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Circuitos en serie
y en paralelo
10.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se utiliza álgebra fasorial para desarrollar un método directo y rápido para resol- ver circuitos de ca en serie y en paralelo. La estrecha relación entre este método para resolver in- cógnitas y el método utilizado para circuitos de cd se hará aparente después de considerar algunos ejemplos. Una vez establecida esta asociación, muchas de las reglas (regla divisora de corriente, regla divisora de voltaje, etcétera) para circuitos de cd pueden aplicarse con cierta facilidad a cir- cuitos de ca.
CIRCUITOS DE ca EN SERIE
10.2 IMPEDANCIA Y DIAGRAMA FASORIAL
Elementos resistivos
En el capítulo 9, encontramos, para el circuito puramente resistivo de la figura 10.1, que v e i esta- ban en fase, y que su magnitud era
I (^) m o Vm ImR
Vm R
Circuitos en serie
y en paralelo
- Conocer las características de redes de ca en serie y en paralelo, y ser capaz de determinar la corriente, el **voltaje y los niveles de potencia de cada elemento.
- Ser capaz de determinar la impedancia total de** cualquier red de ca en serie o en paralelo, y trazar el **diagrama de impedancia y admitancia de cada una.
- Desarrollar confianza al aplicar las leyes del voltaje y** la corriente de Kirchhoff a cualquier configuración en **serie o en paralelo.
- Ser capaz de aplicar la regla divisora de voltaje, o la** **regla divisora de corriente a cualquier red de ca.
- Volverse adepto a determinar la respuesta de frecuencia** de una combinación de elementos en serie o en paralelo.
Objetivos
R v = Vm sen v t
i = Im sen v t
FIG. 10. Circuito de ca resistivo.
a c
FFIG. 10.1IG. 10. CCircuito de ca resistivo.ircuito de ca resistivo.
426 ⏐⏐⏐ CIRCUITOS EN SERIE Y EN PARALELO
a c
En forma fasorial,
donde V 0.707 Vm. Aplicando la ley de Ohm y utilizando álgebra fasorial, tenemos
Como i y y están en fase, el ángulo asociado con i también debe ser de 0°. Para satisfacer esta condición, u R debe ser igual a 0°. Sustituyendo u R 0°, determinamos
de modo que en el dominio del tiempo,
Utilizamos el hecho de que u R 0° en el siguiente formato polar para asegurar la relación de fase apropiada entre el voltaje y corriente de un resistor:
(10.1)
La cantidad Z R escrita en letra negrita, que tiene tanto magnitud como un ángulo asociado, se conoce como la impedancia de un elemento resis- tivo. Se mide en ohms y es una medida de en qué grado el elemento “im- pedirá” el flujo de carga a través de la red. El formato anterior demostrará ser una “herramienta” útil cuando las redes se vuelvan más complejas y las relaciones de fase lleguen a ser menos obvias. Sin embargo, es importante darse cuenta que Z R no es un fasor , aun cuando el formato R 0° es muy parecido a la notación fasorial para corrientes y voltajes senoidales. El tér- mino fasor está reservado para cantidades que varían con el tiempo, y R y su ángulo asociado de 0° son cantidades fijas, no variables.
EJEMPLO 10.1 Utilizando álgebra compleja, determine la corriente i para el circuito de la figura 10.2. Trace las formas de onda de y e i.
Solución: Observe la figura 10.3:
y
EJEMPLO 10.2 Utilizando álgebra compleja, determine el voltaje y para el circuito de la figura 10.4. Trace las formas de onda de y e i.
Solución: Observe la figura 10.5:
y y 121 5.656 2 sen 1 v t 30° 2 8.0 sen 1 V t 30 ° 2
5.656 V 30°
V IZ R 1 I u2 1R 0° 2 1 2.828 A 30°2 1 2 0° 2
i 4 sen 1 v t 30° 2 1 forma fasorial I 2.828 A 30°
i 121 14.14 2 sen v t 20 sen V t
I
V
Z R
V u R 0°
70.71 V 0°
14.14 A 0°
y 100 sen v t 1 forma fasorial V 70.71 V 0°
Z R R 0°
i 12 a
V
R
b sen v t
I
V 0°
R 0°
V
R
l0° 0°
V
R
I
V 0°
R uR
V
R
l0° uR
y Vm sen v t 1 V V 0°
5 v = 100 sen v t
i
FIG. 10. Ejemplo 10.1.
