Linear Algebra: Operations with Matrices - Online Course, Cheat Sheet of Mathematics

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ÁLGEBRA Modalidad en línea 2.01 Operaciones con matrices UNIDAD II Semana V

¿Qué veremos?

Iniciaremos esta unidad conociendo

conceptos básicos sobre matrices, las

operaciones de suma entre matrices,

producto de un escalar por una matriz y el

producto entre matrices.

3 RENGLONES 4 COLUMNAS 2 − 1 4 1 1 − 2 3 2 1 − 4 5 6 3 x 4

¿Qué tamaño tiene cada una de las siguientes matrices? −𝟒 𝟒 −𝟐 𝟑 −𝟔 𝟔 −𝟐 𝟓 −𝟏 −𝟒 −𝟑 −𝟔 𝟎 𝟑 −𝟏 𝟎 𝟐 −𝟒 −𝟒 −𝟏 −𝟏 𝟏

Matrices especiales

Matriz renglón vector Una matriz de 𝟏 × 𝒏 se llama matriz renglón (^1 3 0) − 2 5 Matriz columna vector Una matriz 𝒎 × 𝟏 se denomina matriz columna 2 0 9 Matriz rectangular Aquella matriz que tiene distinto número de renglones que de columnas, siendo su tamaño 𝒎𝒙𝒏 6 − (^1 3 ) (^3 1 0 ) Matriz cuadrada Aquella matriz que tiene mismo número de renglones que de columnas, m = n. Es decir, una matriz cuadrada es de 𝒏𝒙𝒏 − 5 0 7 3 Matriz cero (nula) Una matriz cuya totalidad de elementos son cero se llama matriz cero y se representa por 0. 0 0 0 0 0 0

Sea A una matriz cuadrada Diagonal principal A la colección de elementos 𝑎𝑖𝑖se le llama su diagonal principal 𝑎 11 𝑎 12 …^ 𝑎1𝑛 𝑎 21 𝑎 22 …^ 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑚 ⋮ 𝑎𝑚 ⋮ … ⋮ 𝑎𝑚𝑛 Matriz triangular superior Se dice matriz triangular superior si todos los elementos que están bajo la diagonal principal son cero 2 8 1 0 4 9 0 0 − 5 Matriz triangular inferior Se dice matriz triangular inferior si todos los elementos que están arriba de la diagonal principal son cero 4 0 − 6 7 Matriz diagonal Se dice matriz diagonal si todos los elementos que están por arriba y por abajo de la diagonal principal son cero 3 0 0 0 5 0 0 0 − 4 Matriz escalar Se dice matriz escalar si es diagonal y todos los elementos de la diagonal principal son iguales 7 0 0 7 Matriz identidad Es^ una^ matriz^ cuyos^ elementos^ de^ la^ diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás son

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Operaciones con matrices A 𝑎 11 𝑎 12 …^ 𝑎1𝑛 𝑎 21 𝑎 22 …^ 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑚 ⋮ 𝑎𝑚 ⋮ … ⋮ 𝑎𝑚𝑛 B 𝑏 11 𝑏 12 …^ 𝑏 1 𝑛 𝑏 21 𝑏 22 …^ 𝑏 2 𝑛 ⋮ 𝑏𝑚 1 ⋮ 𝑏𝑚 2 ⋮ … ⋮ 𝑏𝑚𝑛 A+B 𝑎 11 + 𝑏 11 𝑎 12 + 𝑏 12 …^ 𝑎 1 𝑛 + 𝑎 21 + 𝑏 21 𝑎 22 + 𝑏 22 …^ 𝑎 2 𝑛 + ⋮ 𝑎𝑚 1 + 𝑏𝑚 1 ⋮ 𝑎𝑚 2 + 𝑏𝑚 2 ⋮ … ⋮ 𝑎𝑚𝑛 + Suma: Si A y B son matrices de 𝒎𝒙𝒏, entonces la suma 𝑨 + 𝑩 es la matriz de 𝒎𝒙𝒏 que se obtiene de sumar sus elementos correspondientes.

