UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
CURSO DE NIVELACIÓN
UNIDAD DIDÁCTICA
MATEMÁTICA
Autores:
Msc. Hermosa Gustavo
Msc. Rodrigo Oña
Quito – Ecuador
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Operaciones Algebraicas y Ecuaciones, Schemes and Mind Maps of Medicine
Una serie de ejercicios y problemas relacionados con operaciones algebraicas básicas, como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, así como el manejo de ecuaciones lineales y con radicales. Se abordan temas como exponentes, factorización, racionalización de denominadores, ecuaciones lineales, ecuaciones con radicales y sistemas de ecuaciones. El documento proporciona explicaciones detalladas y ejemplos paso a paso para guiar al lector en la resolución de estos tipos de problemas matemáticos. Es un recurso valioso para estudiantes de niveles de educación secundaria y universitaria que buscan mejorar sus habilidades en álgebra y resolver problemas matemáticos de manera efectiva.
Typology: Schemes and Mind Maps
2020/2021
1 / 178
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
CURSO DE NIVELACIÓN
UNIDAD DIDÁCTICA
MATEMÁTICA
Autores:
Msc. Hermosa Gustavo
Msc. Rodrigo Oña
Quito – Ecuador
ii
- INTRODUCCIÓN................................................................................................................................................... ÍNDICE DE CONTENIDO
- UNIDAD UNO: NUMEROS REALES
- Conjunto de los Números Reales
- 1.1 Conjunto de los Enteros Positivos (Naturales)
- 1.2 Conjunto de los Números Enteros
- 1.3 Conjunto de los Números Racionales
- 1.4 Conjunto de los Números Irracionales
- 1.5 Transformación de números decimales exactos a fracción
- 1.6 Transformación de números decimales periódicos puros a fracción
- 1.7 Transformación de números decimales periódicos mixto a fracción
- 1.8 Recta Numérica o de los Números Reales
- 1.9 Propiedades de los Números Reales
- 1.10 Terminología Matemática
- 1.11 Exponentes
- 1.12 Leyes de los Exponentes
- 1.13 Radicales
- 1.14 Propiedades de exponentes y radicales......................................................................................................
- 1.15 Aplicación de las Propiedades de los Exponentes
- 1.16 Racionalización
- 1.17 Notación Científica
- 1.17.1 Conversión a Notación Científica
- 1.17.2 Operaciones en Notación Científica.
- 1.18 Operaciones con Expresiones Algebraicas..................................................................................................
- 1.18.1 Suma y Resta de Expresiones Algebraicas
- 1.18.2 Multiplicación de Monomios y Polinomios
- 1.18.3 División de Monomios y Polinomios
- 1.19 Productos Notables
- 1.10 Racionalización de Denominadores
- 1.11 Factorización
- 1.11.1 Reglas de Factorización
- 1.11.2 Fracciones Algebraicas
- UNIDAD DOS: ECUACIONES E INNECUACIONES
- 2.1 Ecuaciones
- 2.1.1 Ecuaciones Equivalentes
- 2.2 Ecuaciones Lineales
- 2.3 Ecuaciones Fraccionarias
- 2.4 Ecuaciones con Radicales
- 2.5 Ecuaciones con Literales
- 2.6 Ecuaciones Cuadráticas
- 2.7 Aplicación de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
- 2.8 Ecuación de Costos, Ingresos, Utilidad
- 2.9 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
- 2.9.1 Ecuación exponencial.
- 2.9.2 Ecuaciones logarítmicas:
- 2.10 Sistema de Ecuaciones Lineales
- 2.10.1 Método de Sustitución
- 2.10.2 Método de Suma y Resta
- 2.10.3 Método de Igualación.............................................................................................................................
- 2.10.4 Sistemas de Ecuaciones con Tres Variables
- 2.10.5 Aplicación de Ecuaciones Lineales...........................................................................................................
