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en este trabajo hablamos sobre el tema de Algoritmos especiales de programación lineal en el área de la ingeniería
Tipo: Apuntes
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3.1. EL PROBLEMA DE TRANSPORTE: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA, DETERMINACIÓN DE LA SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL, EL CRITERIO DE LA
- Algoritmos especiales de programación lineal: unidad: Algoritmos especiales de programación lineal: unidad: 3
El problema de transporte en general se especifica mediante la siguiente información:
Modelo de programación lineal del problema del transporte
Sea: xij = unidades enviadas del origen i (i=1,2,…m), al destino j (j= 1,2,…, n)
Cij = costo unitario desde el nodo origen i hasta el nodo destino j.
𝑎𝑖 = Oferta del origen i, (i= 1,2,…m); bi= demanda del destino j (j = 1,2,…, n)
𝑗−𝑛
𝑗−
𝑖−𝑚
𝑖− Suelta las restricciones siguientes de:
𝑂𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎: ∑ 𝑋𝑖𝑗 = 𝑎𝑖
𝑗−𝑛
𝑗−
𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎: ∑ 𝑋𝑖𝑗 = 𝑏𝑗
𝑖−𝑚
𝑖−
Algoritmos especiales de programación lineal: unidad: 3
El modelo de programación líneas aquí se presenta para un problema balanceado con las restricciones de oferta y demanda en igualdad. Para el caso de un problema no balanceado (oferta y demanda en desigualdad) es necesario el
Equilibrio: ∑ 𝑎𝑖 = ∑ 𝑏𝑗; además, debe cumplirse que total Xij >=
Tabla del problema del transporte
La utilización del método SIMPLEX no resulta eficiente para resolver el Problema de Transporte, por lo cual se utilizan otros métodos como:
a) Método de la Esquina Nor-Oeste (N-O) b) Método de la Matriz de Costo Mínimo c) Método de Vógel
Método de la esquina noroeste
Características
Sencillo y fácil de hacer No tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones Generalmente nos deja lejos del óptimo
Algoritmos especiales de programación lineal: unidad: 3
Método de Vogel
Características
Es más elaborado que los anteriores, más técnico y dispendioso. Tiene en cuenta los costos, las ofertas y las demandas para hacer las asignaciones. Generalmente nos deja cerca al óptimo.
Algoritmos
Nota: Recuerde que no debe satisfacer filas y columnas al mismo tiempo; caso en que la disponibilidad sea igual al requerimiento; en tal caso use el ε (épsilon).
Algoritmos especiales de programación lineal: unidad: 3
Hemos conseguido tres (3) soluciones básicas factibles no degeneradas por medio de tres métodos: El de la esquina noroeste, el del costo mínimo y el de Vogel. Pero ninguna de ellas nos garantiza que la solución encontrada es la óptima. Para saberlo, debemos estar seguros que ninguna de las variables no básicas pueda entrar a la base haciendo que la función objetivo disminuya. Para discernir un método que nos evalúe el efecto de introducir una unidad de cada variable no básica, recurrimos al método MODI
Método MODI o UV
Consideremos la solución inicial hallada por el método de la Esquina N.O.
Paso 2: Se dibuja la matriz 𝑧𝑖𝑗 que contiene los costos de la variable solución.
Paso 3: Se construye un conjunto de números 𝑣𝑗 y 𝑢𝑖 tal que la suma iguale a los valores de la matriz 𝑧𝑖𝑗 del paso 2 y se completa las celdas vacías con la suma de los
𝑢𝑖 y 𝑣𝑗 la matriz 𝑧𝑖𝑗 que contiene los costos de la variable solución.
