DRˇ
ZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU
DEPARTMAN ZA MATEMATIˇ
cKE NAUKE
Matematika MAS
master rad
Laplasova transformacija i njena
primena
Student:Mentor :
Lejla Kaˇcapor Prof. dr Diana Doli´canin -
Deki´c
Novi Pazar, 2017.
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Guidelines and tips
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community
Ask the community for help and clear up your study doubts
University Rankings
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Our save-the-student-ebooks!
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
Laplasova transformacija i njene primene, Exams of Mathematical Methods
U uvodnom delu je dat istorijski osnov za uvod ̄enje Laplasove transformacije. U prvoj glavi data je definicija i osnovna svojstva Laplasove transformacije sa elementarnim funkcijama, zatim teorema i osobine konvolucije, kao i inverzna Laplasova transformacija sa primerima. Druga glava sadrˇzi primere nekih primena Laplasove transformacije. Kao dodatak navedene su tabele osnovnih Laplasovih transformacija, kao i
Typology: Exams
2019/2020
1 / 54
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
Related documents
Partial preview of the text
Download Laplasova transformacija i njene primene and more Exams Mathematical Methods in PDF only on Docsity!
DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUˇ
DEPARTMAN ZA MATEMATIˇcKE NAUKE
Matematika MAS
master rad
Laplasova transformacija i njena
primena
Student: Mentor :
Lejla Kaˇcapor Prof. dr Diana Doli´canin -Deki´c
Novi Pazar, 2017.
Sadrˇzaj
- UVOD
- 1 LAPLASOVA TRANSFORMACIJA
- 1.1 Definicija Laplasove transformacije
- 1.2 Osnovne osobine Laplasove transformacije
- 1.3 Gama funkcije
- 1.4 Diferenciranje i integraljenje Laplasovih transformacija
- 1.5 Tauberijeve teoreme
- 1.6 Konvolucija
- 1.7 Beta funkcije
- 1.8 Inverzna Laplasova transformacija
- 2 PRIMENA LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
- 2.1 Obiˇcne diferencijalne jednaˇcine
- 2.1.1 Sistemi diferencijalnih jednaˇcina
- 2.2 Parcijalne diferencijalne jednaˇcine
- 2.3 Integralne jednaˇcine
- 2.3.1 Integro-diferencijalne jednaˇcine
- 2.3.2 Sistemi integralnih jednaˇcina
- 2.4 Odred¯eni integrali
- 2.1 Obiˇcne diferencijalne jednaˇcine
- A Dodatak
- Tabele
- ZAKLJU ˇCAK
- Literatura
Rezime
Tema ovog master rada jeste Laplasova transformacija i njena primena.
Rad se sastoji iz dva poglavlja a svako poglavlje se sastoji od odgovaraju´cih odeljaka. Pri tome, svako poglavlje i svaki odeljak imaju svoj identifikacioni broj, a u okviru svakog odeljka, svojim identifikacionim brojem okarakterisani su: Definicije, Teoreme, Primeri i Napomene. Na taj naˇcin pozivanje na navedenu numeraciju je jednoznaˇcno i jednoobrazno.
U uvodnom delu je dat istorijski osnov za uvod¯enje Laplasove transformacije. U prvoj glavi data je definicija i osnovna svojstva Laplasove transformacije sa elementarnim funkcijama, zatim teorema i osobine konvolucije, kao i inverzna Laplasova transformacija sa primerima. Druga glava sadrˇzi primere nekih primena Laplasove transformacije. Kao dodatak navedene su tabele osnovnih Laplasovih transformacija, kao i nekih inverznih Laplasovih transformacija.
Sadrˇzina teksta iskazana je ve´cim brojem teorema sa dokazima. Svako tvrd¯enje je ilustrovano odgovaraju´cim primerima.
Kljuˇcne reˇci: Integralne transformacije, Laplasova transformacija, Hevisajdova funkcija, svo- jstva Laplasove transformacije, konvolucija, inverzna Laplasova transformacija, integralna for- mula inverzije, integralne jednaˇcine konvolucijskog tipa, diferencijalne jednaˇcine.
Abstract
The topic of this master work is the Laplace transformation and their applications.
This work contains two parts and every part is divided into sections. Beside that, every part and section have identification number and identification number of every section characterize each thing, like: Definitions, Theorems, Examples, Notes. In that way, the reference to the above numbering is unambiguous.
