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Este documento explora la importancia de las ecuaciones diferenciales en la ingeniería industrial, proporcionando una introducción a las ecuaciones separables y su aplicación en la gestión de inventarios. Se presenta un modelo de inventario con tasa de demanda variable, ilustrando cómo las ecuaciones diferenciales pueden ayudar a optimizar la producción y minimizar los costos de almacenamiento.
Typology: Schemes and Mind Maps
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Importancia de las Ecuaciones Diferenciales en Ingeniería Industria Autor: Heidy Vanessa Petuma Bedoya Daniel Felipe Londoño Ciro Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Docente: Emerson Garrido Bermúdez Institución universitaria Pascual bravo Medellín 2024
Ecuaciones Diferenciales en la Ingeniería Industrial Las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel fundamental en el análisis de fenómenos físicos y matemáticos complejos, proporcionando herramientas cruciales para el desarrollo y la optimización en diversos sectores industriales. Estas ecuaciones, al relacionar variables que cambian de manera continua, permiten una comprensión profunda de cómo las cantidades variables se comportan a lo largo del tiempo y el espacio, facilitando la predicción y el control de diversos procesos. En la industria, las ecuaciones diferenciales se aplican en múltiples áreas, cada una con sus particularidades y desafíos específicos. En la producción, logística, mantenimiento, planeación, finanzas, calidad y demás áreas de la ingeniería industrial ¿Qué son las Ecuaciones separables? Definición: Una ecuación diferencial de la forma : es una ecuación separable o de variables separables si f(x, y) se puede expresar como el producto de una función de x por una función de y, esto es: Es una ecuación separable o de variables separables si se puede escribir de la forma: Método de resolución:
Obteniendo la solución implícita: La solución obtenida no está definida para los valores de x tales que h(x) = 0. Si g(y) = 0 es solución de la ecuación diferencial, la añadiremos a esta para obtener la solución general de la ecuación diferencial. En el proceso de resolución se pueden perder soluciones con las manipulaciones algebraicas. Por ello, hay que comprobar si alguna de ellas es o no solución, y en caso de serlo, añadirla para obtener la solución general. Ejercicio de aplicado a la ingeniería: Modelo de Inventario con Tasa de Demanda Variable Una empresa manufacturera quiere gestionar su inventario de un producto. Se sabe que la tasa de demanda del producto cambia con el tiempo y sigue el modelo: Condición inicial: Al tiempo t=0t = 0t=0, la empresa tiene un inventario inicial de I(0)=I0I(0) = I_0I(0)=I0. Pregunta: ¿Cuánto inventario le quedará a la empresa en un tiempo t=Tt = Tt=T? Y, ¿cómo debe ajustarse la tasa de producción para satisfacer esta demanda? Solución: Este problema se puede resolver utilizando una ecuación diferencial de variables separables.
Ecuación diferencial: Separación de variables: Separamos las variables I(t)I(t)I(t) y t: Integración: Integramos ambos lados: Esto nos da: Exponenciación: Aplicamos la exponenciación para despejar I(t)I(t)I(t): Como e^C es una constante, la denotamos como I0 (el inventario inicial): Respuesta:
Aplicación práctica: En la práctica, este modelo describe cómo disminuye el inventario si no se repone el producto. En el contexto industrial, la empresa debe ajustar la tasa de producción para reponer el inventario en función de la demanda. Para mantener un nivel de inventario constante, la tasa de producción debería igualar la tasa de consumo. Ajuste de la tasa de producción: Para que el inventario no caiga por debajo de un nivel crítico, la empresa debe producir a una tasa que compense la demanda, es decir, producir a una tasa R(t)R(t)R(t) tal que: donde 𝑘 representa la tasa de demanda. Interpretación: Este modelo permite a un ingeniero industrial planificar el nivel óptimo de inventario y determinar cuándo y cuánto producir para satisfacer la demanda sin incurrir en costos innecesarios, como almacenamiento excesivo o falta de producto. Campo laboral: Producción y logística: Ayuda a gestionar el inventario de productos sujetos a demanda variable. Optimización de recursos: Permite ajustar la producción para minimizar costos de almacenamiento y evitar la falta de stock.
Conclusión Para un ingeniero industrial, el uso de ecuaciones diferenciales es esencial para el análisis y la optimización de sistemas complejos que operan en tiempo real. Estas ecuaciones permiten modelar con precisión cómo las variables del sistema cambian a lo largo del tiempo, facilitando la comprensión de la dinámica interna y externa de los procesos industriales. Bibliografía: https://repositori.uji.es/xmlui/bitstream/id/80732/S49.pdf