100 V
0
20 A
2
2
(^3) 2 t
v
i
FIG. 10. Formas de onda del ejemplo 10.1.
v
2
i = 4 sen(q t + 30)
FIG. 10. Ejemplo 10.2.
8 V
0
4 A
(^) t
v i
30
2
2
(^3)
2
FIG. 10. Formas de onda del ejemplo 10.2.
yy
FIG. 10.5G. 10.5^ y^ ^112 11 5.656^5 2 senen^1 vv tt^ ^ 30°^22 ^^8 .0 sen^^1 V t^ ^^30 °^2 Formas de onda del ejemplo 10.2.Formas de onda del ejemplo 10.2.
428 ⏐⏐⏐ CIRCUITOS EN SERIE Y EN PARALELO
a c
EJEMPLO 10.3 Utilizando álgebra fasorial, determine la corriente i para el circuito de la figura 10.8. Trace las curvas y e i.
Solución: Observe la figura 10.9:
y
EJEMPLO 10.4 Utilizando álgebra fasorial, determine el voltaje y para el circuito de la figura 10.10. Trace las curvas y e i.
Solución: Observe la figura 10.11:
y
Los diagramas fasoriales para los dos circuitos de los dos ejemplos pre- cedentes se muestran en la figura 10.12. Ambos indican con bastante clari- dad que el voltaje va 90° adelante de la corriente.
y 121 14.140 2 sen 1 v t 120° 2 20 sen 1 V t 120 ° 2
14.140 V 120°
V IZ L 1 I u2 1XL 90° 2 1 3.535 A 30°2 1 4 90° 2
i 5 sen 1 v t 30° 2 1 forma fasorial I 3.535 A 30°
i 121 5.656 2 sen 1 v t 90° 2 8.0 sen 1 V t 90 ° 2
I
V
Z L
V u XL 90°
16.968 V 0°
5.656 A 90°
y 24 sen v t 1 forma fasorial V 16.968 V 0°
v = 24 sen v t
i
X (^) L = 3
FIG. 10. Ejemplo 10.3.
90
24 V v
8 A i
0 2
2
(^3) 2
2 (^5) t
FIG. 10. Formas de onda del ejemplo 10.3.
v
i = 5 sen(q t + 30 )
X (^) L = 4
FIG. 10. Ejemplo 10.4.
20 V
i
90 30
v
5 A
0 2
(^3) 2
2 t
FIG. 10. Formas de onda del ejemplo 10.4.
j
I
5.656 A V
16.968 A
Adelanto
j
I
V
14.140 V 3.535 A 30
Adelanto
FIG. 10. Diagramas fasoriales de los ejemplos 10.3 y 10.4.
Reactancia capacitiva
En el capítulo 8 aprendimos que para el capacitor puro de la figura 10.13, la corriente va 90° adelante del voltaje y que la reactancia de un capacitor XC está determinada por 1v C. Tenemos
y Vm sen v t 1 forma fasorial V V 0°
v = Vm sen v t
i
X (^) C = 1/q C
FIG. 10. Circuitos de ca capacitivos.
FFIG. 10.13IG. 10. Circuitos de ca capacitivos.rcuitos de ca capacitiv
IMPEDANCIA Y DIAGRAMA FASORIAL ⏐⏐⏐ 429
a c
Aplicando la ley de Ohm y utilizando álgebra fasorial tenemos
Como i va 90° adelante de y, i debe tener un ángulo de 90° asociado con ella. Para satisfacer esta condición u C debe ser igual a 90°. Sustituyendo u C 90° obtenemos
así que, en el dominio de tiempo,
Utilizamos el hecho de que u C 90° en el siguiente formato polar para reactancia capacitiva para asegurar la relación de fase apropiada entre el voltaje y la corriente de un capacitor:
La cantidad Z C escrita en letra negrita, que tiene tanto magnitud como un ángulo asociado se conoce como la impedancia de un elemento capacitivo. Se mide en ohms y es una medida de qué tanto el elemento capacitivo “controla o impide” el nivel de corriente que fluye a través de la red (tenga siempre en cuenta que los elementos capacitivos son dispositivos de almacenaje y no disi- pan energía como los resistores). El formato anterior, al igual que el definido para el elemento resistivo, demostrará ser una herramienta muy útil en el aná- lisis de redes de ca. De nuevo, tenga en cuenta de que Z C no es una cantidad fasorial, por las mismas razones indicadas para un elemento resistivo.
