anualidades financieras, Apuntes de Matemática Empresarial

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MATEMÁTICAS FINANCIERASMATEMÁTICAS FINANCIERAS

TEMA:TEMA:

AA NN UU AA LL II DD AA DD EE SS

●● CONTENIDOCONTENIDO●●

AUTORAUTOR

TuTu ll ioio A.A. MaMa t eot eo DD uu vv aa ll

SantoSanto DomingoDomingo D.D. N.N. Rep. Dom.Rep. Dom.

Tulio A. Mateo DuvalTulio A. Mateo Duval AnualidadesAnualidades

MATEMÁTICAS FINANCIERASMATEMÁTICAS FINANCIERAS

AA NN UU AA LL II DD AA DD EE SS

CONTENIDOCONTENIDO

1.1. DefiniciónDefinición 2.2. Elementos de una AnualidadElementos de una Anualidad 3.3. Clasificación de las AnualidadesClasificación de las Anualidades 4.4. Anualidad Vencida SimpleAnualidad Vencida Simple 4.14.1 Monto de una Anualidad Vencida SimpleMonto de una Anualidad Vencida Simple 4.1.14.1.1 Cálculo de la RentaCálculo de la Renta 4.1.24.1.2 Cálculo del Plazo o DuraciónCálculo del Plazo o Duración 4.1.34.1.3 Cálculo de la Tasa de InterésCálculo de la Tasa de Interés 4.24.2 Valor Actual de las Anualidades VenValor Actual de las Anualidades Vencidas y Diferidas Simplescidas y Diferidas Simples 4.2.14.2.1 Cálculo de la RentaCálculo de la Renta 4.2.24.2.2 Cálculo del Plazo o DuraciónCálculo del Plazo o Duración 4.2.34.2.3 Cálculo de la Tasa de InterésCálculo de la Tasa de Interés 5.5. Anualidad Vencida GeneralAnualidad Vencida General 5.15.1 Cálculo del Monto, Valor Actual, Renta, Plazo y Tasa de InterésCálculo del Monto, Valor Actual, Renta, Plazo y Tasa de Interés de una Anualidad Vencida Generalde una Anualidad Vencida General 6.6. Anualidad Anticipada SimpleAnualidad Anticipada Simple 6.16.1 Monto de una Anualidad Anticipada SimpleMonto de una Anualidad Anticipada Simple 6.1.16.1.1 Cálculo de la RentaCálculo de la Renta 6.1.26.1.2 Cálculo del Plazo o DuraciónCálculo del Plazo o Duración 6.1.36.1.3 Cálculo de la Tasa de InterésCálculo de la Tasa de Interés 6.26.2 Valor Actual de las Anualidades AntiValor Actual de las Anualidades Anticipadas y Diferidas Simplescipadas y Diferidas Simples 6.2.16.2.1 Cálculo de la RentaCálculo de la Renta 6.2.26.2.2 Cálculo del Plazo o DuraciónCálculo del Plazo o Duración 6.2.36.2.3 Cálculo de la Tasa de InterésCálculo de la Tasa de Interés 7.7. Anualidad Anticipada GeneralAnualidad Anticipada General 7.17.1 Cálculo del Monto, Valor Actual, Renta, Plazo y Tasa de InterésCálculo del Monto, Valor Actual, Renta, Plazo y Tasa de Interés de una Anualidad Anticipada Generalde una Anualidad Anticipada General 8.8. Anualidad Perpetua o PerpetuidadAnualidad Perpetua o Perpetuidad 8.18.1 Anualidad Perpetua VencidaAnualidad Perpetua Vencida 8.28.2 Anualidad Perpetua AnticipadaAnualidad Perpetua Anticipada 9.9. Amortización y Fondos de AmortizaciónAmortización y Fondos de Amortización 9.19.1 Amortización deAmortización de Deudas.Deudas. Tabla deTabla de AmortizaciónAmortización 9.1.19.1.1 Saldo Insoluto, Derechos Adquiridos por el DeudorSaldo Insoluto, Derechos Adquiridos por el Deudor yy Saldo a Favor del AcreedorSaldo a Favor del Acreedor 9.29.2 Fondo de Amortización.Fondo de Amortización. Tabla de un FondoTabla de un Fondo dede AmortizaciónAmortización 9.2.19.2.1 Cálculo del Total Acumulado en un Fondo de Amortización yCálculo del Total Acumulado en un Fondo de Amortización y del Saldo Insoluto en Cualquier Fechadel Saldo Insoluto en Cualquier Fecha 10.10. Resumen de Fórmulas ReResumen de Fórmulas Relativas a las Anualidadeslativas a las Anualidades