Ejemplos Sean A =

Encontrar 𝐴 + 𝐵 𝑦 𝐵 + 𝐶. 𝑨 + 𝑩 = 4 0 5 − 1 3 2

1 1 1 3 2 5 = 4 + 1 0 + 1 5 + 1 − 1 + 3 3 + 2 2 + 5 = 𝟓 𝟏 𝟔 𝟐 𝟓 𝟕 𝑩 + 𝑪 =

no se pueden sumar ya que B y C no tienen el mismo tamaño, B es una matriz de 2x3 y C es una matriz de 2x2.

Ejemplos

Sean A =

Encontrar 𝐴 − 𝐵 𝑦 𝐵 − 𝐶. 𝑨 − 𝑩 = 4 0 5 − 1 3 2 − 1 1 1 3 2 5 = 4 − 1 0 − 1 5 − 1 − 1 − 3 3 − 2 2 − 5 = 𝟑 −𝟏 𝟒 −𝟒 𝟏 −𝟑 𝑩 − 𝑪 =

no se pueden restar ya que B y C no tienen el mismo tamaño, B es una matriz de 2 x 3 y C es una matriz de 2 x 2.

Producto escalar Sea A cualquier matriz y c un escalar cualquiera. El producto escalar cA es una matriz que tiene el mismo tamaño que la matriz A. Para obtener el producto escalar, se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, como se muestra a continuación: 𝑐𝐴 = 𝑐

11

12

𝑎 21 𝑎 22 …^ 𝑎2𝑛

𝑚

𝑚

𝑚𝑛

11

12

𝑐𝑎 21 𝑐𝑎 22 …^ 𝑐𝑎2𝑛

𝑚

𝑚

𝑚𝑛

Teorema Sean A, B y C matrices del mismo tamaño y sean c y k escalares:

i) 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

ii) 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

iii) 𝐴 + 0 = 𝐴

iv) 𝑐 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝐴 + 𝑐𝐵

v) 𝑐 + 𝑘 𝐴 = 𝑐𝐴 + 𝑘𝐴 vi) c(𝑘𝐴) = (𝑐𝑘)𝐴

Sea 𝑨 = (𝒂 𝒊𝒋 ) una matriz de mxn y sea 𝑩 = (𝒃 𝒊𝒋 ) una matriz de nxp. Entonces el producto de A y B es una matriz de mxp , 𝑪 = (𝒄 𝒊𝒋 ), en donde: Si el número de columnas de A coincide con el número de renglones de B , entonces se dice que A y B son compatibles bajo la multiplicación. 𝒄𝒊𝒋 = (𝒓𝒆𝒏𝒈𝒍ó𝒏 𝒊 𝒅𝒆 𝑨) ∙ (𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒋 𝒅𝒆 𝑩) 𝒄𝒊𝒋 = 𝒂𝒊𝟏𝒃𝟏𝒋 + 𝒂𝒊𝟐𝒃𝟐𝒋 + ⋯ + 𝒂𝒊𝒏𝒃𝒏𝒋 Definición: Producto de matrices

Ejemplo 1 Sean A =

Encontrar 𝐴𝐵 𝑦 𝐵𝐴. A es una matriz de 2x2 y B es una matriz de 2x2, entonces C=AB=(2x2)x(2x2) también es una matriz de 2x 𝒄 𝟏𝟏 = (𝟏𝒆𝒓 𝒓𝒆𝒏𝒈𝒍ó𝒏 𝒅𝒆 𝑨) ∙ (𝟏𝒆𝒓 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝑩) 𝒄 𝟏𝟐 = (𝟏𝒆𝒓 𝒓𝒆𝒏𝒈𝒍ó𝒏 𝒅𝒆 𝑨) ∙ (𝟐𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝑩) 𝒄𝟐𝟏 = (𝟐𝒅𝒐 𝒓𝒆𝒏𝒈𝒍ó𝒏 𝒅𝒆 𝑨) ∙ (𝟏𝒆𝒓 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝑩) 𝒄 𝟐𝟐 = (𝟐𝒅𝒐 𝒓𝒆𝒏𝒈𝒍ó𝒏 𝒅𝒆 𝑨) ∙ (𝟐𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝑩) 𝒄 =

𝟏𝟏

𝟏𝟐 𝒄 𝟐𝟏

𝟐𝟐

Continuación ejemplo 1 Sean A =

C=AB

𝟏𝟏

𝟐𝟏

𝟐𝟐