EJEMPLO 10.5 Utilizando álgebra compleja, determine la corriente i para el circuito de la figura 10.14. Trace las curvas y e i.
Solución: Observe la figura 10.15:
y i 121 5.303 2 sen 1 v t 90° 2 7.5 sen 1 V t 90 ° 2
I
V
Z C
V u XC 90°
10.605 V 0°
5.303 A 90°
y 15 sen v t 1 notación fasorial V 10.605 V 0°
Z C XC 90°
i 12 a
V
XC
b sen 1 v t 90° 2
I
V 0°
XC 90°
V
XC
l0° 1 90° 2
V
XC
I
V 0°
XC uC
V
XC
l0° uC
v = 15 sen v t
X (^) C = 2
i
FIG. 10. Ejemplo 10.5.
15 V
0
7.5 A
2
(^) (^3) 2
v
i
90
2
t
FIG. 10. Formas de onda del ejemplo 10.5.
FFIGIG. 10.
Formas de onda del ejemplo 10.5.as de onda del ejemplo 10.5.
CONFIGURACIÓN EN SERIE ⏐⏐⏐ 431
a c
El resultado es un diagrama de impedancia que refleja los niveles de im- pedancia individuales y totales de una red de ca. En lo que resta de este texto veremos que las redes que combinan dife- rentes tipos de elementos tendrán impedancias totales que se extienden desde 90° hasta 90°. Si el ángulo de la impedancia total es de 0°, se dice que resistiva. Si está más cerca de 90°, es inductiva por naturaleza. Si está más acerca de 90°, es por naturaleza capacitiva. Desde luego, en el caso de redes de un solo elemento, el ángulo asociado con la impedancia será el mismo que el del elemento resistivo o reactivo, como lo revelaron las ecuaciones (10.1) a (10.3). Es importante recordar que la impedancia, al igual que la resistencia o reactancia, no es una cantidad que represente una función variable con el tiempo con un desplazamiento de fase particular. Es sólo una herramienta operativa extremadamente útil para determinar la magnitud y ángulo de cantidades en una red de ca senoidal. Una vez que se determina la impedancia total de una red, su magnitud definirá el nivel de corriente resultante (mediante la ley de Ohm), en tanto que su ángulo revelará si la red es en principio inductiva o capacitiva, o sim- plemente resistiva.
Para cualquier configuración (en serie, en paralelo, en serie-paralelo, etcétera), el ángulo asociado con la impedancia total es el ángulo por el cual el voltaje aplicado se adelanta a la corriente de la fuente. Para redes inductivas, U T será positivo, en tanto que para redes capacitivas, U T será negativa.
10.3 CONFIGURACIÓN EN SERIE
Las propiedades generales de los circuitos de ca en serie (figura 10.20) son las mismas que las de circuitos de cd. Por ejemplo, la impedancia total de un sistema es la suma de las impedancias individuales:
Z T Z 1 Z 2 Z 3 p^ Z N (10.4)
I
Z T
I I I Z 1 Z 2 Z 3 Z N
I
FIG. 10. Impedancias en serie.
R = 4 XL = 8
Z T
FIG. 10. Ejemplo 10.7.
X (^) L = 8
j
ZT
R = 4 ^ +
v T
FIG. 10. Diagrama de impedancia del ejemplo 10.7.
EJEMPLO 10.7 Trace el diagrama de impedancia del circuito de la figura 10.21, y determine la impedancia total.
Solución: Como la figura 10.22 lo indica, la impedancia de entrada puede determinarse gráficamente con el diagrama de impedancia trazando los ejes real e imaginario a una escala apropiada y determinando la longitud del vec- tor Z (^) T resultante y el ángulo u T. O, utilizando álgebra vectorial, obtenemos
Z T 8.94 63.43 °
R jXL 4 j 8
R 0° XL 90°
Z T Z 1 Z 2
FIG. 10.22FIG. 10 Z T 8.948.94 6 63.433.43 ° DDiagrama de impedancia del ejemplo 10.7.iagrama de impedancia del ejemplo 10.7.