- 2.11 Desigualdades
- 2.12 Posición Relativa de Dos Puntos
- 2.13 Desigualdades Lineales.............................................................................................................................. iii
- 2.13.1 Reglas de las Desigualdades
- 2.13.2 Intervalos
- 2.14 Desigualdades Cuadráticas........................................................................................................................
- 2.15 Aplicación de Desigualdades
- 2.16 Valor Absoluto de un Número....................................................................................................................
- 2.16.1 Solución de Ecuaciones Lineales con Valor Absoluto
- 2.16.2 Solución de Desigualdades Lineales con Valor Absoluto
- 2.17 Desigualdades Lineales con Dos Variables
- 2.17.1 Solución de un Sistema de Desigualdades
- UNIDAD TRES: FUNCIONES Y RELACIONES
- 3.1 Definición de Función
- 3.1.1 Tipo y Dominio de Funciones
- 3.1.2 Dominio de una Función
- 3.1.3 Rango de una Función
- 3.2 Operaciones con funciones
- 3.3 Análisis de funciones
- 3.3.1 Monotonía de una función
- 3.3.2 Paridad y simetría de una función
- 3.3.2 Ecuaciones de las asíntotas
- 3.4 Tipos de funciones
- 3.5 Función Inversa:
- 3.6 Clasificación de funciones
- 3.6.1 Función Polinomial
- 3.6.2 Función Racional
- 3.6.3 Función con Radical Par
- 3.6.4 Función Constante
- 3.6.5 Función Definida por Partes
- 3.7 Combinación de Funciones
- 3.7.1 Función Compuesta
- 3.8 Gráficas en Coordenadas Rectangulares....................................................................................................
- 3.8.1 Coordenadas Rectangulares
- 3.8.2 Gráficas de Funciones
- 3.9 Función Lineal - La Recta
- 3.9.1 Pendiente de una Recta
- 3.9.2 Formas de Ecuación de la Recta..............................................................................................................
- 3.9.3 Rectas Paralelas y Perpendiculares
- 3.10 Funciones Lineales
- 3.10.1 Aplicaciones de Funciones Lineales
- 3.10.2 Curvas de Oferta y Demanda
- 3.10.3 Producción y Puntos de Equilibrio
- 3.11 Funciones Cuadráticas
- 3.11.1 La Parábola
- 3.11.2 Aplicaciones de Funciones Cuadráticas
- 3.12 Función Exponencial
- 3.12.1 Definición y Propiedades
- 3.12.2 Graficas de Función Exponencial
- 3.12.3 Aplicaciones de la Función Exponencial
- 3.12.4 Función Exponencial de Base e (2, 71828)
- 3.13 Función Logarítmica
- 3.13.1 Definición y Propiedades
- 3.13.2 Graficas de Función Logarítmica
- 3.14 Ecuaciones Logarítmicas y Exponenciales
- UNIDAD 4: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO
- 4.1 Incrementos y tasas
- 4.2 Limites iv
- 4.3 Propiedades Limites
- BIBLIOGRAFÍA
- NETGRAFÍA
INTRODUCCIÓN
La situación cambiante de los esquemas económicos, empresariales, políticos y sociales
que experimenta el mundo; así como el avance científico-técnico en los diferentes
ámbitos de las ciencias naturales y técnicas, exigen un replanteamiento en los sistemas
académicos de estudios.
El desarrollo de la tecnología de punta en las telecomunicaciones ha hecho posible, la
creación de nuevas metodologías académicas pedagógicas como es el caso del estudio
semipresencial y a distancia.
La Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central enfrenta un nuevo
desafío: ofrecer la Modalidad de Estudios a Distancia para cubrir las necesidades de un
mercado insatisfecho dispuesto al estudio en Administración Pública, Administración de
Empresas y Contabilidad y Auditoría.