Tulio A. Mateo DuvalTulio A. Mateo Duval AnualidadesAnualidades

3.3. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADESCLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES

Bajo el título general deBajo el título general de anualidadesanualidades existe una gran variedad de ellas. Una anualidad puede tener o no susexiste una gran variedad de ellas. Una anualidad puede tener o no sus fechas de inicio y término definidas, o pueden sus pagos efectuarse al inicio o al final de cada periodo. Asimismo, lafechas de inicio y término definidas, o pueden sus pagos efectuarse al inicio o al final de cada periodo. Asimismo, la frecuencia de sus abonos puede coincidir o no con la frecuencia de capitalización de los intereses, así como el primerfrecuencia de sus abonos puede coincidir o no con la frecuencia de capitalización de los intereses, así como el primer pago puede realizarse en el primer periodo o algunos periodos después. Dependiendo de éstos y otros factores, parapago puede realizarse en el primer periodo o algunos periodos después. Dependiendo de éstos y otros factores, para fines de estudio, las anualidades se clasifican de acuerdo con los siguientes criterios:fines de estudio, las anualidades se clasifican de acuerdo con los siguientes criterios:

CCRITERIORITERIO TTIPOIPO DDESCRIPCIÓNESCRIPCIÓN

TTIEMPOIEMPO (se refiere a las(se refiere a las

CCIERTASIERTAS En éstas los pagos comienzan y terminan en fechasEn éstas los pagos comienzan y terminan en fechasperfectamente determinadas.perfectamente determinadas. fechas defechas de CCONTINGENTESONTINGENTES

En éstas la fecha de vencimiento del primer o del último pago,En éstas la fecha de vencimiento del primer o del último pago, o de ambos, depende de algún suceso previsible, pero cuyao de ambos, depende de algún suceso previsible, pero cuya fecha de realización no puede fijarse.fecha de realización no puede fijarse.

inicio/término delinicio/término del plazo)plazo)

VVENCIMIENTOENCIMIENTO DE LOS PAGOSDE LOS PAGOS

VVENCIDASENCIDAS Las anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en las queLas anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en las quelos pagos se efectúanlos pagos se efectúan al final deal final de cadacada periodo.periodo.

(se refiere al(se refiere al AANTICIPADASNTICIPADAS Las anualidades anticipadas son aquellas en las que los pagosLas anualidades anticipadas son aquellas en las que los pagos se efectúan alse efectúan al inicio de cada periodo.inicio de cada periodo.

momento en quemomento en que se efectúan losse efectúan los pagos)pagos) CCONCORDANCIAONCORDANCIA O NO DEO NO DE PERIODOSPERIODOS SSIMPLESIMPLES^

En éstas el periodo de los pagos coincide con el periodo deEn éstas el periodo de los pagos coincide con el periodo de capitalización de los intereses.capitalización de los intereses. (se refiere a la(se refiere a la coincidencia o nocoincidencia o no

GGENERALESENERALES En éstas el periodo de los pagos no coincide con el periodo deEn éstas el periodo de los pagos no coincide con el periodo decapitalización de los intereses.capitalización de los intereses.

