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Universidad Industrial de Santander
Escuela de Matem´aticas Coordinaci´on Algebra Lineal II´
Algebra Lineal II^ ´
Transformaciones Lineales Taller N°5 - SEA
- En cada caso se define una funci´on T entre dos espacios vectoriales.
Verifique que T es una trasformaci´on lineal. Determine bases y las dimensiones R (T ) la imagen y N (T ) el nucleo o kernel de T. Determine si T es inyectiva, sobreyectiva, isomorfismo. a) T : R^3 → R^3 definida por: T (x, y, z) = (x + y + 2z, −x − 2 y − 2 z, 2 x − y + z). b) T : P 2 → P 2 definida por: T (p(x)) = p(x) + p′(x). c) T : R^3 → P 2 definida por: T (a, b, c) = (a − b) + (a + c)x + (b − c)x^2. d) T : P 2 → M 2 (R) definida por:
T (a + bx + cx^2 ) =
a b b c
e) T : M 2 (R) → M 2 (R) definida por: T (A) = A − At, donde At^ representa la matriz transpuesta de A. f ) T : M 2 (R) → M 2 (R) definida por: T (A) = A + At.
- En cada caso determine la ´unica transformaci´on lineal que cumple las condiciones dadas.
a) T : R^3 → R^2 , tal que, T (e 1 + e 2 ) = (1, 1), T (e 1 + e 3 ) = (2, 2), T (e 2 + e 3 ) = (3, 3). b) T : P 2 → R^2 tal que, T (1) = e 1 , T (x) = e 2 − e 1 , T (x^2 ) = e 2.
- ¿Existe una transformaci´on lineal T : R^3 → R^2 tal que,
T (1, 1 , 1) = (1, 1) y T (1, 0 , 1) = (0, 1)?
- En cada caso determine una trasformaci´on lineal T que cumpla con las condiciones dadas.
a) T : R^2 → R^2 tal que, nuc(T) = {(x, y) ∈ R^2 | y = x}. b) T : R^2 → R^2 tal que, Img(T) = {(x, y) ∈ R^2 | x = 0}. c) T : R^3 → R^3 tal que, nuc(T) = {(x, y, z) ∈ R^3 | 2x − y + z = 0}. d) T : R^3 → R^3 tal que, Img(T) = {(x, y, z) ∈ R^3 | x + y + z = 0}.
e) T : R^2 → R^2 tal que, nuc(T) = Img(T) = {(x, y) ∈ R^2 | x + y = 0}.
- ¿Existe una transformaci´on lineal T : R^3 7 −→ R^5 sobreyectiva?.
- ¿Existe una transformaci´on lineal T : R^5 7 −→ R^3 inyectiva?.
- Sea T : V −→ W una transformaci´on lineal; probar que si v 1 , v 2 , v 3 son vectores linealmente dependientes de V , entonces T (v 1 ) , T (v 2 ) , T (v 3 ) son vectores linealmente dependientes de W.
- Sea T : V 7 −→ W una transformaci´on lineal y β = {v 1 , v 2 , ..., vn} una base para V. a) Si para cada k = 1, 2 , ..., n : T (vk) = vk, probar que para cada x ∈ V : T (x) = x, es decir T es la transformacion lineal identidad. b) Si para cada k = 1, 2 , ..., n : T (vk) = 0W , probar que para cada x ∈ V : T (x) = 0W , es decir T es la transformacion lineal nula.
- Sea V un espacio vectorial sobre R con producto interno y de dimesi´on finita, H un subespacio de V, defina T : V −→ V x 7 −→ T (x) = ProyHx
- Consid´ere la la transformaci´on lineal definida por,
T : P 2 −→ P 1 p (x) 7 −→ T (p (x)) = p′^ (x) , si β 1 = p 1 (x) = 1, p 2 (x) = x + 1, p 2 (x) = x^2 + 1 , β 2 = {q 1 (x) = x + 1, q 3 (x) = x + 2} son bases ordenadas de P 2 y P 1 respectivamente, calcule la matriz AT de la trasformaci´on T respecto a estas bases y verifique para cada p (x) ∈ P 2 : [T (p (x))]β 1 = AT [p (x)]β 2.
- Consid´ere la la transformaci´on lineal definida por,
T : P 1 −→ P 2 p (x) 7 −→ T (p (x)) = xp (x) , si β 1 = {p 1 (x) = x + 1, p 2 (x) = x − 1 } , β 2 = q 1 (x) = x^2 + 1, q 2 (x) = x − 1 , q 3 (x) = x + 1 , son bases ordenadas de P 1 y P 2 respectivamente, calcule la matriz AT de la trasformaci´on T respecto a estas bases y verifique para cada p (x) ∈ P 1 : [T (p (x))]β 2 = AT [p (x)]β 1.
- Sea T : R^3 → R^3 una transformaci´on lineal y β = {v 1 , v 2 , v 3 } una base ordenada de R^3 tal que,
T (v 1 ) = v 1 − v 2 + 2v 3 , T (v 2 ) = 3 v 1 + 4v 2 + 2v 3 , T (v 3 ) = v 1 + v 2 + v 3 , determine la matriz que representa a T respecto a esta base.
- Sea B ∈ Mn(R) y defina
T : Mn(R) −→ Mn(R) A 7 −→ T (A) = AB − BA a) Verifique que T es transformaci´on lineal, b) Determine nuc(T),