RR jXjXXLL 4 j 8
L
432 ⏐⏐⏐ CIRCUITOS EN SERIE Y EN PARALELO
a c
EJEMPLO 10.8 Determine la impedancia de entrada a la red en serie de la figura 10.23. Trace el diagrama de impedancia.
Solución:
El diagrama de impedancia aparece en la figura 10.24. Observe que en este ejemplo las reactancias inductiva y capacitiva en serie están en oposi- ción directa. Para el circuito de la figura 10.23, si la reactancia fuera igual a la reactancia capacitiva, la impedancia de entrada sería puramente resistiva. En un capítulo más adelante tendremos más que decir sobre esta condición particular.
Para la configuración de ca en serie representativa de la figura 10. que tiene dos impedancias, la corriente es la misma a través de cada ele- mento (como lo fue para los circuitos de cd en serie) y se determina me- diante la ley de Ohm:
e (10.5)
El voltaje que pasa a través de cada elemento puede determinarse entonces con otra aplicación de la ley de Ohm:
(10.6a)
(10.6b)
La ley del voltaje de Kirchhoff se aplica entonces del mismo modo que para circuitos de cd. Sin embargo, tenga en cuenta que ahora se trata de ma- nipular algebraicamente cantidades que tienen tanto magnitud como direc- ción. Tenemos
o (10.7)
La potencia suministrada al circuito se determina como sigue
donde u T es el ángulo de fase entre E e I. Ahora que se ya se presentó un método general, se investigará en detalle la más simple de las configuraciones en serie para recalcar aún más las simi- litudes en el análisis de circuitos de cd. En muchos de los circuitos a ser con- siderados, 3 j 4 5 53.13º y 4 j 3 5 36.87° se utilizan con bastante frecuencia para asegurarnos de que el método sea lo más claro posible y sin que pierda su complejidad matemática. Desde luego, los problemas al final del capítulo permitirán adquirir mucha experiencia con valores aleatorios.
P EI cos uT
E V 1 V 2
E V 1 V 2 0
V 2 IZ 2
V 1 IZ 1
I
E
Z T
Z T Z 1 Z 2
Z T 6.32 18.43 °
R j 1 XL XC 2 6 j 110 12 2 6 j 2
R jXL jXC
R 0° XL 90° XC 90°
Z T Z T Z 1 Z 2 Z 3
Z 1
R = 6
Z 2
X (^) L = 10
Z 3
X (^) C = 12
FIG. 10. Ejemplo 10.
+
j
θ T X (^) C – X (^) L = 2
X (^) C = 12
R = 6
X (^) L = 10
Z (^) T
FIG. 10. Diagrama de impedancia del ejemplo 10.8.
I
E
Z T
Z 1
+^ V^1 –
Z 2
V 2
FIG. 10. Circuito de ca en serie.
frecuencia para asegurarnos de que el método sea lo más claro posible y sinsegurarnos de q que pierda su complejidad matemática. Desde luego, los problemas al final delque pierda su complejidad matemática. Desde luego, los problemas al final del capítulo permitirán adquirir mucha experiencia con valores aleatorios.capítulo permitirán adquirir mucha experiencia con valores aleatorios.
434 ⏐⏐⏐ CIRCUITOS EN SERIE Y EN PARALELO
a c
donde I es el valor eficaz, o, finalmente,
donde u R es el ángulo de fase entre V R e I , y u L es el ángulo de fase entre V L e I. Factor de potencia: El factor de potencia F (^) p del circuito es cos 53.13° 0.6 de retraso , donde 53.13° es el ángulo de fase entre E e I. Si escribimos la ecuación de potencia básica P EI cos u como
donde E e I son la cantidades de entrada y P es la potencia suministrada a la red, y luego realizamos las siguientes sustituciones del circuito de ca en serie básico como
encontramos (10.9)
La figura 10.28 también indica que u es el ángulo de impedancia u T que aparece en la ecuación (10.9), y además apoya el hecho de que el ángulo de impedancia u T también es el ángulo de fase entre el voltaje y la corriente de entrada de un circuito de ca en serie. Para determinar el factor de poten- cia, sólo es necesario formar la relación de la resistencia total a la magnitud de la impedancia de entrada. En el caso que nos ocupa,
como se determinó previamente.
