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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Sesión 1
1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1.1 Notación sumatoria 1.2 Datos no agrupados 1.2.1. Medidas de tendencia central y de posición 1.2.2 Medidas de dispersión 1.3Datos agrupados 1.3.1.Tabla de frecuencia 1.3.2. Medidas de tendencia central y de posición 1.3.3 Medidas de dispersión 1.4 Conjuntos y técnicas de conteo 1.5 Espacio muestral y eventos 1.6 Axiomas y teoremas 1.7 Espacio finito equiprobable 1.9 Probabilidad condicional e independencia 1.10 Teorema de Bayes
Objetivo : Comprender los principios elementales en los que se basa la probabilidad y estadística. Involucrarse con la terminología y los conceptos básicos.
1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Si bien no hay una definición de estadística exacta, se puede decir que la "estadística es el estudio de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir y analizar datos y para hacer inferencias científicas partiendo de tales datos".
Esta definición cubre gran parte de la actividad del científico. Es importante observar que el objeto del que realiza el análisis estadístico son los datos y las observaciones científicas por sí mismos, mas que el material químico que interviene en el estudio
1.1 Notación sumatoria
La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos. La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así:
Expresión que se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores desde 1 hasta n". i es el valor inicial, llamado límite inferior n es el valor final, llamado límite superior. Pero necesariamente debe cumplirse que: i ≤ n Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:
Ejemplos: Algunas fórmulas de la operación sumatoria Fórmula para la suma de n números consecutivos (1+ 2 + 3 + 4 + 5 ……+ n); que acabamos de ver arriba.
Fórmula para la sumatoria de los cuadrados de n números consecutivos (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + ……….+ n2) :
Fórmula para la sumatoria de los cubos de n números consecutivos (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73……..+ n3):
Moda Valor que se presenta con más frecuencia en una serie de mediciones.
1.2.2 Medidas de dispersión La dispersión puede medirse en términos de la diferencia entre dos valores seleccionados del conjunto de datos. Las medidas de distancia son: el alcance, el alcance interfractil y el alcance intercuartil. Alcance. Es la diferencia entre el más alto y el más pequeño de los valores observados. Alcance = valor de la observación más alta – valor de la observación más pequeña El alcance es fácil de entender y de encontrar, pero su utilidad como medida de dispersión es limitada. Sólo toma en cuenta los valores más alto y más bajo de una distribución y no considera ninguna otra observación del conjunto de datos. Ignora la naturaleza de la variación entre todas las demás observaciones, y se ve muy influido por los valores extremos. Las distribuciones de extremo abierto no tienen alcance, pues no existe un valor más alto o más bajo en la clase de extremo abierto. Alcance interfractil. En una distribución de frecuencias, una fracción o proporción dada de los datos cae en un fractil o por debajo de éste. La mediana, por ejemplo, es el fractil 0,5, puesto que la mitad de los datos es menor o igual a este valor. Los fractiles son parecidos a los porcentajes. En una distribución cualquiera, el 25% de los datos está en el fractil 0,25 o por debajo de éste; igualmente, 25% de los datos cae en el vigésimo quinto percentil o por debajo de éste. El alcance interfractil es una medida de la dispersión entre dos fractiles de una distribución de frecuencias, es decir, la diferencia entre los valores de los dos fractiles. Los fractiles tienen nombres especiales, dependiendo del número de partes iguales en que se dividen los datos. Los fractiles que los dividen en 10 partes iguales se conocen como deciles. Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes iguales. Los percentiles dividen el conjunto de datos en 100 partes iguales. Alcance intercuartil. El alcance intercuartil mide aproximadamente qué tan lejos de la mediana tenemos que ir en cualquiera de las dos direcciones antes de que podamos recorrer una mitad de los valores del conjunto de datos. Para calcular este alcance, dividimos nuestros datos en cuatro partes, cada una de las cuales contiene 25% de los elementos de la distribución. Los cuartiles son, entonces, los valores más alto y más bajo de estas cuatro partes, y el alcance intercuartil es la diferencia entre los valores del primer cuartil y el tercer cuartil. SUGERENCIA El punto fractil es siempre el punto en el o debajo del cual cae la proporción establecida de valores. Medidas de Dispersión
Amplitud Diferencia entre los valores mayor y menor de un conjunto de
datos obtenidos en una medición. Coeficiente de variación
Equivale a la desviación típica expresada en porcentaje respecto de la media aritmética. Es la desviación típica partido por la media aritmética. Desviación estandar Medida de la dispersión de una distribución de frecuencias respecto de su media. Equivale a la raiz cuadrada de la varianza.