The introduction give us historical part of Laplace transformation. In the first part is the definition of Laplace transformation and their basic properties with elementary functions, then The Convolution theoreme and properties of convolution, and The Inverse Laplace trans- formation with examples. The second part contains examples of the applications of Laplace transformation. As addition, there are tables of the basic Laplace transformations, and also of the inverse ones.
The text content is expressed by a large number of theorems with proofs. Every claim is illustrated with appropriate examples.
Key words: Integral transformation, Laplace transform, Heaviside function, properties of Laplace transform, convolution, inverse Laplace tranform, integral equations of convolution type, differential equations
1 LAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Laplasova transformacija je linearni operator koji predstavlja preslikavanje funkcija u drugi skup funkcija. Slika Laplasovih transformacija je skup funkcija koje mogu biti funkcije realne ili kompleksne varijable. Kako je preslikavanje bijektivno (osim u nekim posebnim sluˇcajevima), mogu´ce je odrediti i inverznu Laplasovu transformaciju.
1.1 Definicija Laplasove transformacije
Najpre ´cemo uvesti definiciju originala
Definicija 1.1.1. Originalom se naziva svaka kompleksna funkcija realne promjenjive t → f (t) koja ispunjava sledeˇce uslove:
i) Za svako t < 0 je f (t) = 0. Funkcija koja ispunjava ovaj uslov se naziva kauzalna funkcija.
ii) Funkcija f je integrabilna na svakom konaˇcnom intervalu koji pripada oblasti [0, a], gde je a < ∞.
iii) Funkcija f je eksponencijalno ograniˇcena.
Definicija 1.1.2. Neka je f (t) funkcija - original, s = x + iy kompleksni parametar a K(s, t) funkcija promenljive t i parametra s. Posmatrajmo integral koji je sam po sebi neka funkcija parametra s:
F (s) =
∫ (^) b
a
(1) K(s, t)f (t)dt
Ako integral na desnoj strani u (1) postoji tada se funkcija F (s) naziva slikom funkcije f (t), a sama operacija (1) prelaska od f (t) ka F (s) naziva integralnom transformacijom. Oblik transformacije i njen karakter zavise od izbora granica integraljenja a i b, a takod¯e i od funkcije K(t, p) koja se naziva jezgro transformacije. U zavisnosti od jezgra u praksi je uve- deno nekoliko razliˇcitih integralnih transformacija - Furijeova, Laplasova, Melinova, Hilbertova, Jakobijeva, Radonova itd.
Kao primer najpre ´cemo navesti Furijeovu transformaciju gde su granice a = −∞, b = ∞, a jezgro je funkcija K(s, t) = √^12 π e−ist, pa ´ce biti:
F (s) =
2 π
−∞
e−istf (t)dt
Kod Laplasove transformacije granice su a = 0, b = ∞ a jezgro je K(s, t) = est, odakle moˇzemo definisati Laplasovu transformaciju:
Definicija 1.1.3. Pretpostavimo da je t → f (t) realna ili kompleksna funkcija (t > 0) i s realan ili kompleksan parametar. Definiˇsimo Laplasovu transformaciju funkcije f sa
F (s) = L{f (t)} =
0
e−stf (t)dt = lim τ →∞
∫ (^) τ
0
(2) e−stf (t)dt
pod uslovom da ovaj limes postoji (kao konaˇcan broj). Ako ovaj limes postoji, onda kaˇzemo da integral (2) konvergira. U suprotnom divergira i ne moˇzemo definisati Laplasovu transformaciju.
Simboliˇcki jednakost (2) zapisujemo kao
L{f } = F.
Dalje ´cemo se baviti konvergencijom integrala (2).
Definicija 1.1.4. Integral (2) je apsolutno konvergentan ako postoji
lim τ →∞
∫ (^) τ
0
|e−stf (t)|dt
.
Ako Lf (t) konvergira apsolutno, onda vaˇzi
∫ (^) τ ′
τ
e−stf (t)dt| ≤
∫ (^) τ
0
|e−stf (t)|dt → 0 , τ → ∞
za sve τ
′
τ.
Definicija 1.1.5. Funkcija f je deo po deo neprekidna na intervalu [0, ∞) ako:
i) limt→ 0 +^ f (t) = f (0+) postoji
ii) f je neprekidna na svakom konaˇcnom intervalu (a, b) osim u eventualno konaˇcno mnogo taˇcaka r 1 , r 2 , r 3 , ..., rn ∈ (a, b) u kojima funkcija f ima prekide.