R-C
Remítase a la figura 10.30.
Notación fasorial
Observe la figura 10.31.
ZT
y
Diagrama de impedancia: Como se muestra en la figura 10.32.
E
E IZ T 1 5 A 53.13°2 1 10 53.13° 2 50 V 0 °
Z T 10 53.13 °
Z T Z 1 Z 2 6 0° 8 90° 6 j 8
i 7.07 sen 1 v t 53.13° 2 1 I 5 A 53.13°
Fp cos u
R
ZT
0.6 de retraso
Fp cos uT
R
ZT
cos u
P
EI
I^2 R
EI
IR
E
R
E>I
R
ZT
cos u
P
EI
1200 W
1200 W 0
1 60 V2 120 A 2 cos 0° 1 80 V2 120 A 2 cos 90°
PT PR PL VRI cos uR VLI cos uL
R = 6 X^ C^ = 8^
i = 7.07 sen(q t + 53.13)
FIG. 10. Circuito R-C de ca en serie.
R = 6
+^ V R –
X (^) C = 8
I = 5 53.13 +^^ V C – +
- Z T
I E
FIG. 10. Aplicación de notación fasorial al circuito de la figura 10.30.
+
j
θ T = 53.13
R = 6
ZT = 10 X (^) C = 8 (^)
FIG. 10. Diagrama de impedancia del circuito R-C en serie de la figura 10.30.
E
EE IZZ TT 15 A 53.13°53.13 2 1 11010 53.13°53.13° 2 50 50 V 00 °°
FIG. 10. Diagrama de impedancia del circuito R-CDiagrama de impedancia del circu en serie de la figura 10.30.en serie de la figura 10.30.
Potencia: La potencia total en watts suministrada al circuito es
o
o, finalmente,
150 W
150 W 0
1 30 V2 15 A 2 cos 0° 1 40 V2 15 A 2 cos 90°
PT PR PC VRI cos uR VCI cos uC
150 W
P T I^2 R 1 5A 2216 2 125 2 1 62
1250 2 10.6 2 150 W
PT EI cos uT 1 50 V2 15 A 2 cos 53.13°
CONFIGURACIÓN EN SERIE ⏐⏐⏐ 435
a c
VR y VC
Ley del voltaje de Kirchhoff:
o
lo que puede comprobarse con álgebra vectorial como se demostró para el circuito R-L. Diagrama fasorial: Observe en el diagrama fasorial de la figura 10. que la corriente I está en fase con el voltaje que pasa a través del resistor y que va 90° adelante del voltaje a través del capacitor. Dominio de tiempo: En el dominio de tiempo,
En la figura 10.34 aparece una gráfica de todos los voltajes y la corriente del circuito. Observe de nuevo que i y y R están en fase y que y C va 90° de- trás de i.
y C 121402 sen 1 v t 36.87° 2 56.56 sen 1 V t 36.87 ° 2
y R 121302 sen 1 v t 53.13° 2 42.42 sen 1 V t 53.13 ° 2
e 121502 sen v t 70.70 sen V t
E V R V C
A V E V R V C 0
40 V 36.87 °
V C IZ C 1 I u2 1XC 90° 2 1 5 A 53.13°2 1 8 90° 2
30 V 53.13 °
V R IZ R 1 I u2 1R 0° 2 1 5 A 53.13°2 1 6 0° 2
+
30 V
V R
E
V C
53.13 36.87
I 50 V
j
40 V
FIG. 10. Diagrama fasorial del circuito R-C en serie de la figura 10.30.
70.70 V
56.56 V
42.42 V vR
e
vC
36.87
90
i
(^0) t
23 2
2
FIG. 10. Formas de onda del circuito R-C en serie de la figura 10.30.