corresponde a una muestra de la población Rango Medida equivalente a la amplitud Valor Z Medida del número de desviaciones estándar que un valor se aleja de la media Z= (xi - X) / s o Z= (xi - Varianza Medida de la variación de una serie de observaciones respecto de la media. Equivale a la dispersión respecto de la media en una
- X)2/(n-1) si corresponde a
de la población o de la muestra y xi cada uno de los valores.
1.3 Datos Agrupados Los DATOS AGRUPADOS son un conjunto de información con un patrón establecido de dichos datos para la facilitación del manejo de los mismos. Los datos se agrupan en clases con el fin de sintetizar, resumir, condensar o hacer que la información obtenida de una investigación sea manejable con mayor facilidad. Para que sean datos agrupados tienes que contarlos y clasificarlos, por ejemplo cuantas personas había de la misma edad. (Siendo 20 personas). 10 12 13 13 13 13 13 14 15 15 16 16 17 17 18 18 18 20 20 20 Edad..........Frecuencia 10.................. 11.................. 12.................. 13.................. 14.................. 15.................. 16..................
Para organizar los valores de la serie de datos hay que determinar un número de clases que sea conveniente. En otras palabras, que ese número de intervalos no origine un número pequeño de clases ni muy grande. Un número de clases pequeño puede ocultar la naturaleza natural de los valores y un número muy alto puede provocar demasiados detalles como para observar alguna información de gran utilidad en la investigación. Tamaño de los Intervalos de Clase Los intervalos de clase pueden ser de tres tipos, según el tamaño que estos presenten en una distribución de frecuencia: a) Clases de igual tamaño, b) clases desiguales de tamaño y c) clases abiertas. 3.-Amplitud de Clase, Longitud o Ancho de una Clase La amplitud o longitud de una clase es el número de valores o variables que concurren a una clase determinada. La amplitud de clase se designa con las letras Ic. Existen diversos criterios para determinar la amplitud de clases, ante esa diversidad de criterios, se ha considerado que lo más importante es dar un ancho o longitud de clase a todos los intervalos de tal manera que respondan a la naturaleza de los datos y al objetivo que se persigue y esto se logra con la practica. 4.-Punto medio o Marca de clase El centro de la clase, es el valor de los datos que se ubica en la posición central de la clase y representa todos los demás valores de esa clase. Este valor se utiliza para el calculo de la media aritmética. 5.-Frecuencia de clase La frecuencia de clase se le denomina frecuencia absoluta y se le designa con las letras fi. Es el número total de valores de las variables que se encuentran presente en una clase determinada, de una distribución de frecuencia de clase. 6.- Frecuencia Relativa La frecuencia relativa es aquella que resulta de dividir cada uno de los fi de las clases de una distribución de frecuencia de clase entre el número total de datos(N) de la serie de valores. Estas frecuencias se designan con las letras fr; si cada fr se multiplica por 100 se obtiene la frecuencia relativa porcentual (fr %). 7.-Frecuencias acumuladas Las frecuencias acumuladas de una distribución de frecuencias son aquellas que se obtienen de las sumas sucesivas de las fi que integran cada una de las clases de una distribución de frecuencia de clase, esto se logra cuando la acumulación de las frecuencias se realiza tomando en cuenta la primera clase hasta alcanzar la ultima. Las frecuencias acumuladas se designan con las letras fa. Las frecuencias acumuladas pueden ser menor que (fa< que) y frecuencias acumuladas mayor que (fa>que). 8.- Frecuencia acumulada relativa La frecuencia acumulada relativa es aquella que resulta de dividir cada una de las fa de las diferentes clases que integran una distribución de frecuencia de clase entre el número total de datos (N) de la serie de valores, estas frecuencias se designan con las letras far. Si las far se multiplican por 100 se obtienen las frecuencias acumuladas relativas porcentuales y las mismas se designan así: far %.
