Universidad Industrial de Santander
Escuela de Matem´aticas
Coordinaci´on ´
Algebra Lineal II
´
Algebra Lineal II
Valores y vectores propios
Taller N
°
6 - SEA
1. Si λes un valor propio de la matriz A2de orden nentonces al menos uno de √λo−√λes valor
propio de A.
2. Si λes un autovalor de A, entonces λ+ 1 es un autovalor de A+I .
3. Demuestre que AB yBA tienen los mismos valores propios no nulos. Adem´as, las multiplicidades
geom´etricas de cada valor porpio es igual, es decir: si EλyFλson los espacios propios asociados a
λpara AB yBA respectivamente, dim Eλ=dim Fλ
4. Determine A8,con
A=
0 0 0 −1
1 0 0 0
0 1 0 2
0 0 1 0
.
5. Determine si las siguientes matrices son diagonalizables:
a)A=
1 1 0
0 1 1
0 0 4
b)B=
3 1 −1
1 3 −1
−1−1 5
6. Una matriz de probabilidad es una matriz cuadrada que tiene dos propiedades:
a)Todos sus elementos son no negativos (≥0).
b)La suma de los elementos en cada fila (rengl´on) es 1.
Demuestre que 1 es un valor propio de toda matriz de probabilidad.
7. Sea A=a b
c duna matriz de 2×2. suponga que b= 0. Sea muna ra´ız (real o compleja) de la
ecuaci´on
bm2+ (a−d)m−c= 0
Demuestre que a+bm es un autovalor de Acon autovector correspondiente v=1
m
8. Sea A=α β
−β α, donde α, β ∈R. Encuentre los autovalores de la matriz B=ATA
9. Si v=
−4
2
3
es un vector propio de la matriz A=
3 2 4
2 0 a
4 2 b
,¿cu´al es el valor de a+b?
10. De una matriz Ase sabe que
0
1
0
,
1
0
1
y
0
1
1
,son algunos de sus vectores propios,
asociados a los valores propios: 0,−2y3,respectivamente. Si A5=
a b c
d e f
g h i
,¿cu´al es el
valor de i?
11. Sea Auna matriz de tama˜no 4×4cuyos valores propios son λ1=−1, λ2= 2, λ3=−3,yλ4= 4.
Entonces det(A)es:
12. Sea P(x) = −x(x−1)2el polinomio caracter´ıstico de una matriz A. Es correcto afirmar que
(a)Aes diagonalizable si la nulidad de Aes 2.
(b)Ano es diagonalizable porque no tiene 3valores propios diferentes.