Es por lo que para la cátedra de Matemática – Nivelación, se ha desarrollado el presente
programa de estudios que se basa en cuatro (4) capítulos con un capítulo cero (0) como
introducción de esta Unidad Didáctica.
Relaciones entre conjuntos:
En función de sus relaciones entre ellos, los conjuntos pueden ser:
- Conjuntos disjuntos: son aquellos que no tienen ningún elemento en común.
Por ejemplo, los conjuntos de frutas y de animales son disjuntos, porque no hay
ninguna fruta que sea un animal, ni ningún animal que sea una fruta:
Por ejemplo, el conjunto de frutas rojas y el conjunto de frutas amarillas son subconjuntos
del conjunto de frutas, puesto que todas las frutas rojas son frutas, y todas las frutas
amarillas son frutas también:
- Subconjunto : se da cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro;
A es un subconjunto de B, si y solo si, cada elemento de A es también elemento de
B. Ejemplo:
A =
{ 9 , 11 , 13 , 15
} B =
{ 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16
} A ∁ B
El conjunto de los seres vivos es muy grande: tiene muchos subconjuntos, por ejemplo:
Las plantas son un subconjunto de los seres vivos; los animales son un subconjunto de
los seres vivos; los seres humanos son un subconjunto de los animales
En los números reales existen conjuntos que tienen nombres especiales como son:
1.1 Conjunto de los Enteros Positivos (Naturales)
Conformado por los enteros positivos y son los números que nos sirven para contar.
Conjunto de los enteros positivos (naturales) = { 1 , 2 , 3 , 4 , … … … … }
1.2 Conjunto de los Números Enteros
Conformado por los enteros positivos, negativos y el cero.
Conjunto de los enteros =
{ … … … , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , … … …
}
1.3 Conjunto de los Números Racionales
Son los números que pueden expresarse como la división de 2 números enteros, esto es
puede expresarse de la forma 𝐩 𝐪
⁄ donde p y q son números enteros y 𝐪 ≠ 𝟎. Ejemplos:
1
2
3
4
0
7
Tenga en cuenta que:
1
4
;
2
8
;
− 3
− 12
; 0 , 25 ; 25%. Representan el mismo número racional
- Todo número entero es racional. Ejemplo:
3
1
,
− 10
1
- Todo número racional puede expresarse en forma decimal que terminan.
Ejemplo :
1
2
= 0 , 5
3
4
= 0 , 75.
O también por decimales periódicos que no terminan.
Ejemplo :
2
3
= 0 , 6666 … … … −
4
11
= − 0 , 363636 … … …
Su característica es que existen números que no forman parte del periodo; para convertirlo a
fracción se coloca en el numerador el termino fuera del periodo junto con la cantidad periódica
como un solo termino y se resta la cantidad periódica y en el denominador se colocan tantos
nueves como números existen en el periodo y tantos 0 como números existes fuera del periodo.
Ejemplos:
Decimal exacto Decimal periódico Puro Decimal periódico Mixto
𝟕
𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟕
5
9
= 0 , 5
̅
0 , 13
̅
33 … =
13 − 1
90
=
12
90
=
6
45
𝟐𝟏
𝟏𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟐𝟏
31
99
= 0 , 31
̅̅̅̅
0 , 241
̅̅̅̅
41 =
241 − 2
990
=
239
990
𝟏𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 3 +
7
9
=
34
9
= 3 , 7
̅
0 , 738
̅
=
738 − 73
900
=
665
900
𝟐𝟔𝟒
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐, 𝟔𝟒 4 +
16
99
=
412
99
= 4 , 16
̅̅̅̅
8 , 31
̅
= 8 +
31 − 3
90
=
748
90
2 , 99 … = 2 , 9 = 3
1.8 Recta Numérica o de los Números Reales
Los números racionales e irracionales conforman el conjunto de los números reales y se
los puede representar por puntos en una recta, que se le conoce como la recta de los
números reales.