S obzirom da je Laplasova transformacija preslikavanje sa skupa funkcija u skup funkcija potrebno je razmotriti na koju klasu funkcija se ona moˇze primeniti. Iako je mogu´ce i opˇstije razmatranje, ograniˇci´cemo se na prouˇcavanje Laplasovih transformacija eksponencijalnog rasta.
Definicija 1.1.6. Funkcija f je eskponencijalnog ograniˇcena ako postoje konstante M > 0 i a ∈ R takve da za neko t 0 > 0 je
(3) |f (t)| ≤ M eat, t > t 0
infimum brojeva za koje vaˇzi data nejednakost (za svako M ) naziva se red eksponencijalnog rasta i oznaˇcava sa a 0.
b) F (s) = L{f (t)} = L{t} =
0 e
−stf (t)dt = ∫^ ∞ 0 te
−stdt
− te −st s −^
e−st s^2
∞ 0
= (^) s^12 , s > 0. 4
Primer 1.1.2. Ako je f (t) = eat^ i e−at, gde je a konstanta, odrediti Laplasovu transformaciju.
Za f (t) = eat^ bi´ce:
L{eat} =
0 e
−stf (t)dt
=
0 e
−steatdt = limτ →∞^ ∫^ τ 0 e
−steatdt
= limτ →∞
e(a−s)t a−s
τ 0
= (^) s−^1 a , s > a
U sluˇcaju f (t) = e−at^ imamo:
L{e−at} = (^) s+^1 a , s > 0. 4
1.2 Osnovne osobine Laplasove transformacije
Neka je L := {f : (0, ∞) → R(C) | F (s) postoji za neko s}.
Vaˇzi tvrd¯enje:
Teorema 1.2.1. (Teorema linearnosti). Ako f 1 ∈ L za Re(s) > α, f 2 ∈ L za Re(s) > β, tada f 1 + f 2 ∈ L za Re(s) > max{α, β} i
(4) L(c 1 f 1 + c 2 f 2 ) = c 1 L(f 1 ) + c 2 L(f 2 )
za proizvoljne konstante c 1 i c 2
Dokaz. Iz (2) i linearnosti integrala dobijamo
∫ (^) ∞
0
e−st
c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t)
dt = c 1
0
e−stf 1 (t) + c 2
0
e−stf 2 (t)
Primer 1.2.1. Ako f (t) = cos at, gde je a konstanta onda odrediti L{cos at}.
Budu´ci da je
cos at =
eiat^ + e−iat 2 imamo:
L{cos at} =
0 e
−stcos atdt
= (^12)
0 e
−st(eiat (^) + e−iat)dt
= 12 limτ →∞
∫ (^) τ 0 e
(ia−s)tdt + 1 2 limτ^ →∞
∫ (^) τ 0 e
−(ia+s)dt
= 12 limτ →∞
e(ia−s)t ia−s |
τ 0
- 12 limτ →∞
e−(iw+s)t ia−s
τ 0
= (^12) s−^1 ia + (^12) s+^1 ia = (^) s (^2) +sa 2
Dakle,
L{cos at} =
s s^2 + a^2
(5) , (Re(s) > 0)
Na sliˇcan naˇcin dobijamo
L{sin at} =
2 i
s − ia
s + ia
a s^2 + a^2
(6) , (Re(s) > 0)
L{cosh at} =
s − a
s + a
s s^2 − a^2
(7) , Re(s) > 0)
L{sinh at} =
2 i
s − a
s + a
a s^2 − a^2
(8) , (Re(s) > 0)
jer je
sin at =
eiat^ − e−iat 2 i
cosh at =
eat^ + e−at 2
sinh at =
eat^ − e−at 2
Uvode´ci smenu τ = t − a, dobijamo
∫ (^) ∞
0
e−s(τ^ +a)f (τ )dτ = e−as
0
e−sτ^ f (τ )dτ = e−asF (s).
Za f (t) = 1 imamo
L{H(t − a)} =
s
exp(−sa)
Primer 1.2.4. Koriste´ci se teoremom 1.3.3. na´ci Laplasovu transformaciju od
a) f (t) =
1 , 0 < t < 1 − 1 , 1 < t < 2 0 , t > 2
, b) g(t) = sin tH(t − π).
a) Da bismo dobili L{f (t)}, najpre ´cemo zapisati f (t) kao
f (t) = 1 − 2 H(t − 1) + H(t − 2).
