Download Ley de Newton 12122132 and more Lecture notes Research Methods for Managers in PDF only on Docsity!
Soluciones Completas - Taller Ley de Enfriamiento de Newton
Problema 1: Termómetro en congelador Se mueve un termómetro de una habitación donde la temperatura es 70°F a un congelador donde está la temperatura 12°F. Después de 30 segundos el termómetro lee 40°F. ¿Qué lee después de 2 minutos? Paso 1: Aplicamos la Ley de Enfriamiento de Newton: T(t) = Tm + (T 0 - Tm)e-kt Paso 2: Calculamos la constante k: 40 = 12 + (70 - 12)e-30k 28 = 58e-30k k ≈ 0.0247 s- Paso 3: Calculamos para t = 120 s: T(120) = 12 + 58e-0.0247× T(120) ≈ 15°F Respuesta: Después de 2 minutos, el termómetro leerá aproximadamente 15°F. Problema 2: Fluido enfriándose Un fluido inicialmente a 100°C se coloca afuera en un día en que la temperatura es -10°C, y la temperatura del fluido desciende 20°C en un minuto. Encuentra la temperatura T(t) del fluido para t > 0. Paso 1: Datos iniciales: T 0 = 100°C, Tm = -10°C, T(1) = 80°C Paso 2: Calculamos k: 80 = -10 + (100 - (-10))e-k× 90 = 110e-k k ≈ 0.2007 min- Paso 3: Formulamos la ecuación: T(t) = Tm + (T 0 - Tm)e-kt Respuesta: La temperatura del fluido para t > 0 es: T(t) = -10 + 110e-0.2007t^ °C
Problema 3: Termómetro en habitación y exterior A las 12:00 pm se coloca un termómetro de lectura 10°F en una habitación donde la temperatura es 70°F. Se lee 56°F cuando se coloca afuera, donde la temperatura es 5°F, a las 12:03. ¿Qué lee a las 12:05 pm? Paso 1: Aplicamos la Ley de Enfriamiento de Newton: T(t) = Tm + (T 0 - Tm)e-kt Paso 2: Calculamos la constante k: 56 = 5 + (10 - 5)e-3k 51 = 5e-3k k ≈ 0.776 min- Paso 3: Calculamos para t = 5 minutos: T(5) = 5 + 5e-0.776× T(5) ≈ 5.1°F Respuesta: A las 12:05 pm, el termómetro leerá aproximadamente5.1°F. Problema 4: Termómetro en habitación Un termómetro que inicialmente lee 212°F se coloca en una habitación donde la temperatura es 70°F. Después de 2 minutos el termómetro lee 125°F. a. ¿Qué lee el termómetro después de 4 minutos? Paso 1: Calculamos k: 125 = 70 + (212 - 70)e-2k 55 = 142e-2k k ≈ 0.472 min- Paso 2: Calculamos para t = 4 minutos: T(4) = 70 + 142e-0.472×4^ ≈ 91.4°F b. ¿Cuándo leerá el termómetro 72°F? 72 = 70 + 142e-0.472t t ≈ 9.05 minutos c. ¿Cuándo leerá el termómetro 69°F? 69 = 70 + 142e-0.472t No tiene solución real. El termómetro nunca alcanzará 69°F (se aproxima a 70°F) Respuesta: a) Después de 4 minutos: 91.4°F b) Alcanzará 72°F después de 9.05 minutos c) Nunca alcanzará 69°F (se aproxima a 70°F)
Problema 7: Taza de agua hirviendo Una taza de agua hirviendo se coloca afuera a la 1:00 pm. Un minuto después la temperatura del agua es 152°F. Después de otro minuto su temperatura es 112°F. ¿Cuál es la temperatura exterior? Paso 1: Aplicamos la Ley de Enfriamiento de Newton dos veces: 152 = Tm + (212 - Tm)e-k 112 = Tm + (212 - Tm)e-2k Paso 2: Resolvemos el sistema de ecuaciones: (152 - Tm)/(212 - Tm) = e-k (112 - Tm)/(212 - Tm) = e-2k^ = [(152 - Tm)/(212 - Tm)]^2 Paso 3: Solución cuadrática para Tm: (112 - Tm)(212 - Tm) = (152 - Tm)^2 Tm ≈ 32°F Respuesta: La temperatura exterior es aproximadamente 32°F. Problema 8: Tanque con solución salina Un tanque inicialmente contiene 40 galones de agua pura. Se agrega una solución con 1 gramo de sal por galón al tanque a 3 gal/min, y la solución resultante se drena a la misma velocidad. Encuentra Q(t) para t > 0. Paso 1: Planteamos la ecuación diferencial: dQ/dt = (1 g/gal × 3 gal/min) - (Q(t)/40 gal × 3 gal/min) dQ/dt = 3 - (3/40)Q Paso 2: Resolvemos la ecuación diferencial: Q(t) = 40(1 - e-3t/40) Respuesta: La cantidad de sal en el tanque es: Q(t) = 40(1 - e-3t/40) gramos Problema 9: Tanque con solución más concentrada Un tanque inicialmente contiene 60 galones de agua con 10 libras de sal. Se agrega solución con 0.5 lb/gal a 6 gal/min, y la mezcla sale a 6 gal/min. Encuentra Q(t) para t > 0. Paso 1: Planteamos la ecuación diferencial: dQ/dt = (0.5 lb/gal × 6 gal/min) - (Q(t)/60 gal × 6 gal/min) dQ/dt = 3 - Q/ Paso 2: Resolvemos con condición inicial Q(0) = 10 lb: Q(t) = 30 - 20e-t/ Respuesta: La cantidad de sal en el tanque es: Q(t) = 30 - 20e-t/10^ libras
Problema 10: Concentración variable en tanque Un tanque inicialmente contiene 100 litros de solución salina con concentración 0.1 g/l. Se agrega solución con 0. g/l a 5 l/min, y la mezcla sale a 5 l/min. Encontrar K(t). Paso 1: Cantidad inicial de sal: Q(0) = 100 l × 0.1 g/l = 10 g Paso 2: Ecuación diferencial: dQ/dt = (0.3 g/l × 5 l/min) - (Q(t)/100 l × 5 l/min) dQ/dt = 1.5 - Q/ Paso 3: Solución: Q(t) = 30 - 20e-t/ Paso 4: Concentración: K(t) = Q(t)/100 = 0.3 - 0.2e-t/20^ g/l Respuesta: La concentración de sal es: K(t) = 0.3 - 0.2e-t/20^ g/l Problema 11: Tanque con volumen variable Un tanque de 200 galones inicialmente contiene 100 galones de agua con 20 lb de sal. Se agrega solución con 0. lb/gal a 4 gal/min, y la mezcla sale a 2 gal/min. Encuentra la cantidad de sal cuando está por desbordarse. Paso 1: Tiempo hasta desbordamiento: dV/dt = 4 - 2 = 2 gal/min V(t) = 100 + 2t = 200 ⇒ t = 50 min Paso 2: Ecuación diferencial: dQ/dt = (0.25 lb/gal × 4 gal/min) - (Q(t)/(100 + 2t) × 2 gal/min) dQ/dt = 1 - 2Q/(100 + 2t) Paso 3: Factor integrante: μ(t) = (100 + 2t) Paso 4: Solución con Q(0) = 20 lb: Q(t) = (100t + t² + 2000)/(100 + 2t) Paso 5: Evaluamos en t = 50 min: Q(50) = (5000 + 2500 + 2000)/200 = 47.5 lb Respuesta: Cuando el tanque está a punto de desbordarse contiene47.5 libras de sal.
Problema 15: Sistema de dos tanques Tanques T₁ y T₂ interconectados con diferentes flujos de entrada y salida. a. Ecuación diferencial para Q(t) en T₂: Paso 1: Solución para T₁: Q₁(t) = 50(1 - e-t/25) Paso 2: Balance para T₂: dQ₂/dt = (2Q₁(t)/50) + (2×2) - (4Q₂(t)/50) dQ₂/dt + (2/25)Q₂ = 6 - 2e-t/ b. Solución para Q₂(t): Paso 3: Factor integrante: μ(t) = e2t/ Paso 4: Solución general: Q₂(t) = 75 - 50e-t/25^ - 25e-2t/ c. Límite cuando t → ∞: lim Q₂(t) = 75 lb Respuesta: a) dQ₂/dt + (2/25)Q₂ = 6 - 2e-t/ b) Q₂(t) = 75 - 50e-t/25^ - 25e-2t/ c) 75 lb (cuando t → ∞) Problema 16: Sistema objeto-recipiente-medio