¡Descarga Ejercicios de Álgebra Lineal: Axiomas de Espacios Vectoriales y Conjuntos Generadores y más Ejercicios en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
Ejercicio 2: Axiomas y propiedades de espacios vectoriales.
Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado en el ejercicio 1. A. Dados los vectores 𝑢 = (−2,-3,-4), 𝑣 = (9,-3,1) y w= (3,-6,2) verifique si: i) u+v=v+u (− 2 ,− 3 ,− 4 )+( 9 ,−3,1)=( 9 ,−3,1)+(− 2 ,− 3 ,− 4 ) (− 2 + 9 ,− 3 − 3 ,− 4 + 1 )=( 9 − 2 ,− 3 −3,1− 4 ) ( 7 ,− 6 ,− 3 )=( 7 ,− 6 ,− 3 ) Se cumple el axioma. ii) 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0 u=(− 2 ,− 3 ,− 4 ) −u=−(− 2 ,− 3 ,− 4 )=(2,3,4) entonces : u+(−u )=(− 2 ,− 3 ,− 4 )+( 2,3,4)=(− 2 + 2 ,− 3 + 3 ,− 4 + 4 ) =( 0,0,0) (−u )+u=( 2,3,4)+(− 2 ,− 3 ,− 4 )=( 2 −2,3−3,4− 4 )=( 0,0,0) Finalmente u+(−u )=(−u) +u= 0 Se cumple el axioma iii)u+(^ v+^ w^ )=(^ u+v^ )+^ w
Se cumple el axioma
Ejercicio 3: Conjuntos generadores y Dependencia lineal.
Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado previamente. A. Determine si el conjunto 𝑆 es linealmente independiente. 𝑆 = {(1,1,1),(1,2,3) (1,-1,2)} Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3: 𝑆 = {(1,1,1),(1,2,3) (1,-1,2)}
- El conjunto S es linealmente dependiente si existen parámetros a, b y c diferentes de cero tales que: a (1,1,1)+b (1,2,3)+ c( 1 ,−1,2)= 0 (a , a , a)+(b , 2 b , 3 b)+(c ,−c , 2 c )= 0 De esta manera: a+ b+c= 0 Ecuación 1 a+ 2 b−c= 0 Ecuación 2 a+ 3 b+ 2 c= 0 Ecuación 3 Solucionamos por gauss
0 )^
F 2 =F 2 −F 1
F 3 =F 3 −F 1 (
0 )^
F 3 =F 3 − 2 F 2
De esto nos queda : 5 c= 0 entonces c= 0 b− 2 c= 0 entonces b= 0 a+b+c= 0 entonces a= 0 Como launica solución sonlos escalares a=b=c= 0 Entonces el conjunto dado es lineamente independiente