Frecuencia relativa: La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por fi
Donde N = Tamaño de la muestra
La frecuencia relativa de un intervalo se obtiene dividiendo la frecuencia dl intervalo, entre el número total de datos.
Cuando el resultado se multiplica por 100 obtenemos la “ FRECUENCIA RELATIVA PORCENTUAL “.
FRECUENCIA RELATIVA ( h i ) La frecuencia relativa es el cuociente entre la frecuencia absoluta ( f i ) y el número total de datos ( n ). En nuestro ejemplo, n = 50: TABLA:
x i f i h i 0 4 0, 1 9 0, 2 12 0, 3 10 0, 4 8 0, 5 4 0, 6 2 0, 7 1 0,
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo serían: -¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos? -¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniería Química?, b) se desea que el presidente sea un químico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean químicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos. -¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?
Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.
Diagrama de árbol. Notación factorial. Permutación. Combinaciones. Teorema del Binomio.
Diagrama de árbol
Ej.- Un contador tiene dos sacos negro y beige y 4 camisas: celeste, café, blanca y azul de
cuantas manera puede combinarse y representar con un diagrama de árbol.
Contador
Saco
Negro
Beige
Camisas
Celeste
Café
Blanco
Azul
Celeste
Café
Blanco
Azul
Posibles arreglos:
Negro-celeste
Negro-café
Negro-blanco
Negro-azul
Beige-celeste
Beige-café
Beige-blanco
Beige-azul
Notación Factorial En algunos problemas de matemáticas se nos presentan multiplicaciones de números naturales sucesivos tal como: 4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3 x 2 x 1 = 6; 2 x 1 = 2. Para abreviar estas expresiones, se usa una notación especial llamada notación factorial y nos denota las multiplicaciones sucesivas de n hasta l y se define como: 4 x 3 x 2 x 1 = 4! Se lee“cuatro factorial” 3 x 2 x 1 = 3! Se lee “tres factorial” En términos generales: n(n-1)(n-2)...x 2 x 1 = n! Se lee “n factorial” Propiedades: a) para n natural n! = n(n-1)! Ejemplo: 7! = 7 x 6! = 7 x 6 x 5 x 4! b) 0! = 1 Ejemplos:
- 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
- 4! 3! = (24)(6) = 144
Cuando n es demasiado grande se suele utilizar la fórmula de Stirling:
Ejemplo: Determinar 50! por Stirling:
http://www.universidadabierta.edu.mx/SerEst/MAP/METODOS%20CUANTITATIVOS/Pye/tema_21.htm NOTACIÓN FACTORIAL El factorial de un número es el producto de los enteros positivos desde uno hasta n, se emplea con mucha frecuencia y se denota por símbolo n! que se lee “n factorial” por otra parte se define el cero factorial como:
Permutación.
2 x 4 = 8
Las permutaciones que se dan al acomodar objetos en un círculo se llaman permutaciones circulares. Dos de éstas no se consideran diferentes a menos que a los objetos correspondientes al avanzar en el sentido de las manecillas del reloj. Permutar n objetos distintos agregados en un círculo El número de permutaciones de n objetos distintos agregados en un círculo es (n-1)! EJEMPLO Si 4 personas juegan al bridge, no se tiene una nueva permutación si todas se mueven una posición en esa dirección. Al considerar una persona en un lugar fijo y acomodar las otras tres ¿cuántos acomodos distintos habrán para el juego de bridge? SOLUCION Los acomodos distintos para el juego de bridge son: (4 - 1)! = 6. Hasta ahora se han considerado permutaciones de objetos diferentes. Esto es, todos los objetos eran distintos o totalmente distinguibles. Permutar algunos objetos, de algunos repetidos El número de permutaciones diferentes de n objetos de los cuales n1 son de un tipo, n2 son de un segundo tipo, ... , nk de un k-ésimo tipo, es: n!
