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ACTIVIDAD 5:
EJERCICIOS
Fecha :14/05/ Nombre del estudiante: Irving Eduardo Degollado Pimentel Nombre del docente: Omar Josue Amaya Molina
Resuelvan el ejercicio aplicando los conocimientos sobre:
➢ Sistema masa – resorte -Movimiento libre no amortiguado -Movimiento libre amortiguado -Movimiento forzado ➢ Circuitos eléctricos
Ejercicio 1. Movimiento libre no amortiguado 1.Un resorte cuelga verticalmente; su extremo superior esta fijo y del extremo inferior pende una caja que pesa 150 lb. Una vez en equilibrio se tira la caja hacia abajo haciéndola desplazar 1/2ft y se suelta. Sabiendo que k=50 lb/ft y que la resistencia del aire es despreciable, halla la ecuación de movimiento de la caja.
Para resolver este problema, podemos utilizar la ley de Hooke, que establece que la fuerza ejercida por un resorte es proporcional a la deformación que sufre:
F = -k*x
Donde x es el desplazamiento de la caja desde su posición de equilibrio y el signo negativo indica que la fuerza del resorte es opuesta al desplazamiento.
Sustituyendo F en la primera ecuación, obtenemos:
m a = -k x
Como se trata de un movimiento vertical, podemos descomponer la aceleración en dos componentes: una aceleración hacia abajo debido a la gravedad y una aceleración hacia arriba debida a la fuerza del resorte:
m a = -k x - m*g
Donde g es la aceleración debido a la gravedad.
Donde F es la fuerza restauradora, k es la constante del resorte y x es la distancia desde la posición de equilibrio. En este caso, x = 1/2ft = 0.5ft. Entonces:
X(t)= 12 cos(10√ 3 ∗ ) + 53 sin (^10) √3 ∗ +^12
F = -50 lb/ft * 0.5 ft = -25 lb
Esta fuerza es opuesta a la dirección del movimiento, por lo que la ecuación de movimiento de la caja será:
ma = -25 - 150g
Teniendo en cuenta que la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, podemos reescribir la ecuación como una ecuación diferencial de segundo orden:
m x'' + k x = m*g
Esta es la ecuación de movimiento de la caja. Para resolverla, podemos usar el método de solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
La solución general de esta ecuación es de la forma:
x(t) = A cos(ω t) + B sin(ω t) + C
Donde A, B y C son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales (posición y velocidad inicial de la caja) y ω es la frecuencia angular del movimiento, dada por:
Sustituyendo las condiciones iniciales (x(0) = 1/2 ft y x'(0) = 0) y resolviendo para las constantes, obtenemos la ecuación de la caja.
Ejercicio 2. Movimiento libre amortiguado. Un cuerpo que pesa 20N estira un resorte 2cm. Considerando que una fuerza retardadora que es igual a 3 veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema y que el peso se suelta 5cm, debajo de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 10m/s, determina la ecuación del movimiento.
Primero, debemos encontrar la constante del resorte k. Nuevamente, empleando la ley de Hooke, sabemos que F = kx, donde F es la fuerza aplicada, x es la deformación del resorte y k es la constante del resorte. En este caso, la fuerza aplicada es el peso del cuerpo, que es de 20N, y la deformación del resorte es de 2cm (0.02m). Por lo tanto:
k = F/x = 20N / 0.02m = 1000 N/m
Ahora podemos escribir la ecuación de movimiento de la caja:
Ahora podemos utilizar la segunda ley de Newton para encontrar la ecuación de movimiento del peso:
=
Donde es la fuerza neta sobre el peso, es la masa del peso y es su aceleración.
La cuerda, como mencioné antes, debido a las condiciones, se relaciona con la resistencia de materiales y se comporta como un resorte, por lo que podemos aplicar esta ley. Sabemos que la cuerda se alarga 12 pulgadas por un peso de 24 lb, por lo que podemos calcular la constante del resorte:
Para la ecuación, la fuerza neta sobre el peso es la suma de la fuerza restauradora de la cuerda y la fuerza retardadora que actúa sobre el sistema:
Ejercicio 4. Circuitos eléctricos LRC. Hallar la ecuación de la carga y la intensidad de corriente en función del tiempo del circuito LRC que tiene una inductancia de 0.5 hernios, una resistencia de 20 ohms, una capacitancia de 0.002 faradios y un voltaje de 5 3.
La ecuación diferencial que describe el comportamiento del circuito LRC es:
Donde L es la inductancia, R es la resistencia, C es la capacitancia, q es la carga en el capacitor y V(t) es el voltaje aplicado al circuito.
Para encontrar la ecuación de la carga en función del tiempo, se resuelve la ecuación diferencial y se obtiene:
( ) = ( ) + ( (0) − (0)) (−^ (^ ))
Donde q(0) es la carga inicial en el capacitor y V(0) es el voltaje inicial.
Para encontrar la ecuación de la corriente en función del tiempo, se deriva la ecuación de la carga con respecto al tiempo:
− ( )
Sustituyendo los valores dados, se obtiene:
q(t) = 0.002 (5 sin(3t)) + (q(0) – 0
Conclusión
La resolución de ejercicios de ley de Hooke, circuitos eléctricos y ecuaciones diferenciales, y movimiento libre amortiguado y no amortiguado, nos permite entender y aplicar conceptos fundamentales de la física y la matemática en situaciones reales.
En el caso de la ley de Hooke, podemos comprender cómo se comportan los materiales elásticos y cómo se relaciona la fuerza con la deformación. Esto es útil en la ingeniería y la construcción, donde se deben diseñar estructuras que soporten cargas y deformaciones sin romperse. Además, la ley de Hooke también se aplica en la física de partículas, donde se estudian las interacciones entre partículas subatómicas.
En cuanto a los circuitos eléctricos, la resolución de ejercicios nos permite entender cómo se comportan los componentes eléctricos y cómo se relacionan la corriente, el voltaje y la resistencia. Esto es fundamental en la electrónica y la ingeniería eléctrica, donde se diseñan y construyen circuitos para diversas aplicaciones, desde dispositivos electrónicos.
Referencias
- García, A. (2014). Ecuaciones Diferenciales Haga clic para ver más opciones [Archivo PDF] https://www.editorialpatria.com.mx/
- Zill, D. (2015). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado Haga clic para ver más opciones [Archivo PDF]. https://latam.cengage.com/
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-Braun, M. (2013). Differential equations and their applications: An introduction to applied mathematics. Springer Science & Business Media.
-Coddington, E. A., & Levinson, N. (2012). Theory of ordinary differential equations. Courier Corporation.
-Ince, E. L. (2013). Ordinary differential equations. Courier Corporation.
-Ross, S. L. (2012). Differential equations: An introduction to the basic theory. John Wiley & Sons.