0 1
2 3 4
5 -4 -3 -2 -
(+)
2 3/
-1/
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes:
dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a
sea igual a b.
Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al número a está
a la izquierda del punto que representa al número b.
Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha
del que representa a b.
PRUEBA DE DIAGNÓSTICO
Clasifique los enunciados como verdadero o falso, si es falso de una razón.
- 5 es un entero ( )
π es un número racional ( )
0
7
no es racional ( )
√ 2 es un número real ( )
5
0
es un número irracional ( )
- 10 está a la izquierda del cero ( )
1.9 Propiedades de los Números Reales
Sean a, b y c números reales, tenemos:
a. Propiedad transitiva de la igualdad
Si a = b y b = c, entonces a = c. Ejemplo:
Si: x = y & y = − 3 → x = − 3
b. Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.
Para todo número real a y b, existen números únicos a + b y a. b. Ejemplo:
5 + 4 = 9 3. 7 = 21
c. Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.
a + b = b + a a. b = b. a Ejemplo:
7 + 3 = 3 + 7 4. 5 = 5. 4
d. Propiedad asociativa de la suma y multiplicación.
( a + b
)
- c = a +
( b + c
) a
( bc
)
( ab
) c Ejemplo.
3 +
( 5 + 4
)
( 3 + 5
)
- 4 8.
(
- 3
)
(
- 5
)
. 3
Propiedad Ejemplo
- a. (b + c) = 𝐚𝐛 + 𝐚𝐜 2. ( 4 + 3 ) = 2. 4 + 2. 3 = 𝟏𝟒
- a. (b − c) = 𝐚𝐛 − 𝐚𝐜 3. ( 4 − 7 ) = 3. 4 − 3. 7 = −𝟗
- −
( a + b
) = −𝐚 − 𝐛 −
( 5 + 3
) = − 5 − 3 = −𝟖
- −
( a − b
) = −𝐚 + 𝐛 −
( 7 − 3
) = − 7 + 3 = −𝟒
- −
( −a
) = N −
( − 5
) = 𝟓
- a.
( 0
) = 𝟎 3.
( 0
) = 𝟎
(−a). b = a. (−b) = −(𝐚𝐛) (− 3 ). 5 = 3. (− 5 ) = −( 3. 5 ) = −𝟏𝟓
(−a) (−b) = 𝐚𝐛 (− 2 ) (− 5 ) = 𝟏𝟎
a
1
= 𝐚
− 3
1
= −𝟑
a
b
= 𝐚. (
𝟏
𝐛
)
2
5
= 𝟐. (
𝟏
𝟓
)
a
−b
=
−a
b
= −
𝐚
𝐛
3
− 7
=
− 3
7
= −
𝟑
𝟕
−a
−b
=
𝐚
𝐛
− 3
− 4
=
𝟑
𝟒
0
a
= 𝟎
0
3
= 𝟎
0
− 5
= 𝟎
a
a
= 𝟏
8
8
= 𝟏
− 3
− 3
= 𝟏
a. (
b
a
) = 𝐛
- (
4
5
) = 𝟒
a.
1
a
= 𝟏
1
4
= 𝟏
a
b
.
c
d
=
𝐚𝐜
𝐛𝐝
4
5
.
