacer una predicci´on de c´omo eres y no considera importante lo que t´u digas de ti, sino que esa persona busca a tus vecinos y se pone a preguntarles acerca de ti.
Ideas intuitivas acerca de l´ımites
Le pregunta a un vecino por cada casa y resume la informaci´on asignando un n´umero a lo que dijo la persona. Cada vez que va a alguna casa el vecino le da informaci´on de ti, nadie se niega a hablar.
Ideas intuitivas acerca de l´ımites
Si ocurre que conforme m´as cerca viven de tu casa la opini´on de tus vecinos acerca de ti es cada vez m´as parecida entre s´ı, tambi´en el n´umero que corresponde a lo que dice cada vecino estar´a m´as cercano entre s´ı. Notemos que se puede hacer una predicci´on, y de manera intuitiva esa idea corresponde matem´aticamente a que existe el l´ımite y el n´umero com´un al que se aproxima esa informaci´on muy similar es el l´ımite (ser´ıa la predicci´on).
En el l´ımite lo que se quiere saber es si hay informaci´on muy similar que venga de quienes est´an cerca del punto en cuesti´on.
Ideas intuitivas acerca de l´ımites
Trasladando lo anterior a lenguaje matem´atico:
Los vecinos corresponder´ıan a valores de la variable independiente, notar que van cambiando seg´un a qui´en se le pregunte, podemos denotar a los vecinos con x (importante: x var´ıa) y el n´umero que corresponde a la informaci´on que los vecinos proporcionan corresponde a valores de la variable dependiente es decir f (x), porque es informaci´on que depende de a qui´en se le pregunt´o (es decir, est´a en funci´on del vecino al que se le pregunt´o).
Ideas intuitivas acerca de l´ımites
Trasladando lo anterior a lenguaje matem´atico:
Los vecinos corresponder´ıan a valores de la variable independiente, notar que van cambiando seg´un a qui´en se le pregunte, podemos denotar a los vecinos con x (importante: x var´ıa) y el n´umero que corresponde a la informaci´on que los vecinos proporcionan corresponde a valores de la variable dependiente es decir f (x), porque es informaci´on que depende de a qui´en se le pregunt´o (es decir, est´a en funci´on del vecino al que se le pregunt´o).
T´u te llamar´as c, denotado distinto porque no eres considerado vecino de t´ı mismo, la informaci´on que des o no des, es irrelevante para este proceso de l´ımite, recordar que s´olo se busca saber si hay informaci´on com´un que vino de los vecinos, no es necesario que des informaci´on de ti (es decir no es necesario que exista f (c)).
Casos en los que el l´ımite EXISTE
Tu no dices nada de ti pero el n´umero que corresponde a la informaci´on que dan los vecinos del lado derecho es muy similar al obtenido de los vecinos del lado izquierdo.
Callas Los vecinos hablan y coinciden entre s´ı
—Matem´aticamente
Casos en los que el l´ımite EXISTE
Tu hablas de ti pero la informaci´on que dan los vecinos de ambos lados de tu casa, entre ellos es parecida pero es muy distinta a lo que dices de ti.
Hablas de ti Los vecinos coinci- den en algo distinto a lo que dices de ti
—Matem´aticamente
Casos en los que el l´ımite NO EXISTE
El l´ımite no existe cuando: (^1) Cuando no hay vecinos de alg´un lado de la calle o de ambos. (^2) Cuando la informaci´on que dan los vecinos cercanos es muy distinta entre s´ı. (^3) Cuando la informaci´on del lado derecho es muy distinta a la obtenida del lado izquierdo.
Casos en los que el l´ımite NO EXISTE
¿Para qu´e valor de c no hay veci- nos de alg´un lado? ¿de qu´e lado?
¿Para qu´e valor de c no hay veci- nos de alg´un lado? ¿de qu´e lado?
Casos en los que el l´ımite NO EXISTE
Geom´etricamente (hay muchos otros casos en los que esto ocurre)
Casos en los que el l´ımite NO EXISTE
A continuaci´on abordaremos el tema de l´ımites usando ideas matem´aticas, pero por ahora todav´ıa fuera del enfoque riguroso.
