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Disciplina : Optimização - 2024 Nível : 2º Curso: EE, EET, EER, ECC, EH, ET, ECM Semestre : IV
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Resumo Teórico 1
- Introdução à Investigação Operacional
1 Introdução à Investigação Operacional
Para entender o que é hoje a Investigação Operacional , ou simplesmente IO ( Operational Rese- arch – Inglaterra; Operations Research – Estados Unidos; Pesquisa Operacional – Brazil), devemos conhecer um pouco da sua história e evolução. Surgiu na Inglaterra durante a Segunda Guerra Mundial ( 1939 - 1945 ) para a solução de problemas de natureza logística, táctica e de estratégia mi- litar, quando um grupo de cientistas foi convocado para decidir sobre a utilização mais eficaz dos recursos militares limitados, marcando a primeira actividade formal desse campo de estudo. Den- tre os problemas estudados, destacam-se: projecto, manutenção e inspecção de aviões; projecto de explosivos, tanques e motores; melhoria da utilização de radar, canhões antiaéreos e tácticas de bombardeios a submarino; dimensionamento de frota, entre outros.
Os resultados positivos alcançados pelo grupo de cientistas ingleses fizeram com que a Investiga- ção Operacional fosse disseminada nos Estados Unidos e, em 1947 , a equipe liderada por George B. Dantzig deu origem ao método simplex para resolução de problemas de programação linear. Desde então, esse conhecimento vem sendo aplicado, com sucesso, para a optimização de recursos em diversos segmentos industriais e comerciais de várias áreas de negócio (estratégia, marketing, finanças, microeconomia, operações e logística, recursos humanos, entre outras).
O avanço da Investigação Operacional tornou-se possível graças ao aumento da velocidade de pro- cessamento e à quantidade de memória de computadores nos últimos anos, tornando possível a solução de problemas complexos. Um profissional de IO deve ser capaz de identificar a técnica mais apropriada para a solução de determinado tipo de problema, os objectivos para a melhoria, as limitações físicas e computacionais do sistema, sendo o elemento humano fundamental nesse processo.
Em termos gerais, podemos dizer que a Investigação Operacional consiste na utilização de um método científico (modelos matemáticos, estatísticos e algoritmos computacionais) para a tomada de decisões.
1. 1 Optimização
Optimização é o acto de obter o melhor resultado em determinadas circunstâncias. No desenho, construção e manutenção de qualquer sistema de engenharia, os engenheiros precisam de tomar
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varias decisões. O objetivo final dessas tomadas de decisões é de minimizar o esforço/custo neces- sário ou maximizar o benefício/lucro desejado. Uma vez que o esforço necessário ou o benefício desejado em qualquer situação prática podem ser expressos em função de certas variáveis de de- cisão, a optimização pode ser definida como o processo de encontrar as condições que fornecem o valor máximo ou mínimo de uma função. Não existe um método único disponível para resolver todos os problemas de optimização com efici- ência. Portanto, uma série de métodos de optimização foram desenvolvidos para resolver diferentes tipos de problemas de optimização. Estes métodos geralmente são estudadas como parte da Inves- tigação Operacional. Para a disciplina de Optimização, no ISPS, são consideradas as unidades temáticas destacadas no plano curricular e detalhadas pelo plano analítico. São tópicos que permitem fazer a iniciação aos conteúdos desta vasta área da matemática, de múltiplas aplicações, das quais necessitam todas as áreas de saber.
2 Programação Linear
Em 1947 , George Dantzing e seus associados, enquanto trabalhavam no Departamento de Força Aérea dos Estados Unidos, constataram que uma grande parte dos problemas de programação e planificação militar podiam ser formulados como maximização/minimização das formas lineares das funções lucro/custo cujas variáveis eram restritas a valores que satisfaziam um sistema de restrições linear (um conjunto de equações/inequações lineares). O termo linear significa todas as equações ou inequações usadas e a função que se pretende maximizar ou minimizar são lineares, isto é, do tipo a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + · · · + an− 1 xn− 1 + an xn,
onde a 1 , a 2 , a 3 , · · · , an− 1 , an são constantes, e x 1 , x 2 , x 3 , · · · , xn− 1 , xn são variáveis.
O termo programação refere-se ao processo de determinação de um programa ou plano particu- lar de acção, dentre varias alternativas. Problemas de programação lidam com a determinação da melhor alocação de recursos limitados para satisfazer os objectivos estabelecidos, tais como menor custo, maior lucro, maior margem ou menor tempo, quando os recursos possuem usos alternativos. Portanto, a Programação Linear é uma das técnicas mais importantes de optimização desenvolvida no campo da Investigação Operacional.
Nesta unidade são apresentadas propriedades dos problemas de programação linear, métodos de resolução, com destaque para o método gráfico, usado para problemas que envolvem duas ( 2 ) (ou no máximo três) variáveis, e o método simplex, o mais usado para os problemas com qualquer número de variáveis.