n1! n2! ... nk! EJEMPLO¿En cuántas formas diferentes pueden acomodarse tres focos rojos, dos amarillos y dos azules en un árbol de navidd con 9 receptáculos? SOLUCION El número de arreglos diferentes es
9! -------- = 1260 3! 4! 2! Permutar todos los objetos, de algunos repetidos El número de formas diferentes en que pueden ordenarse K1, K2, ... ; y Kn objetos iguales entre sí, cuando se toman de uno por uno, es el factorial de (K1 + K2 + ... + Kn), entre el producto de los factoriales de K1, K2, ... , y Kn. Es decir, (K1 + K2 + ... + Kn)!
K1! * K2! * ... * Kn! EJEMPLO ¿En cuántas formas diferentes pueden 7 científicos acomodarse en una habitación triple y dos habitaciones dobles en un hotel? SOLUCION El número total de particiones posibles sería:
7! Formas = ---------- = 210.
Permutaciones con reemplazo En todos los ejemplos anteriores, el número de objetos estaban perfectamente definido. Sin embargo, es frecuente que el número de objetos sea limitado, pero que el número de veces que se presenten sea infinito, por ejemplo, cuando los objetos seleccionados pueden ser elegidos de nuevo. La diferencia entre una situación y otra se conoce como reemplazo y se presenta en el siguiente ejemplo: EJEMPLO Los resultados posibles de un juego son perder o ganar. si se juegan cuatro juegos, ¿cuáles son los resultados posibles? SOLUCION Cada uno de los cuatro juegos puede terminar en cualquiera de los resultados posibles. Esto se muestra gráficamente a continuación:
El número de formas diferentes en que puedan aparecer n objetos diferentes, en m intentos, con reemplazo, es: (nm). En este caso, 24 = 16 formas diferentes. Compruebe que si n = 3 y m = 5, el número de formas diferentes será 243; y que si n=5 y m=3, el número de formas diferentes será 125.
PERMUTACIONES. Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.
PERMUTACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
El número de arreglos reales = No. de permutaciones considerando a todos los objetos como diferentes Los cambios entre objetos iguales
El número de arreglos reales = 3! / 2! = 3 x 2! / 2! = 3
Por tanto la fórmula a utilizar sería;
Donde:
nPx1,x2,......, xk = Número total de permutaciones que es posible obtener con n objetos, entre los que hay una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de objetos de un segundo tipo,...... y una cantidad xk de objetos del tipo k.
n = x1 + x2 + ...... + xk
Ejemplos:
- Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.
Solución:
n = 6 banderines x1 = 2 banderines rojos x2 = 3 banderines verdes x3 = 1 banderín morado
6P2,3,1 = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes
x!x!.......x!
nPx,x........,x n!
k
k 1 2
- a.¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?, c. ¿cuántas de las claves del inciso a empiezan por el número dos y terminan por el número tres?
Solución:
a. n = 8 números x1 = 3 números uno x2 = 1 número dos x3 = 4 números cuatro
8P3,1,4 = 8! / 3!1!4! = 280 claves de acceso
b. n = 6 (se excluye un número uno y un dos) x1 = 2 números uno x2 = 4 números tres 1 x 1 x 6P2,4 = 1 x 1 x 6! / 2!4! = 15 claves de acceso
El primer número uno nos indica el número de maneras como es posible colocar en la primera posición de la clave de acceso un número uno, debido a que todos los números uno son iguales, entonces tenemos una sola manera de seleccionar un número uno para la primera posición, el siguiente número uno nos indica el número de maneras como se colocaría en la segunda posición el número dos y la expresión siguiente nos indica todos los arreglos posibles que es posible diseñar con los números restantes.