Otuda,
F (s) = L{f (t)} = L{ 1 } − 2 L{H(t − 1)} + L{H(t − 2)}
= (^1) s − 2 e
−s s +^
e−^2 s s.
b) Koriste´ci se formulom (13) bi´ce
G(s) = L{sin tH(t − π)} = −e−πsL{cos t} =
se−πs s^2 + 1
Teorema 1.2.4. (o sliˇcnosti). Ako je f ∈ L, Re(s) > α i a > 0 , onda je i Re(s) > aα i va/vzi
L{f (at)} =
a
F
( (^) s a
Dokaz. Po definiciji Laplasove transformacije imamo
L{f (at)} =
0
e−stf (at)dt.
Smenom at = u, dt = du gornji integral postaje
L{f (u)} =
a
0
e−^ as u f (u)du
Primer 1.2.5. Neka su a i b realni brojevi, odrediti L{sin(at + b)} i L{cos(at + b)}, tada
L{sin(at + b)} = L{sin st cos b + cos at sin b} = cos bL{sin at} + sin bL{cos at}
= cos b (^) s (^2) +aa 2 + sin b (^) s (^2) +sa 2
= a^ coss 2 b++as^2 sin b,
Sliˇcno bi se dobilo da je
L{cos(at + b)} =
s cos b − a sin b s^2 + a^2
Teorema 1.2.5. (o peridiˇcnoj funkciji). Neka je original f periodiˇcna funkcija sa periodom a. Tada vaˇzi formula
L{f (t)} =
1 − e−as
∫ (^) a
0
(16) f (t)e−stdt
Dokaz. Kako je
F (s) =
0
f (t)e−stdt =
∫ (^) a
0
f (t)e−stdt +
a
f (t)e−stdt,
Smenom t = u + a, dobijamo
∫ (^) ∞
a
f (t)e−stdt = e−as
0
f (u + a)e−stdu = e−as
0
f (u)e−sudu = e−asF (s)
jer je f (u + a) = f (u). Odakle sledi (12).
Primer 1.2.6. Posmatrajmo funkciju
f (t) =
sin t, 0 < t < π 0 , π < t < 2 π
Koriste´ci gama funkcije, prethodna jednakost postaje
L{tα} =
Γ(α + 1) sα+^
, α > − 1 , s > 0. 4
Primer 1.3.2. Neka je t → f (t) =
√t t ,^ t >^0.
Kako je f (t) = t−^
(^12) , na osnovu jednakosti
L{tα} =
Γ(α + 1) sα+^
za α = −^12 , lako dobijamo da je
L
t t
= L{t−^
(^12) } =
Γ(^12 )
s
π s
1.4 Diferenciranje i integraljenje Laplasovih transformacija
Laplasov integral
0 e
−stf (t)dt funkcije f ima tri veoma vaˇzne osobine koje opravdavaju sva
budu´ca diferenciranja i integraljenja Laplasovog integrala po parametru s. Iskaza´cemo ih slede´cim teoremama ˇciji su dokazi detaljno urad¯eni u [2].
Teorema 1.4.1. Laplasov integral, tj. funkcija s → F (s), konvergira u oblasti
D = {s|Res > a > m} (a, m ∈ R)
Teorema 1.4.2. Funkcija s → F (s), definisana pomo´cu
F (s) =
a
f (t)e−stdt s ∈ C
je analitiˇcka u oblasti D = {s|Res > a > m} (a, m ∈ R).
Teorema 1.4.3. Ako je |f (t)| < M emt, gde je m fiksirani pozitivan broj, tada Laplasov integral uniformno konvergira u oblasti
D = {s|Res > m, arg(s − m − δ)| ≤
π 2
− α}
gde su α i δ dovoljno mali pozitivni brojevi.
Sada ´cemo navesti teoreme o diferenciranju i integraljenju Laplasovog integrala:
Teorema 1.4.4. (o diferenciranju originala). Ako L{f (t)} = F (s), tada
L{f
′ (t)} = sL{f (t)} − f (0) = sF (s) − f (0)
L{f
′′ (t)} = s^2 L{f (t)} − sf (0) − f
′ (0) = s^2 F (s) − sf (0) − f
′ (0)
Uopˇsteno
L{f n(t)} = snF (s) − sn−^1 f (0) − sn−^2 f
′ (0) − ... − f n−^1 (0),
gde je f r(0) vrednost f r(t) za t = 0, r = 0, 1 , 2 , ..., (n − 1)
tj.
L{f n(t)} = snL{f (t)} −
∑^ n−^1
k=
(17) sn−r−^1 f r(0).
Dokaz. Dokaz ´cemo izvesti matematiˇckom indukcijom.