2. 1 Problemas de Programação Linear (PPL)
O problema (ou modelo) geral de programação linear com n variáveis de decisão e m restrições pode ser declarado da seguinte forma:
Optimizar (Máx. Ou Mín.) Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + · · · + cn− 1 xn− 1 + cn xn
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(c) Identifique verbalmente as variáveis de decisão com a ajuda dos Passos (a) e (b). Para tal, precisa se colocar a seguinte questão: Quais decisões devem ser tomadas para optimizar a função objectivo? Tendo seguido os passos 1.(a) a (c), decida a notação simbólica para as variáveis de de- cisão e especifique suas unidades de medida. Essa especificação de unidades de medida poderá ajudar na interpretação da solução final do Problema de Programação Linear.
- Etapa 2 : Identificar os dados do problema Para formular um modelo de PL, identifique os dados do problema em termos de constantes e parâmetros associados às variáveis de decisão. Pode-se notar que o agente decisor pode controlar os valores das variáveis, mas não pode controlar os valores no conjunto de dados.
- Etapa 3 : Formule as restrições: Converta as expressões verbais das restrições em termos de necessidade de recursos e dispo- nibilidade de cada recurso. Em seguida, expresse cada uma delas em forma de igualdade ou desigualdade, em função das varáveis de decisão definidas na Etapa 1. Os valores dessas variáveis de decisão na solução óptima do PPL devem satisfazer tais res- trições por forma a representar uma solução aceitável (viável). A formulação errada pode levar a uma solução que não é viável ou à exclusão de uma solução que é realmente viável e possivelmente óptima.
- Etapa 4 : Formule a função objectivo Identifique se a sua função objectivo deve ser maximizada ou minimizada. Em seguida, expresse-a na forma de uma expressão matemática linear em função das variáveis de deci- são junto com as contribuições do lucro (custo) associadas a elas.
Seguem alguns exemplos para explicar as situações da vida real onde os problemas de PL po- dem surgir. Os contornos da formulação dos problemas de PL são explicados com a ajuda dessas ilustrações.
2. 2. 2 Exemplos de formulação de PPL
Exemplo 1 Suponha que um carpinteiro fornece dois tipos de produtos, nomeadamente cadeiras e mesas. O processamento desses produtos é feito em duas maquinas H e G. Uma cadeira requer 2 horas na maquina H e 6 horas na maquina G. Uma mesa requerer 4 horas na maquina H e 2 horas na maquina G. A disponibilidade diária é de 16 horas na maquina H e 20 horas na maquina G. Os lucros por cada cadeira e cada mesa são 300 e 500 respectivamente. O carpinteiro deseja conhecer a quantidade de cada produto que maximizam o seu lucro. Formulação: Os dados acima podem ser resumidos em uma tabela da seguinte forma:
Cadeira Mesa Disponibilidade máxima de tempo Máquina H 2 horas 4 horas 16 horas Máquina G 6 horas 2 horas 20 horas
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Lucro (em MT) 300 500
Para maximizar o seu lucro, suponha que o carpinteiro produza x cadeiras e y mesas por dia. É dado que uma cadeira requer 2 horas na maquina H e uma mesa requer 4 horas na maquina H. Portanto, o tempo total que a máquina H precisa para produzir x cadeiras e y mesas é 2 x + 4 y. Este deve ser menor ou igual ao total de horas disponíveis na maquina H. Então, 2 x + 4 y ≤ 16. De forma similar, para a maquina G, nós temos 6x + 2 y ≤ 20. O lucro total para x cadeiras e y mesas é 300x + 500 y. Já que o número de cadeiras e mesas nunca é negativo. Portanto, x ≥ 0 e y ≥ 0. Assim, temos que maximizar Lucro = P(x, y) = Z = 300 x + 500 y Sujeito às restrições ( 2 x + 4 y ≤ 16 6 x + 2 y ≤ 20 x ≥ 0, y ≥ 0. ■
Exemplo 2 Um agricultor precisa de 100 kg de Azoto (N), 120 kg de Fósforo (P) e 120 kg de Potássio (K), para adubar a sua plantação. Ele tem duas possibilidades no mercado, sendo uma na forma líquida em tambores que contém 50 kg de N, 20 kg de P e 10 kg de K ao preço de 30 u.m cada; outra empresa fornece adubo em sacos, contendo 10, 20 e 40 kg de N, P e K, respectivamente, ao preço de 20 u.m cada saco. Quantas embalagens de cada fonte deverá o agricultor comprar para suprir as suas necessidades pelo menor custo. Formulação: Resumindo os dados em uma tabela, teremos
Composição do adubo Possibilidades de Mercado Necessidade Tambor Sacos Azoto 50 10 100 Fósforo 20 20 120 Potássio 10 40 120 Custo (em u.m.) 30 20
O modelo matemático correspondente é: Min Z = 30 x + 20 y Sujeito à