150 50 WW
150 W 50 0
1 30 V0 V2 12 15 A5 A 2 cos 0 1 40 V2 15 A 22 cos 90c
Potencia: La potencia total en watts suministrada al circuito es
o PT I^2 R 1 10 A 2213 2 1100 2 1 32 300 W
PT EI cos uT 1 50 V2 110 A 2 cos 53.13° 1500 2 10.6 2 300 W
CONFIGURACIÓN EN SERIE ⏐⏐⏐ 437
a c
VR, VL y VC
Ley del voltaje de Kirchhoff:
o
lo que también puede comprobarse con álgebra vectorial. Diagrama fasorial: El diagrama fasorial de la figura 10.38 indica que la corriente I está en fase con el voltaje a través del resistor, que se retrasa 90° con respecto voltaje que fluye a través del inductor y que se adelanta 90° al voltaje que pasa por el capacitor. Dominio de tiempo:
En la figura 10.39 aparece una gráfica de todos los voltajes y la corriente del circuito.
y C 12 1302 sen 1 v t 143.13° 2 42.42 sen 1 V t 143.13 2
y L 12 1702 sen 1 v t 36.87° 2 98.98 sen 1 V t 36.87 2
y R 12 1302 sen 1 v t 53.13° 2 42.42 sen 1 V t 53.13 2
i 12 1 102 sen 1 v t 53.13° 2 14.14 sen 1 V t 53.13 2
E V R V L V C
A V E V R V L V C 0
30 V 143.13 °
V C IZ C 1 Iu2 1XC 90° 2 1 10 A 53.13°2 1 3 90° 2
70 V 36.87 °
V L IZ L 1 I u2 1XL 90° 2 1 10 A 53.13°2 1 7 90° 2
30 V 53.13 °
V R IZ R 1 I u2 1R 0° 2 1 10 A 53.13°2 1 3 0° 2
V^ L^
-^ V
(^) C
V C
V L
E
36.87
53.13 I
j
V R
FIG. 10. Diagrama fasorial del circuito R-L-C en serie de la figura 10.35.
98.98 V
70.70 V
42.42 V
vL
vC
53.13
90
0
36.87
e vR
i
^3 ^ ^ t 2 ^2 ^5 2
3 2
FIG. 10. Forma de onda del circuito R-L-C de la figura 10.35.
oo PPTT II III R^22 R 1 10 A10 A 2222113 22 11100100 2 12 1 3322 3 300 W 00 W
PT EII cosuT 1 50 VV2 12 110 A10 A 22 cos 53.13° 1500 2 10.6 622 3 00 WW
438 ⏐⏐⏐ CIRCUITOS EN SERIE Y EN PARALELO
a c
1 30 V2 110 A 2 0 0 300 W
1 30 V2 110 A 2 cos 0° 1 70 V2 110 A 2 cos 90° 1 30 V2 110 A 2 cos 90°
VR I cos uR VLI cos uL VCI cos uC
PT PR PL PC
Factor de potencia: El factor de potencia del circuito es
Con la ecuación (10.9), obtenemos
10.4 REGLA DIVISORA DE VOLTAJE
El formato básico de la regla divisora de voltaje en circuitos de ca es exac- tamente el mismo que en circuitos de cd:
donde V x es el voltaje a través de uno o más elementos en una serie cuya im- pedancia total es Z x , E es el voltaje total que aparece a través del circuito en serie y Z T es su impedancia total.
EJEMPLO 10.9 Con la regla divisora de voltaje, determine el voltaje a tra- vés de cada elemento del circuito de la figura 10.40.
Solución:
EJEMPLO 10.10 Con la regla divisora de voltaje, determine los voltajes desconocidos V R , V L , V C y V 1 del circuito de la figura 10.41.
60 V 53.13 °
V R
Z R E
Z C Z R
13 0°2 1100 V 0° 2
80 V 36.87 °
V C
Z C E
Z C Z R
14 90°2 1100 V 0° 2
3 j 4
V x
Z x E Z T
Fp cos u
R
ZT
0.6 de retraso
Fp cos u T cos 53.13° 0.6 de retraso
R = 3 XC = 4^
- V R – + V C – E = 100 V 0
FIG. 10. Ejemplo 10.9.
R = 6 X^ C^ = 17^
- V R – + V C – E = 50 V 30
V 1
X (^) L = 9
+^ V L –
FIG. 10. Ejemplo 10.10.
o
FFIG. 10.41IG. 10. EjEjemplo 10.emplo 10.10.