Algoritmos especiales de programación lineal: unidad: 3
Se selecciona la casilla (3,2) que tiene el costo de entrada más pequeño, por consiguiente debe entrar a la base la variable 𝑋 32
El costo de la nueva solución es: Z2 = 4465+ (20) (-14) = 4185 A continuación
Probamos si esta solución es o no la óptima
Se calcula 𝐶𝑖𝑗 − 𝑍𝑖𝑗
Esta es la solución óptima
Dado que los métodos estudiados no garantizan una solución óptima, es necesario verificar que no exista una ruta no utilizada que lo sea. De ser este el caso, se determina esta nueva solución. Se estudiarán 2 métodos para el mejoramiento de una solución básica factible inicial:
a) Método de la Distribución Modificada b) Método del Paso Secuencial
Algoritmos especiales de programación lineal: unidad: 3
Introducción:
Muchas de las situaciones en la vida exigen una de dos respuestas posibles: si o no. Así Muchas de las situaciones en la vida exigen una de dos respuestas posibles: si o no. Así es que podemos representar éstas posibilidades con los valores 0 (no) y 1 (si), y aprovechar las matemáticas para que nos den una mano ante decisiones difíciles; a esto es lo que solemos llamar -por obvias razones Programación Binaria.
Una de las muchísimas aplicaciones de la Programación Binaria, es el problema de la Asignación. Este método analiza el problema de asignar un cierto número de recursos a un determinado número de tareas, con base en algún tipo de valoración para cada recurso. Cada recurso, podrá ser asignado a una sola tarea.
El PA consiste en asignar recursos a tareas en función de un objetivo ligado a la eficiencia del sistema. Un ejemplo típico es el de asignación de personas a turnos horarios, o el de asignar personas a máquinas.
El esquema tabular del PA es:
Minimizar el costo total de operación de modo que:
Cada tarea se asigne a una y sólo una máquina Cada máquina realice una y sólo una tarea
Algoritmos especiales de programación lineal: unidad: 3
f) La solución óptima no varía si a la matriz original se le incrementa un valor k a una fila o columna. Pero el valor Z se incrementa en k.
Procesos del método húngaro
1) Reducción por filas
Determinar el mínimo valor de cada fila y restarlo a todas las celdas de su correspondiente fila. Esto garantiza un cero en cada fila.
2) Reducción por columnas
Determinar el mínimo valor de cada columna y restarlo a todas las celdas de su correspondiente columna. Esto garantiza un cero en cada columna.
3) Cubrimiento de ceros
Con el mínimo número de rectas cubrir los ceros de la matriz reducida. Empezar por la fila o columna que tenga el mayor número de ceros. Si el número de rectas resulta igual a n (número de tareas o equipos) se ha llegado a la solución óptima Pasar al paso 5 de lo contrario pasar al óptima. 5, paso 4.
4) Reducción posterior
Localizar la celda no cubierta de menor costo. Restar el valor determinado a las celdas no cubiertas. Sumar el valor determinado a las celdas que se encuentren en la intersección de las rectas. Regresar al paso 3.
5) Localización de la solución
Determinar las filas que tengan un único valor cero y asignarlos, eliminar las columnas correspondientes. Determinar las columnas que tengan un único valor cero y asignarlos, eliminar las filas correspondientes.
Repetir este procedimiento tantas veces sea necesario.
En caso de celdas con empates seleccionar arbitrariamente.
La asignación localizada de valor cero, implantarla en la matriz de costos original y determinar el valor de Z.
Algoritmos especiales de programación lineal: unidad: 3
El WinQsb maneja el problema del transporte en su módulo de Modelos de Redes, el cual en su inicio nos muestra la siguiente ventana, que se debe diligenciar así:
Fíjese que éste módulo también resuelve otros modelos de redes, que se especifican en la parte izquierda de la ventana.
Los datos se pueden ingresar de dos formas: En una matriz o tablero de doble entrada o de forma gráfica.
A continuación se ilustra el ingreso de datos en la tabla de doble entrada. El modo de edición del menú principal permite cambiar los rótulos de las fuentes y los destinos. No es necesario que la oferta sea igual a la demanda, el software se encarga de agregar fuentes o destinos de holgura, según sea la necesidad.
Para solucionar el problema, se da clic sobre el icono que aparece en la parte superior y que se señala en la figura siguiente:
El WinQsb le ofrecerá entonces una ventana con la respuesta óptima del problema, indicando cuántas unidades enviar desde cada una de las ciudades de origen a cada una de las ciudades de destino, con su costo por envío y el costo total de la operación.