del periodo de losdel periodo de los pagos y delpagos y del periodo deperiodo de capitalización decapitalización de los intereses)los intereses) IINICIACIÓN DENICIACIÓN DE LOS PAGOSLOS PAGOS IINMEDIATASNMEDIATAS En éstas el primer pago se efectúa al inicio o al final del primerEn éstas el primer pago se efectúa al inicio o al final del primer periodo de la anualidad (anticipada o vencida).periodo de la anualidad (anticipada o vencida). (se refiere al(se refiere al

DDIFERIDASIFERIDAS Son aquellas en las que se estipula que el primer pago debeSon aquellas en las que se estipula que el primer pago debeefectuarse después de transcurrido cierto número de periodos.efectuarse después de transcurrido cierto número de periodos.

momento en quemomento en que se comienzan ase comienzan a realizar los pagos)realizar los pagos)

Como los criterios de clasificación antes vistos no son mutuamente excluyentes, eligiendo una característica deComo los criterios de clasificación antes vistos no son mutuamente excluyentes, eligiendo una característica de cada criterio se pueden formar diferentes tipos de anualidades, resultando que, en las más usuales, predominan lascada criterio se pueden formar diferentes tipos de anualidades, resultando que, en las más usuales, predominan las modalidades:modalidades: ciertasciertas,, simplessimples,, inmediatasinmediatas (vencidas y(vencidas y anticipadas)anticipadas) yy diferidasdiferidas..

Cabe mencionar además laCabe mencionar además la anualidad perpetua o perpetuidadanualidad perpetua o perpetuidad , una variante de las anualidades ciertas, la cual se, una variante de las anualidades ciertas, la cual se caracteriza porque los pagos periódicos se efectúan por tiempo ilimitado.caracteriza porque los pagos periódicos se efectúan por tiempo ilimitado.

Abordaremos aquíAbordaremos aquí el estudioel estudio de lde las anualidadesas anualidades ciertasciertas, comenzando con las, comenzando con las simplessimples ee inmediatasinmediatas (vencidas y(vencidas y anticipadas) por ser las más empleadas en el sistema financiero. También se analizan las anualidadesanticipadas) por ser las más empleadas en el sistema financiero. También se analizan las anualidades diferidasdiferidas y lasy las generalesgenerales, tomando en cuenta, q, tomando en cuenta, que en este último caso, “cualquier anualidadue en este último caso, “cualquier anualidad generalgeneral se puede convertir ense puede convertir en simplesimple si sesi se emplea la correspondienteemplea la correspondiente tasa de interés equivalentetasa de interés equivalente”.”.

Comencemos efectuando el cálculo del monto acumulado al final del plazo de una anualidad vencida simple.Comencemos efectuando el cálculo del monto acumulado al final del plazo de una anualidad vencida simple.

▶▶ Ejemplo 2Ejemplo 2

¿Qué cantidad se acumulará en 2 años si se depositan $20,000.00 al final de cada semestre en una cuenta de¿Qué cantidad se acumulará en 2 años si se depositan $20,000.00 al final de cada semestre en una cuenta de inversiones que abona un 10% anual capitalizable semestralmente?inversiones que abona un 10% anual capitalizable semestralmente?

SSOLUCIÓNOLUCIÓN:: a)a) RentaRenta oo pagopago periódico:periódico: RR == $20,000.00$20,000.00 b)b) PeriodoPeriodo dede loslos pagospagos == semestresemestre c)c) PlazoPlazo duraciónduración dede lala anualidad:anualidad: nn == 44 semestressemestres d)d) ii == 10/210/2 == 5%5% semestralsemestral e)e) SS == ??

Tulio A. Mateo DuvalTulio A. Mateo Duval AnualidadesAnualidades

n = 3n = 3

n = 2n = 2 R = $20,000R = $20,000 (^) n = 1n = 1

S = ?S =?