3
7
=
𝟏𝟐
𝟑𝟓
Propiedad Ejemplo
ab
c
= (
a
c
). b = 𝐚. (
𝐛
𝐜
)
- 7
5
= (
2
5
). 7 = 𝟐. (
𝟕
𝟓
)
a
bc
= (
a
b
) (
1
c
) = (
𝟏
𝐛
) (
𝐚
𝐜
)
3
- 5
= (
3
2
) (
1
5
) = (
𝟏
𝟐
) (
𝟑
𝟓
)
a
b
= (
a
b
) (
c
c
) =
𝐚𝐜
𝐛𝐜
4
5
= (
4
5
) (
2
2
) =
𝟒. 𝟐
𝟓. 𝟐
a
b
( −c
)
=
a
( −b
) c
= −
𝐚
𝐛𝐜
=
−a
( −b
)( −c
)
= −
𝐚
𝐛𝐜
7
- (− 5 )
=
7
(− 3 ). 5
= −
𝟕
𝟑. 𝟓
=
− 7
( − 3
)( − 5
)
𝟕
𝟑 .𝟓
a. (−b)
c
=
(−a). b
c
= −
𝐚𝐛
𝐜
=
( −a
)( −b
)
−c
= −
𝐚𝐛
𝐜
( − 4
)
3
=
( − 5
)
. 4
3
=
𝟓. 𝟒
−𝟑
=
( − 5
)( − 4
)
(− 3 )
= −
𝟓. 𝟒
𝟑
a
c
b
c
=
𝐚 + 𝐛
𝐜
3
5
4
5
=
3 + 4
5
=
𝟕
𝟓
a
c
−
b
c
=
𝐚 − 𝐛
𝐜
3
7
−
5
7
=
3 − 5
7
= −
𝟐
𝟕
a
b
c
d
=
𝐚𝐝 + 𝐛𝐜
𝐛𝐝
2
3
5
4
=
2 + 5. 3
4
=
𝟐𝟑
𝟏𝟐
a
b
−
c
d
=
𝐚𝐝 − 𝐛𝐜
𝐛𝐝
2
3
−
5
4
=
- 4 − 5. 3
12
= −
𝟕
𝟏𝟐
a
b
c
d
=
a
b
÷
c
d
=
a
b
.
d
c
=
𝐚𝐝
𝐛𝐜
7
4
3
8
=
7
4
÷
3
8
=
7
4
.
8
3
=
56
12
=
𝟏𝟒
𝟑
a
b
c
= a ÷
b
c
= a.
c
b
=
𝐚𝐜
𝐛
7
2
3
= 7 ÷
2
3
= 7.
3
2
=
𝟐𝟏
𝟐
a
b
c
=
a
b
÷ c =
a
b
.
1
c
=
𝐚
𝐛𝐜
7
4
5
=
7
4
÷ 5 =
7
4
.
1
5
=
𝟕
𝟐𝟎
=
− 98 + 7 + 10
14
= −
𝟖𝟏
𝟏𝟒
- − 4 +
3
4
−
1
2
( 5 ) +
5
8
(−
2
15
) −
3
2
(−
1
2
1
2
(− 4 ))
- Efectúe las operaciones, teniendo en cuenta que la multiplicación y la división
tienen mayor jerarquía.
= − 4 +
3
4
−
5
2
−
1
12
−
3
2
(−
1
2
− 2 )
= − 4 +
3
4
−
5
2
−
1
12
−
3
2
(−
5
2
)
= − 4 +
3
4
−
5
2
−
1
12
15
4
= − 4 +
18
4
−
5
2
−
1
12
= − 4 +
9
2
−
5
2
−
1
12
= − 4 +
4
2
−
1
12
= − 4 + 2 −
1
12
= − 2 −
1
12
- Obtenemos el mínimo común múltiplo (MCM), que es el menor número que divide
exactamente a todos los denominadores (12).
=
− 2 ( 12 ) − 1
12
= −
𝟐𝟓
𝟏𝟐
1 −
( 3 − √
27
3
)
2
3
1
5
−
1
2
7
(
1
3
− 2 )
3
5
=
1 −
( 3 − 3
)
2
3
2 − 5
10
7
(−
5
3
)
3
5
=
1
−
3
10
35
(−
5
3
)
3
= −
10
3
−
189
25
= −
𝟖𝟏𝟕
𝟕𝟓
3
5
6
1
2
3
4
1
2
1
4
1
1
2
2
1
1
2
3
4
1
2
2
1
1
2
3
−
−
−
−
−
−
− +
−
- Siga con las recomendaciones anteriores, tenga paciencia al resolver el ejercicio, es
el momento que utilice su calculadora científica para realizar las operaciones.