Algoritmos especiales de programación lineal: unidad: 3
Al escoger la opción de transporte, el INVOP nos ofrece una ventana en donde captura los datos del problema y en un recuadro situado en la parte inferior derecha, donde nos ofrece la solución óptima. Colocando el cursor sobre algunos sitios de interés de ésta ventana, se ofrece un rótulo en fondo amarillo con la respectiva instrucción de ayuda.
En la parte inferior izquierda de la ventana se especifica el criterio de optimización y la cantidad de fuentes y destinos, en la parte superior derecha se introducen los
Costos por unidad a transportar y habilitando el cuadro de control, se editan los encabezados de fila y columna, al igual que las ofertas y las demandas de fuentes y destinos.
Cuando la información del problema está introducida, se procede a solucionar el problema, haciendo clic sobre el icono del menú superior, que tiene la figura de una calculadora,
Algoritmos especiales de programación lineal: unidad: 3
Se recomienda al Usuario del Software leer la ayuda (Help), en la que se explica toda la parte conceptual y matemática del algoritmo del transporte al igual que se ilustran varios ejemplos de muy buena calidad.
Algoritmos especiales de programación lineal: unidad: 3
Por optimización debemos entender el proceso de llegar a la solución óptima. Hoy en día este es un concepto que va más allá de simplemente referirse a la solución más económica. Para lograr la solución óptima, debe tenerse definida previamente una variable básica en función de una prioridad (está bien puede ser la económica, aunque no necesariamente). El valor máximo o mínimo de la variable manipulada es el que produce la solución óptima.
El concepto de solución óptima es importante en ingeniería. Todo problema de Ingeniería Civil, tiene una solución óptima. Considérese el ejemplo del diseño de una viga sometida a flexión. En el proceso de diseño intervienen muchas consideraciones como el espacio disponible definido por el arquitecto, que influye en la definición geométrica de la viga, en la selección del tamaño de las varillas de refuerzo longitudinal y su disposición, el costo de la misma, el tiempo y método de construcción, la resistencia a la flexión, etc. (Villavicencio-Fdez, 2011).
Cada una de las variables anteriores, producirá un conjunto de soluciones posibles que es susceptible a un análisis de optimización, es lo que se denomina análisis de alternativas. Si lo que buscamos es una solución óptima desde el punto económico, habría que restringir las otras variables y calcular el costo de los materiales, equipo y mano de obra, para obtener la viga más barata. Si por el contrario la variable requerida a optimización es la resistencia, deberá escogerse dentro del análisis de alternativas aquella que proporcione el valor máximo.
Algoritmos especiales de programación lineal: unidad: 3
La principal ventaja que han aportado los ordenadores a la Ingeniería Moderna radica, a mi parecer, en proporcionar la POSIBILIDAD de realizar análisis de alternativas que nos permitan seleccionar la solución óptima, en un tiempo menor. Quiérase o no, antes de la era informática, resultaba más complicado (desde el punto de vista del tiempo) realizar un análisis exhaustivo de alternativas. Se desarrollaba una solución única se comparaban con otra alternativa (si había tiempo y recursos) y paren de contar la historia. Hoy, con la Programación Lineal y no lineal, el análisis espacial y otras tecnologías, es posible obtener incluso optimización en función de más de una variable, lo que sin duda nos obliga a contrastar los antiguas soluciones de diseño y profundizar más allá de lo elemental o lo evidente, incluso hasta el planteo del modelo mismo (Villavicencio-Fdez, 2011).
El trabajo multidisciplinar es una tendencia que se impone en los grandes diseños de hoy. Los tiempos del super-experto han dado paso a los tiempos del dream-team, en pos de la optimización.
Uno de los problemas a los que nos enfrentamos es precisamente el creer que nuestra solución es la mejor, cuando en la mayor parte de los casos, ni siquiera nos hemos tomado el trabajo de considerar otras alternativas. Como profesionales estamos obligados a ser críticos con nuestro propio trabajo y a no creer que lo sabemos todo. No se vale dormirnos en nuestros laureles. Las soluciones óptimas se consiguen mediante el planteamiento técnico reflexivo, la apertura mental y la humildad para aceptar críticas y sugerencias a nuestro trabajo.
La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales (Piqueras, 2016).