50 x + 10 y ≥ 100 20 x + 20 y ≥ 120 10 x + 40 y ≥ 120 x ≥ 0, y ≥ 0. ■
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Exercícios Propostos - 1
- Introdução à Investigação Operacional
Aula Prática: 1 , 2 , 5 , 9 , 12. 1 O que é Optimização? 2 Qual é a relação com a engenharia? Indique alguns exemplos de aplicação. 3 De acordo com as respostas dos números anteriores, descreva a relevância desta disciplina para o seu curso. 4 O que é Programação Linear? Explique por via de um exemplo. Quais são as limitações da Programação Linear? 5 Descreva a forma geral de um Problema de Programação Linear. 6 Defina: (a) Função Objectivo; (b) Variáveis de decisão; (c) Restrições; (d) Restrições de não-negatividade; 7 Dê dois (2) exemplos de Problemas de Programação Linear, que envolvam a maximização e minimização, respectivamente, da função objectivo. Formule cada um dos problemas apre- sentados. 8 Uma fabrica produz dois tipos de productos A e B e os vende a um lucro de 5 MT para o tipo A e 6 MT no tipo B. Cada producto é processado em duas máquinas G e H. O tipo A requer um minuto de tempo de processamento em G e dois minutos em H; O tipo B requer um minuto em G e um minuto em H. A máquina G está disponível por não mais de 8 horas e 40 minutos, enquanto a maquina H está disponível por 12 horas durante qualquer dia de trabalho. Formule o problema de programação linear. 9 Um fabricante dispõe de 24, 37 e 18 kg de madeira, plástico e aço, respectivamente. O produto A requer 1, 3 e 2 kg de madeira, plástico e aço e o produto B requer 3, 4 e 1 kg, respectivamente. Se A é vendido por 1 200 meticais e B por 1 800 meticais, Formule o Problema de Programação Linear, que permite ao fabricante obter o máximo rendimento bruto.
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10 Um padeiro dispõe de 120, 100 e 140 unidades dos ingredientes F, G e H respectivamente. Cada pão necessita de 2 unidades de F, 3 de G e 1 de H, e um bolo precisa de 4, 3 e 2 unidades de F, G e H, respectivamente. Se um pão é vendido a 10 meticais, e um bolo é vendido por 50 meticais. Elabore o modelo matemático correspondente a este problema de programação linear.
11 Uma companhia fabrica dois produtos A e B que utilizam os mesmos recursos produtivos: matéria-prima, montagem e polimento. Cada unidade de A exige 2 horas de montagem, 4 horas de polimento e utiliza 200 unidades de matéria-prima. Cada unidade de B requer 3 horas de montagem, 2 horas de polimento e 300 unidades de matéria-prima. O preço de venda de A é 2 200 MT e de B, 2 400 MT. Toda produção tem mercado garantido. As disponibilidades são de: 20 horas de montagem; 10 horas de polimento e 600 unidades de matéria-prima, por dia. Formule o problema de programação linear.
12 Cada kg do alimento H custa 90 MT e contém 3 unidades de proteína, 5 de hidrato de carbono e 2 de gordura. O alimento G que pode se comprar a 50 MT por kg, contém 2, 1 e 2 unidades, daqueles produtos, respectivamente. Supondo que as necessidades semanais mínimas de uma pessoa são 10 unidades de proteínas, 14 de hidrato de carbono e 7 de gordura. Elabore o modelo económico - matemático de forma que a pessoa economize os seus gastos.
13 Um fabricante de uma linha de medicamentos patenteados está preparar um plano de pro- dução de medicamentos do tipo A e B. Existe a disponibilidade de ingredientes suficientes para produzir 20000 frascos do medicamento do tipo A e 40000 frascos do tipo B, mas exis- tem apenas 45000 frascos nos quais qualquer um dos medicamentos pode ser colocado. Além disso, são necessárias 3 horas para preparar o material suficiente para encher 1000 frascos de A, e uma hora para preparar material suficiente para encher 1000 frascos de B e há 66 horas disponíveis para esta operação. O lucro é de 8 MT por cada frasco do tipo A e 7 MT por frascos do tipo B. Formule o presente problema como um modelo de Programação Linear.
14 Uma empresa que se dedica à decoração de interiores de casas produz dois tipos de lâmpadas, digamos A e B. Ambas as lâmpadas passam por dois técnicos, primeiro um cortador e depois um finalizador. A lâmpada A requer 2 horas do tempo do cortador e 1 hora do tempo do finalizador. A lâmpada B requer B requer 1 hora de corte e 2 de finalização. O cortador possui 104 horas e o finalizador possui 76 horas de tempo disponível a cada mês. O lucro em uma lâmpada A é de 6 MT em uma do tipo B o lucro é de 11 MT. Supondo que a empresa possa vender toda a produção, formule o modelo do PPL.