b. El factor de potencia total, determinado por el ángulo entre el voltaje aplicado E y la corriente resultante I , es 48.16°:
o bien Fp cos u
R
ZT
0.667 de retraso
Fp cos u cos 48.16° 0.667 de retraso
35.28 V 138.16 °
V C IZ C 1 I u2 1XC 90° 2 1 1.33 A 48.16°2 126.53 90° 2
50.14 V 41.84 °
V L IZ L 1 I u2 1XL 90° 2 1 1.33 A 48.16°2 137.70 90° 2
13.30 V 48.16 °
V R IZ R 1 I u2 1R 0° 2 1 1.33 A 48.16°2 1 10 0° 2
Para el circuito de la figura 10.44,
La corriente I es
El voltaje que pasa a través de resistor, inductor y capacitor se deter- mina con la ley de Ohm:
I
E
Z T
20 V 0°
1.33 A 48.16 °
10 j 11.17 15 48.16 °
10 j 37.70 j 26.53
Z T R 0° XL 90° XC 90°
440 ⏐⏐⏐ CIRCUITOS EN SERIE Y EN PARALELO
a c
d. Trace el diagrama fasorial. e. Obtenga la suma fasorial de V R , V L y V C y demuestre que es igual al voltaje E de entrada. f. Determine V R y V C con la regla divisora de voltaje.
Soluciones:
a. Combinando los elementos comunes y determinando la reactancia del inductor y del capacitor, obtenemos
Volviendo a dibujar el circuito con notación fasorial se obtiene la figura 10.44.
XC
v C
1 377 rad>s2 1 100 10 ^6 F 2
X L vL 1 377 rad>s2 10.1 H 2 37.70
CT
200 mF 2
100 mF
LT 0.05 H 0.05 H 0.1 H
R T 6 4 10
R = 10 X^ C^ = 26.53^
I
X (^) L = 37.70
FIG. 10. Aplicación de notación fasorial al circuito de la figura 10.43.
oo bien bien FFFFpp cos u
RR
ZZTT
0.6670.667 dede retraso retraso
RESPUESTA DE FRECUENCIA DE CIRCUITOS DE ca EN SERIE ⏐⏐⏐ 441
a c
c. La potencia total en watts suministrada al circuito es
d. El diagrama fasorial aparece en la figura 10.45. e. La suma fasorial de V R , V L y V C es
Por consiguiente,
y u E 0 ° (a partir del diagrama fasorial)
y E 20 0°
f.
10.5 RESPUESTA DE FRECUENCIA DE CIRCUITOS
DE ca EN SERIE
Hasta ahora, el análisis se ha realizado con la frecuencia fija, y se ha ob- tenido un valor fijo para la reactancia de un inductor o capacitor. A conti- nuación examinamos cómo cambia la respuesta de un circuito en serie a medida que cambia la frecuencia. Suponemos elementos ideales a lo largo de la explicación, de modo que la respuesta de cada elemento será como se muestra en la figura 10.46. Cada respuesta que aparece la figura 10. se analizó en detalle en el capítulo 9.
35.37 V 138.16 °
V C
Z C E
Z T
1 26.5 90°2 120 V 0° 2
530.6 V 90°
13.3 V 48.16 °
V R
Z R E
Z T
110 0°2 120 V 0° 2
200 V 0°
E 21 13.30 V 22 1 14.86 V 22 20 V
E 13.30 V 48.16° 14.86 V 41.84°
13.30 V 48.16° 50.14 V 41.84° 35.28 V 138.16°
E V R V L V C
PT EI cos u 1 20 V2 11.33 A2 10.667 2 17.74 W
V C
V L
E
41.84 48.16 I
j
V R
VL^
-^ V
C
FIG. 10. Diagrama fasorial del circuito de la figura 10.43.
Z T (^) X L ^90
X (^) C –90
R 0
E
0 f
R
0 f 0 f
X (^) L = 2 fL
X (^) C = 2 ^1 fC
R L C
FIG. 10. Revisión de la respuesta de frecuencia de los elementos básicos.
FIG. 10.46FIG. 10. Revisión de la respuesta de frecuencia de los elementos básicos.Revisión de la respuesta de frecuencia de los elementos básicos.