=
1 −
1
2
.
1
2
1 − 6 + 4
4
−
(
1 − 4
2
)
3
(
4 − 1
4
)
2
−
2 − 1
4
3
2
1 − 10
6
=
1 −
1
4
−
1
4
−
(
− 3
2
)
3
(
3
4
)
2
−
1 4 3 1 2 1
− 9
6
=
4 − 1
4
−
1
4
−
−
27
8
9
16
−
1
4
.
1
3
- (−
2
3
)
=
3
4
−
1
4
−
−
27
8
9
16
−
1
12
−
4
3
= −
4
1
16
8
1
12
= − 3 + 6 +
1
16
= 3 +
1
16
=
- 3 + 1
16
=
𝟒𝟗
𝟏𝟔
𝟒. x
0
= 1 si x ≠ 0, 0
0
no está definido 50
0
1.13 Radicales
Si r
n
= x , donde n es un entero positivo, entonces r es una raíz n- sima de x.
Por ejemplo: 9
2
= 81 por lo tanto 9 es la raíz cuadrada de 81.
5
3
= 125 , entonces 5 es la raíz cúbica de 125.
La expresión √
𝐱
𝐧
se llama radical, donde es el signo de radical, n el índice y x el
radicando.
√𝐱
𝐧
es
{
positiva si x es positiva
negativa si x es negativa y n es impar
- A continuación, se detalla algunas de las propiedades de los exponentes y radicales.
1.14 Propiedades de exponentes y radicales
Ley: Ejemplos:
m n mn
x x x
. = 3. 3 3 3 3 27
4 1 4 ( 1 ) 41 3
= = = =
− +− −
- x 1
0
= 8 1
0
=
six 0
x
1
x
n
n
=
−
64
1
4
1
4
3
3
= =
−
n
n
x
x
1
=
−
3 9
3
1
2
2
= =
−
n m
mn
n
m
x
1
x
x
x
−
−
= =
25
52
2
5
x
1
x
x
x
−
−
= = ;
3
3
2
5
x
1
x
x
x
−
= =
- 1
x
x
m
m
= 5 1
5
5
0
5
5
= =
( )
mn
n
m
x =x
( )
3 x 2 6
2
3
x =x =x
Ley: Ejemplos:
mz nz
z
m n
x .y =x .y ( )
8 12
4
2 3
x .y x y
− −
=
qn
pn
n
q
p
y
x
y
x
=
9
6
3
3
2
y
x
y
x
− −
=
n
n
x
y
y
x
=
−
16
81
2
3
3
2
4 4
=
=
−
n m mn
x x
/
4 3 / 4 3
n
1 /n
1 /n
x
x
x = =
−
3
1 / 3
1 / 3
−
n
= xy
n
n
x y
4 4 4 4
n
n
n
y
x
y
x
=
5
5
5
5
5
4
20
4
20
= =
nm
m n
x = x
15
5 3
6 = 6
n m m n
x = x
/
3
2 / 3 3 2
x x
n
n
=
8 8
3
3
=
m. n
m n
m
n
x. y= x .y
6
6 3 x 2 2 3
6 / 3 6 / 2 3
3 2 = 3 2 = 3. 2 = 72
mn
n m
n
m
x y
y
x
−
=
12
12
12 4 3
4
3
32
8
256
- 2
2
4
= = =
−
1.15 Aplicación de las Propiedades de los Exponentes
Las propiedades indicadas anteriormente permiten simplificar las expresiones algebraicas
reduciéndoles a su mínima expresión; se incluyen a continuación algunos ejemplos:
xy
4
x
− 3
y
2
= x
( 1 −
( − 3
) )
y
( 4 − 2
)
= 𝐱
𝟒
𝐲
𝟐