Actividad 3. Ejercicio.
Transformada Z en tiempo discreto.
Rodrigo Hernández Peña. Matrícula: 340414660.
Control Digital.
Maestro: Leopoldo Emmanuel Polo Castillo.
18 de septiembre del 2024.
Ingeniería Mecatrónica.
Campus Coyoacán.
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ACTIVIDAD 3 CONTROL DIGITAL, Ejercicios de Circuitos Digitales
ACTIVIDAD 3 CONTROL DIGITAL UVM
Tipo: Ejercicios
2023/2024
1 / 13
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Actividad 3. Ejercicio.
Transformada Z en tiempo discreto.
Rodrigo Hernández Peña. Matrícula: 340414660.
Control Digital.
Maestro: Leopoldo Emmanuel Polo Castillo.
18 de septiembre del 2024.
Ingeniería Mecatrónica.
Campus Coyoacán.
Introducción.
En esta actividad, se nos plantea como objetivo principal la conversión de una ecuación en
términos de 𝑘 hacia su forma en la transformada Z en tiempo discreto. Para abordar este
ejercicio, resulta fundamental comprender los conceptos clave asociados con la necesidad del
uso de la transformada Z, así como los teoremas que la sustentan. Estos conceptos nos
permitirán transformar adecuadamente la ecuación y entender las aplicaciones de la
transformada Z en tiempo discreto en el análisis de sistemas dinámicos, sobre todo en sistemas
de control digital.
Ejercicio 1.
Resuelve la siguiente ecuación en diferencias utilizando la transformada Z.
Con condiciones iniciales iguales a cero, es decir, 𝑥( 0 ) = 𝑥( 1 ) = 0.
Comenzaremos este ejercicio igualando la ecuación a cero, como se muestra a continuación:
A partir de esta ecuación, aplicaremos la transformada Z, donde es importante destacar las
siguientes propiedades de la transformada Z en secuencias desplazadas en el dominio de 𝑘, la
cual se utilizará para continuar con el desarrollo del ejercicio, donde:
2
2
2
El siguiente paso consiste en simplificar la ecuación, organizando los términos con 𝑋
en un
lado y las constantes en el otro, tal como se expresa a continuación:
2
Factorizamos con respecto de 𝑋
2
Procederemos a factorizar el polinomio generado en términos de 𝑧, como se detalla a
continuación:
Despejaremos la ecuación en términos de 𝑋(𝑧):
Con respecto a lo obtenido, realizaremos la anti – transformada Z descomponiendo la fracción
obtenida en fracciones parciales, tal como se ilustra en el siguiente procedimiento:
Procederemos a evaluar la ecuación multiplicando ambos lados por
5 𝑧 = 𝐴𝑧[(𝑧 − 4 )(𝑧 − 2 )] + 𝐵𝑧[(𝑧 − 1 )(𝑧 − 2 )] + 𝐶𝑧[(𝑧 − 1 )(𝑧 − 4 )]
Resolvemos cada polinomio:
3
2
3
2
3
2
Igualamos los coeficientes de las potencias de 𝑧 a modo de sistema de ecuaciones lineales;
resultado de la siguiente manera:
3
2
Ahora resolveremos este sistema de ecuación por el método de la regla de Cramer:
Partiremos de esta regla por medio de la obtención del determinante:
∆= [
]
1
= [
] = 0 − 25 + 15
1
= [
] = − 10
Ya que obtuvimos el valor del primer determinante, sustituiremos en la segunda fila de la matriz
principal la solución del vector, con el objetivo de obtener el segundo determinante resultante de
esta sustitución:
2
= [
]
2
= [
] = ( 1 ) [
] − ( 0 ) [
] + ( 1 ) [
]
2
= [
] =
)[(
)]
)[(
)]
)[(
)]
2
= [
] = 25 − 0 − 30
2
= [
] = − 5
A consecuencia de la obtención del valor del segundo determinante, sustituiremos ahora en la
tercera fila de la matriz principal la solución del vector, con el objetivo de obtener el tercer
determinante resultante de esta sustitución:
3
= [
]
3
= [
] =
[
] −
[
] +
[
]
3
= [
] = ( 1 )
[
]
[
]
[
]
3
= [
] = − 15 + 30 + 0
3
= [
] = 15
Finalmente, evaluaremos las siguientes fórmulas de aplicación para encontrar los valores de 𝐴,
𝐵 y 𝐶:
1
2
3
% Cálculo de los determinantes para Cramer
M1 = M; M1(:,1) = R; % Reemplaza la primera columna de M por R
M2 = M; M2(:,2) = R; % Reemplaza la segunda columna de M por R
M3 = M; M3(:,3) = R; % Reemplaza la tercera columna de M por R
detM1 = det(M1); % Determinante de M
detM2 = det(M2); % Determinante de M
detM3 = det(M3); % Determinante de M
% Cálculo de las soluciones (A, B, C)
A = detM1 / detM;
B = detM2 / detM;
C = detM3 / detM;
% Mostrar resultados
fprintf('Determinante general: %.2f\n', detM);
fprintf('Determinante M1: %.2f\n', detM1);
fprintf('Determinante M2: %.2f\n', detM2);
fprintf('Determinante M3: %.2f\n', detM3);
fprintf('Soluciones del sistema:\n');
fprintf('A = %.2f\n', A);
fprintf('C = %.2f\n', B);
fprintf('B = %.2f\n', C);
Donde, al ejecutar el código, obtenemos lo siguiente:
Determinantes y soluciones de la matriz 3x3.
Como podemos observar, resulta una concordancia entre los valores obtenidos de manera
manual y los generados por la ejecución del código de implementación.
Ahora, como último paso, procederemos a aplicar la anti – transformada Z. En este proceso, es
fundamental utilizar la fórmula que se presenta a continuación para obtener la representación en
el dominio de 𝑘:
− 1
𝑘
Aplicando dicha fórmula en la ecuación de fracciones, resultará el siguiente procedimiento:
− 1
− 1
𝑘
𝑘
𝑘
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septiembre del 2024, de:
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seales-discretas/
- Deshilando Mates. (2022b, octubre 28). Transformada Z: Definición, secuencias y dos
primeros ejemplos (sin complicaciones). [Vídeo]. YouTube. Recuperado el 18 de
septiembre del 2024, de: https://www.youtube.com/watch?v=xi2d5KNegeM
- Deshilando Mates. (2022, 25 octubre). Introducción a la TRANSFORMADA Z partiendo
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del 2024, de: https://www.youtube.com/watch?v=wWmAA4FMsqs
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https://www.youtube.com/watch?v=ncp-7dyNOn
- María Alicia Piñeiro. (2020, 5 mayo). Transformada Z (parte 1) [Vídeo]. YouTube.
Recuperado el 18 de septiembre del 2024, de:
https://www.youtube.com/watch?v=7n2pXK3B8Aw
- María Alicia Piñeiro. (2020a, mayo 5). Propiedades de la Transformada Z (parte 2) [Vídeo].
YouTube. Recuperado el 18 de septiembre del 2024, de:
https://www.youtube.com/watch?v=FTV5U9ddxZ