Objeto (T₀) en recipiente (S₀) en medio (Tm). a. Constantes de decaimiento distintas (ky, km): dS/dt = -ky(S - Tm) dT/dt = -km(T - S) Solución: S(t) = Tm + (S₀ - Tm)e-kyt T(t) = S(t) + (T₀ - S₀)e-kmt b. Misma constante de decaimiento (k): T(t) = Tm + (T₀ - Tm)e-kt S(t) = Tm + (S₀ - Tm)e-kt c. Límites cuando t → ∞: lim S(t) = lim T(t) = Tm Respuesta: a) S(t) = Tm + (S₀ - Tm)e-kyt, T(t) = S(t) + (T₀ - S₀)e-kmt b) S(t) = Tm + (S₀ - Tm)e-kt, T(t) = Tm + (T₀ - Tm)e-kt c) Ambas tienden a Tm cuando t → ∞
Problema 17: Sistema con conservación de energía Sistema objeto-medio con intercambio de calor y conservación de energía. a. Ecuación diferencial solo para T: Paso 1: De (B): Tm = Tm0 - (α/αm)(T - T 0 ) Paso 2: Sustituir en (A): T' = -k[T - (Tm0 - (α/αm)(T - T 0 )] T' + k(1 + α/αm)T = k(Tm0 + (α/αm)T 0 ) b. Soluciones para T(t) y Tm(t): Paso 3: Resolver la ecuación diferencial: T(t) = [αmTm0 + αT 0 + αm(T 0 - Tm0)e-k(1+α/αm)t]/(αm + α) Tm(t) = Tm0 - (α/αm)(T(t) - T 0 ) c. Límites cuando t → ∞: lim T(t) = (αmTm0 + αT 0 )/(αm + α) lim Tm(t) = Tm Respuesta: a) T' + k(1 + α/αm)T = k(Tm0 + (α/αm)T 0 ) b) T(t) como se muestra, Tm(t) = Tm0 - (α/αm)(T(t) - T 0 ) c) Límites: T → (αmTm0 + αT 0 )/(αm + α), Tm → Tm Problema 18: Tanque con flujo proporcional Flujo de entrada αV y salida bV². Encontrar V(t) y lim V(t) cuando t → ∞. Paso 1: Ecuación diferencial: dV/dt = αV - bV² Paso 2: Separar variables e integrar: ∫[1/(αV - bV²)]dV = ∫dt (1/α)ln|V/(α - bV)| = t + C Paso 3: Solución general: V(t) = αV 0 eαt/(α - bV 0 + bV 0 eαt) Paso 4: Límite cuando t → ∞: lim V(t) = α/b Respuesta: Solución: V(t) = αV 0 eαt/(α - bV 0 + bV 0 eαt) Límite: α/b (cuando t → ∞)
Problema 21: Dos tanques con intercambio Tanques T₁ (W₁ litros, C₁ g/l) y T₂ (W₂ litros, C₂ g/l) con intercambio a r l/min. a. Concentraciones c₁(t) y c₂(t): dc₁/dt = (r/W₁)(c₂ - c₁) dc₂/dt = (r/W₂)(c₁ - c₂) Solución: c₁(t) = Cprom + (W₂ΔC)/(W₁ + W₂) e-r(1/W₁^ + 1/W₂)t c₂(t) = Cprom - (W₁ΔC)/(W₁ + W₂) e-r(1/W₁^ + 1/W₂)t donde Cprom = (W₁C₁ + W₂C₂)/(W₁ + W₂), ΔC = C₁ - C₂ b. Límites cuando t → ∞: lim c₁(t) = lim c₂(t) = Cprom Respuesta: a) c₁(t) y c₂(t) como se muestran b) Ambas tienden a Cprom = (W₁C₁ + W₂C₂)/(W₁ + W₂) Problema 22: Mezcla no instantánea Ecuación diferencial: Q' + (α(t)/150)Q = 2, con lim α(t) = 1 cuando t → ∞. a. Valor de lim Q(t): Paso 1: En estado estacionario (t → ∞): (1/150)Q = 2 ⇒ Q = 300 b. Confirmación numérica: Caso (i): α(t) = t/(1 + t) Caso (ii): α(t) = 1 - e-t² Caso (iii): α(t) = 1 - sin(e-t) Todos convergen a Q = 300 cuando t → ∞ Respuesta: a) lim Q(t) = 300 b) Se confirma numéricamente para todos los casos
Problema 23: Tanque con capacidad infinita Considerar el problema de mezcla en un tanque con capacidad infinita, pero sin el supuesto de que la mezcla se agita instantáneamente. a) Valor límite de K(t): Q' + (α(t)/(t+100))Q = 1 Cuando t → ∞, α(t) → 1 K(t) = Q(t)/V(t) ≈ 1/ b) Confirmación numérica: Para diferentes α(t), K(t) → 1/ Respuesta: a) lim K(t) = 1/ b) Se confirma numéricamente para todos los casos