Za n=1 imamo
L{f ′ (t)} =
0 f^
′ (t)e−stdt = e−stf (t)
∞ 0
- s
0 f^ (t)e
−stdt = sL{f (t)} − f (0),
ˇSto znaˇci da je u tom sluˇcaju formula (17) taˇcna.
Pretpostavimo da formula (17) vaˇzi za neko n. Za n + 1 bi´ce
L{f n+1(t)} =
0 f^
n+1(t)e−stdt
= e−stf (t)
∞ 0
- s
0 f^
n(t)e−stdt = sL{f n(t)} − f n(0)
= s
snL{f (t)} −
∑n− 1 r=0 s
n−r− (^1) f r(0)
− f n(0)
= sn+1L{f (t)} −
∑n− 1 r=0 s
n−rf r(0)
Prema tome, iz pretpostavke da (17) vaˇzi za neko n, dobili smo da (17) vaˇzi i za n + 1. Kako je, a druge strane, formula (17) taˇcna za n = 1, zakljuˇcujemo da je ona tacˇcna za svaki prirodan broj n.
Primer 1.4.1. Odrediti L{sin at}(s).
Neka je L{sin at}(s) = F (s). (sin at)
′ = a cos at L{(sin at)
′ }(s) = sL{sin at}(s) − sin a0 = sF (s)
tj. L{a cos at}(s) = sF (s)
Dokaz. Kako je
F (s) =
0
f (t)e−stdt,
diferenciraju´ci ovu jednakost n puta po s, dobijamo
F n(s) = (−1)n
0
tnf (t)e−stdt.
S druge strane, imamo
L{tnf (t)} =
0
tnf (t)e−stdt,
odakle sledi formula (19).
Primer 1.4.3. Odrediti
a) L{tne−at}, b) L{t cos at}, c) L{t^2 sin 3 t}, d) Kako je L{tn}
a) Kako je L{e−at} = (^) s+^1 a a na osnovu prethodne teoreme sledi
L{tne−at} = (−1)n^
dn dsn
(s + a)
= (−1)^2 n^
n! (s + a)n+
b) Poˇsto je L{cos at} = (^) s (^2) +sa 2 imamo
L{t cos at} = (−1)
d ds
( (^) s
s^2 + a^2
s^2 − a^2
(s^2 + a^2
c) Zbog L{sin 3 t} = (^) s (^23) +9 bi´ce
L{t^2 sin 3 t} =
d^2 ds^2
(s^2 + 9)^3
d) Ovde imamo
L{tn^ · 1 } = (−1)n^
dn dsn^
s
= (−1)^2 n^
n! sn+^
n! sn+^
Teorema 1.4.7. (o integraciji slike). Ako je L{f (t)} = F (s), i ako integral
s F^ (s)ds konvergira, tada
L
{f (t) t
s
(20) F (s)ds
Dokaz. Korisre´ci pretpostavku o konvergenciji integrala
s F^ (s)ds, moˇze se promeniti redosled integracije tako da je ∫ (^) ∞ s F^ (s)ds^ =^
s ds^
0 F^ (t)e
−stdt
=
0 F^ (t)dt^
s e
−stds
0
f (t) t e
−stdt
= L
f (t) t
Posledica 1.4.1. Ako u (20) pustimo da s → 0 , dobijamo vaˇznu formulu
∫ (^) ∞
0
f (t) t
dt =
0
(21) F (s)ds.
Primer 1.4.4. Izraˇcunati integral
0
e−t^ sin^2 t t dt.
Prema definicija Laplasove transformacije
L
{sin (^2) t t
(s) =
0
e−st^
sin^2 t t
dt = F (s)
Prema tome dati integral je jednak F (1), gde je F (s) slika funkcije sin (^2) t t tj.^ F^ (s) =^ L{
sin^2 t t }(s).
L{sin^2 t}(s) = L{^12 (1 − cos 2t)}(s) = 12 L{ 1 − cos 2t}(s)
= 12 L{ 1 }(s) − 12 L{cos 2t}(s) = (^12)
1 s −^
s s^2 +
Na osnovu teoreme o integraljenju slike imamo
L{sin
(^2) t t }(s) =^
1 2
s
1 x −^
x x^2 +
= 12 [ln x − 12 ln(x^2 + 4)]
s
= 14 ln x
2 x^2 +
s =^
1 4 ln^
s^2 s^2 +4 =^ F^ (s)
Prema tome (^) ∫ (^) ∞
0
e−t^ sin^2 t t
dt = F (1) =
ln 5. 4
Primer 1.4.5. Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije φ(t) = sinu^ udu
Znamo L{sin u} = (^) s (^21) +.