Cálculo Integral: Potencias Impares de Seno y Coseno, Funciones Secante y Cosecante, Ejercicios de Matemáticas

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UNIVERSIDAD CNCI VIRTUAL M9 Cálculo Integral IN C Luis Rodríguez Elizondo ACTIVIDAD 2 Adriana Guadalupe Castillo Romero AL Guadalupe, Nuevo León, 15 Septiembre 2020

Potencias impares de seno y coseno Se relacionan con la identidad trigonométrica

3

=

¿∫(^ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠

2 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 )^ 𝑑𝑥 ¿ − cos 𝑥 + 1 3 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝐶 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 Ejemplo:

3

=

¿∫(^ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛

2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 )^ 𝑑𝑥 ¿ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 3 𝑠𝑒𝑛 3 𝑥 + 𝐶

3

=

cos 𝑥𝑑𝑥 − 2

2

4

¿ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2 3 𝑠𝑒𝑛 3 𝑥 + 1 5 𝑠𝑒𝑛 5 𝑥 + 𝐶

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos. ∫ 𝑐𝑜𝑠^^4 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 =^

∫ 𝑐𝑜𝑠^5 𝑡𝑑𝑡^ +^

∫ 𝑐𝑜𝑠^^3 𝑡𝑑𝑡

∫ 𝑐𝑜𝑠^^4 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 =^

1 2

1 5 𝑠𝑒𝑛 5 𝑡

1 2

1 3 𝑠𝑒𝑛 3 𝑡

• 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑠^^4 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 =^

∫ 𝑐𝑜𝑠^^4 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 =^

Finalmente Solución por formulación de integración directa ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑢^ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑢𝑑𝑢 =^ 1 2 ( 𝑚 + 𝑛 ) 𝑠𝑒𝑛 (^ 𝑚 + 𝑛 )^ 𝑢 + 1 2 ( 𝑚− 𝑛 ) 𝑠𝑒𝑛 (^ 𝑚 −𝑛 )^ 𝑢 + 𝐶 Este integral pertenece a las siguiente formula ∫ 𝑐𝑜𝑠^^4 𝑡^ 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 =^ 1 2 ( 4 + 1 ) 𝑠𝑒𝑛 (^4 + 1 )^ 𝑡 + 1 2 ( 4 − 1 ) 𝑠𝑒𝑛 (^4 − 1 )^ 𝑡 + 𝐶 Sustituye los valores m y n y cambiando la variable u por t resulta ∫ 𝑐𝑜𝑠^^4 𝑡^ 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 =^ 1 2 ( 5 )

𝑠𝑒𝑛 (^5 )^ 𝑡 +

1 2 ( 3 )

𝑠𝑒𝑛 (^3 )^ 𝑡 + 𝐶

∫ 𝑐𝑜𝑠^^4 𝑡^ 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 =^

𝑠𝑒𝑛 (^3 )^ 𝑡 + 𝐶

Se define la función secante como: Por lo tanto, las propiedades se pueden deducir a partir de la función coseno. Las características fundamentales de la función secante son las siguientes: 1) Su dominio es R - {π/2 + k·π} con k∈Z π/2 + k·π} con k∈Z π} con k ∈Z Z 2) Su recorrido es R - (- 1, 1). 3) No corta al eje X. Corta al eje Y en el punto (0, 1). 4) Es par, es decir, simétrica respecto al eje Y. sec (- x) = sec (x) 5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π + 2·π} con k∈Z k·π} con k∈Z π, - 1) con k ∈Z Z. Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (2·π} con k∈Z k·π} con k∈Z π,

1. con k ∈Z Z. 6) Es periódica de periodo 2π. sec (x) = sec (x + 2π) 7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma x = π/2 + k·π} con k∈Z π con k ∈Z Z. 8) No está acotada. Se define la función cosecante como: Por lo tanto, las propiedades se pueden deducir a partir de la función seno. Las características fundamentales de la función cosecante son las siguientes: 1) Su dominio es R - {π/2 + k·π} con k∈Z k·π} con k∈Z π} con k ∈Z Z. 2) Su recorrido es R - (- 1, 1). 3) No corta al eje X ni al eje Y. 4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen. cosec (- x) = - cosec (x) 5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (- π/2 + 2·π} con k∈Z k·π} con k∈Z π, - 1) con k ∈Z Z. Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·π} con k∈Z k·π} con k∈Z π, 1) con k ∈Z Z. 6) Es periódica de periodo 2π. cosec (x) = cosec (x + 2π) 7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma x = k·π} con k∈Z π con k ∈Z Z. 8) No está acotada. La Funciones Secante o Cosecante