RESPUESTA DE FRECUENCIA DE CIRCUITOS DE ca EN SERIE ⏐⏐⏐ 443
a c
0
R = 5 k
Z T XC = 1 2 fC
f
5 k
R X (^) C
5 k
R < XC R > XC
(^0) f
f 1
FIG. 10. Respuesta de frecuencia de los elementos individuales de un circuito R-C en serie.
embargo, la impedancia más alta depende del elemento capacitivo puesto que su impedancia a muy bajas frecuencias es extremadamente alta. A muy bajas frecuencias, podemos concluir, sin ningún cálculo, que la impedan- cia está determinada principalmente por la impedancia del capacitor. A las frecuencias más altas, podemos asumir que la reactancia del capacitor se redujo a niveles tan bajos que la impedancia de la combinación tenderá a la de la resistencia. La frecuencia a la cual la reactancia del capacitor se reduce a la del resis- tor se determina haciendo la reactancia del capacitor igual a la del resistor como sigue:
Resolviendo la frecuencia obtenemos
Este punto significativo aparece en la frecuencia de la figura 10.48. Sustituyendo valores, vemos que ocurre a
Ahora sabemos que a frecuencias mayores que f 1 , R X (^) C y que a frecuen- cias menores que f 1 , XC R , como se muestra en la figura 10.48. Ahora, en cuanto a los detalles, la impedancia total se determina con la siguiente ecuación:
y (10.12)
La magnitud y el ángulo de la impedancia total ahora pueden determi- narse a cualquier frecuencia de interés con sólo sustituir en la ecuación (10.12). La presencia del capacitor indica que comenzamos desde una baja frecuencia (100 Hz) y que luego abrimos el intervalo hasta alcanzar el límite superior de interés (20 kHz).
Z T ZT uT 2 R^2 XC^2 tan^1
XC
R
Z T R jXC
f 1
2 p RC
2 p 1 5 k2 10.01 mF 2
3.18 kHz
f 1
2 p RC
XC
2 p f 1 C
R
FFIG. 10.4IG. 10. RRespuesta de frecuencia de los elementos individuales de un circuito R-C en serieespuesta de frecuencia de los elementos individuales de un circuito R-C en serie.
444 ⏐⏐⏐ CIRCUITOS EN SERIE Y EN PARALELO
a c
f 100 Hz
y
con
y
valor comparable muy cercano a Z C 159.16 k 90° si el circuito fuera puramente capacitivo ( R 0 ). Por consiguiente, se confirma nues- tra suposición de que el circuito es principalmente capacitivo a bajas fre- cuencias.
f 1 kHz
y
con
y
Ocurrió una notable reducción de la magnitud, y el ángulo de impedancia se redujo casi 17° con respecto al nivel puramente capacitivo. Continuando, obtenemos
Observe cuán cerca está la magnitud de ZT a f 20 kHz al nivel de resis- tencia de 5 k. Además, observe que el ángulo de fase se está aproximando al asociado con una red puramente resistiva (0°). Una gráfica de Z (^) T contra frecuencia en la figura 10.49 corrobora por completo nuestra suposición basada en las curvas de la figura 10.48. La curva de u T contra frecuencia en la figura 10.50 sugiere además que la impedancia total realizó una transición de una naturaleza capacitiva (u T 90°) a una con características de resistencia (u T 0°). Aplicando la regla divisora de voltaje para determinar el voltaje a través del capacitor en forma fasorial obtenemos
o V C VC uC
XCE
2 R^2 XC^2
l90° tan^11 XC>R 2
X C E 90°
2 R^2 XC^2 ltan^1 XC>R
1 XC 90°2 1 E 0° 2
R jXC
XC E 90°
R jXC
V C
Z C E
Z R Z C
f 20 kHz: Z T 5.06 k 9.04 °
f 15 kHz: Z T 5.11 k 11.98 °
f 10 kHz: Z T 5.25 k 17.66 °
f 5 kHz: Z T 5.93 k 32.48 °
Z T 16.69 k 72.54 °
tan^1 3.18 72.54°
u T tan^1
XC
R
tan^1
15.92 k 5 k
Z T 2 R^2 XC^2 21 5 k 22 1 15.92 k 22 16.69 k
XC
2 p fC
2 p 1 1 kHz2 10.01 mF 2
15.92 k
Z T 159.24 k 88.2 °
u T tan^1
XC
R
tan^1
159.16 k 5 k
tan^1 31.
Z T 2 R^2 XC^2 21 5 k 22 1 159.16 k 22 159.24 k
XC
2 p fC
2 p 1 100 Hz2 10.01 mF 2
159.16 k
oo VVVVV CC VVVVVCC uC
XCCE
22222 RR 2 XXCC^22
ll 9 90°0° tanan^1111 XXXC >R 2
