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_propriedades_da_sequencias_numericas_infinitas
Typology: Exercises
1 / 10
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Propriedades de sequências
Sejam {𝑎
} e {𝑏
} sequências convergentes, isto é, lim
→ஶ
= 𝐴 ∈ ℝ e lim
→ஶ
= 𝐵 ∈ ℝ, e seja 𝑘 ∈ ℝ, então
valem as propriedades:
ଵ
converge e
ଶ
converge e
ଷ
converge e
ସ
ቅ converge e ቄ
{
}
{
}
, desde que 𝐵 ≠ 0
Como você pode perceber, as propriedades acima são as mesmas propriedades de limites.
Exemplos:
ଶ
(
)
ቅ. Ela converge, pois, as sequências ቄ
ଶ
ቅ e ቄ
(
)
ቅ convergem. Mostre!
a) ቄ
మ
ଶିଵ
ି
మ
ଶାଵ
ቅ. Mostre que a sequência converge. Pra que valor?
b) ቄ
మ
ଶ
మ
ାଵ
ଶ
ቅ. Mostre que a sequência diverge.
Exemplo: Classifique as séries abaixo conforme a monotonia.
a) ቄ
ାଵ
b)
ଶ
!
c) {(−1)
ାଵ
d) ቄ𝑠𝑒𝑛 ൬
గ
ଶ
Sequência limitada
Definição: Uma sequência {𝑎
} é limitada se existem 𝑀 e 𝑁 ∈ ℝ tais que 𝑀 ≤ 𝑎
Observações:
a) os números 𝑀 e 𝑁 são chamados de limitantes inferior e superior, respectivamente.
b) se {𝑎
} é monótona crescente, então 𝑎
ଵ
(ou qualquer número inferior a 𝑎
ଵ
) é limitante inferior.
c) se {𝑎
} é monótona decrescente, então 𝑎
ଵ
(ou qualquer número superior a 𝑎
ଵ
) é limitante superior.
Atenção: Não podemos confundir o limitante de uma sequência com o seu limite!
Por exemplo, a sequência
é limitada, isto é, possui limitantes inferior e superior, mas não possui
limite, ou seja, diverge.
A sequência ቄ
ଶ
!
ቅ é monótona (decrescente) e limitada. Ela é convergente?
Para saber isso, devemos calcular lim
→ஶ
ଶ
!
, mas não temos meios, até agora, para fazer esse cálculo. Somente
usando o próximo resultado chegaremos à resposta desejada.
Teorema: Toda sequência monótona e limitada é convergente.
Logo, usando este teorema, concluímos que a sequência ቄ
ଶ
!
ቅ é convergente!
Consequências do teorema:
a) Toda sequência
convergente é limitada.
Se lim
→ஶ
= 𝐿, então 𝑎
ଵ
≤ 𝐿 (para
crescente) ou 𝐿 ≤ 𝑎
ଵ
(para
decrescente).
b) Sequência {𝑎
} convergente não implica {𝑎
} monótona.
Por exemplo ቄ
( ି ଵ
)
శభ
c) Sequência {𝑎
} monótona não implica {𝑎
} convergente.
Por exemplo {𝑛}.
d) Sequência
limitada não implica
convergente.
Por exemplo