c. n = 6 (se excluye un número dos y un tres) x1 = 3 números uno x2 = 3 números tres
1 x 6P3,3 x1 = 1 x 6! / 3!3! = 20 claves de acceso
El número uno inicial nos indica que existe una sola manera de seleccionar el número dos que va en la primera posición del arreglo, mientras que el número uno final nos indica que hay una sola manera de seleccionar el número tres que va al final del arreglo aún y cuando haya cuatro números tres, como estos son iguales al diseñar una permutación es indistinto cuál número tres se ponga, ya que siempre se tendrá el mismo arreglo y la expresión intermedia nos indica todos los arreglos posibles a realizar con los números restantes.
nCr Teorema: Hipótesis: Existen n elementos en un conjunto de los cuales se toman r. Conclusión: El número de posibles combinaciones es: nCr=n!/(r!*(n-r)!)
Demostración Sabemos que si tomamos r elementos de una colección de n, si nos fijamos del ordenen que lo tomamos, tenemos n!/(n-r)!, pero a la vez, si consideramos que en una combinación no importa el orden. Sabemos que para colocar r elementos en r posiciones hay r! formas de hacerlo, así que para cada una de las n!/(n-r)! formas en que se pueden tomar los elementos hay que quitar r!, tenemos que precisamente hay n!/(r!(n-r)!) distintas combinaciones de r elementos de n posibles. Una combinación es una forma en la que pueden presentarse los objetos o eventos, y en la que el orden de aparición no importa; por ejemplo, la multiplicación de los dígitos 2, 5 y 8 puede hacerse de muchas formas diferentes, por ejemplo, 258 o 28*5, pero en todos los casos el resultado será el mismo. La fórmula general de las combinaciones es la siguiente:
Combinaciones de n! n objetos = nCr= ------------- tomados de r en r r! * (n - r)! n es el número total de objetos o eventos r es el número de objetos que se desea considerar (n puede ser cualquier valor entero positivo, r puede ser cualquier valor entero positivo, r puede ser cualquier valor entero positivo desde 1 hasta n) Observe que, para cualquier pareja de números enteros positivos n y r, exceptuando r=1, el número de permutaciones es mayor que el de combinaciones. Por ejemplo, si n=7 y r=4, 7P4 = 840 y 7C4 = 35. EJEMPLO En un grupo hay 5 personas, las que pueden identificarse con las letras A, B, C, D y E. De ellas se van a seleccionar 3 para una misión especial. ¿De cuántas formas diferentes se pueden seleccionar las 3 personas? SOLUCION Observe que la misión formada por las personas A, B y C se considera igual a la misión integrada por las personas B, C y A (o CAB, CBA, etc.), por lo que en este caso puede aplicarse la fórmula para calcular el número de las combinaciones posibles de un total de 5 elementos, tomados de 3 en 3, el cual está dado por:
5! 5C3 = --------------- = 10 3! * (5 - 3)!
La misión especial puede quedar integrada por las personas: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE y CDE, es decir, 10 formas diferentes. EJEMPLO Una preselección de futbol está formada por 25 jugadores. ¿De cuántas formas diferentes puede el entrenador integrar un equipo de 11 jugadores? SOLUCION El número de combinaciones posibles de un total de 25 jugadores, tomados de 11 en 11, está dado por:
25! 25C11 = ------------------ 11! * (25 - 11)!
1.551121 E = --------------------------- 39 916 800 * 8.717829 E
= 4 457 400 EJEMPLO En un ejército hay 20 000 soldados, y de ellos se van a seleccionar 100 para una misión especial. ¿De cuántas formas diferentes se pueden seleccionar los 100 soldados? SOLUCIONEl número de combinaciones posibles de un total de 20 000 soldados, tomados de 100 en 100, está dado por:
(20 000)! 20 000C100 = ----------------------- 100! * (20 000 - 100)!
20 000 * 19 999 * ... * 19 901 * 19 900! = ------------------------------------------ 100! * 19 900!
20 000 * 19 999 * ... * 19 901 = -------------------------------- (Véase la nota) 100!
(2.000010 E4)(1.999910 E4)(...)(1.990110 E4) = ------------------------------------------------- 100!