00 11 22 i = 5%i = 5%

33 4 sem4 sem

Si nos ubicamos al final del plazo y efectuamos la sSi nos ubicamos al final del plazo y efectuamos la sumatoria de los montos de cadaumatoria de los montos de cada uno de los pagos desde sus respectivuno de los pagos desde sus respectivos vencimientos, obtendremos vencimientos, obtendremos aos a “S”:“S”:

SS  20,00020,000  20,000 (120,000 (1 0.05)0.05)

11

22

33

11

4.4. ANUALIDAD VENCIDA SIMPLEANUALIDAD VENCIDA SIMPLE UnaUna anualidad vencida simpleanualidad vencida simple es aquella cuyos pagos vencen al final de cada uno de los periodos que laes aquella cuyos pagos vencen al final de cada uno de los periodos que la componen, siempre y cuando éstos coincidan con los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipocomponen, siempre y cuando éstos coincidan con los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipo de anualidad, además del caso visto en elde anualidad, además del caso visto en el Ejemplo 2Ejemplo 2, lo constituye el conjunto de 12 pagos mensuales por valor de, lo constituye el conjunto de 12 pagos mensuales por valor de $28,500.00 c/u, correspondientes al alquiler de un$28,500.00 c/u, correspondientes al alquiler de un local comercial, si los mismos son depositados en una cuentalocal comercial, si los mismos son depositados en una cuenta bancaria que paga intereses a razón delbancaria que paga intereses a razón del 8% anual convertible mensualmente.8% anual convertible mensualmente.

4.14.1 MONTO DE UNA ANUALIDADMONTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLEVENCIDA SIMPLE ElEl monto o valor futuro de una anualidad vencida simple "S"monto o valor futuro de una anualidad vencida simple "S" es el valor de dicha anualidad calculado en su fechaes el valor de dicha anualidad calculado en su fecha de terminación. Se obtiene al sumar los montos que acumulan cada uno de los pagos desde sus respectivosde terminación. Se obtiene al sumar los montos que acumulan cada uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad.vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad.

RR SS

(^00 11 22 33) ii n-n-^22 n-n-^11 nn

nn == númnúm eroero dede periodosperiodos ii == tasatasa de inde in terésterés por periopor periododo

R =R = renta o pago perrenta o pago per iódicoiódico SS == mm onto de laonto de la anualanual idadidad

Para deducir una fórmula que permita obtener directamente elPara deducir una fórmula que permita obtener directamente el monto o valor futuro de una anualidad vencidamonto o valor futuro de una anualidad vencida simple "S"simple "S" se ejecuta el mismo proceso seguido en else ejecuta el mismo proceso seguido en el^ Ejemplo 2Ejemplo 2,,^ peropero trabajando contrabajando con pagospagos^ “R”“R”^ invertidos ainvertidos a lala tasatasa dede interésinterés “i”“i” porpor periodoperiodo dede capitalización ycapitalización y porpor “n”“n” periodosperiodos dede capitalización:capitalización:

SS  RR  RR (1(1  ii))

11

 RR (1(1 ii))

22

 RR (1(1 ii))

nn 11

Multiplicando ambos miembros porMultiplicando ambos miembros por (1(1  ii )) se tiene:se tiene:

SS (1(1 ii))  RR (1(1 ii))^11  RR (1(1 ii))^22  RR (1(1 ii))^33  RR (1(1 ii))nn

(A)(A)

(B)(B)

(^11) Esta operación es laEsta operación es la que se conoce comoque se conoce como monto de una anualidad vencida simplemonto de una anualidad vencida simple..

Tulio A. Mateo DuvalTulio A. Mateo Duval AnualidadesAnualidades

b)b) Como el balance anterior estáComo el balance anterior está disponible al término de los 5 años, luego el mismo se qdisponible al término de los 5 años, luego el mismo se quedará capitalizandouedará capitalizando los intereses generados durante 18 periodos (3 años × 6 bim.) adicionales. Por tanto, el balance pedido se obtiene allos intereses generados durante 18 periodos (3 años × 6 bim.) adicionales. Por tanto, el balance pedido se obtiene al calcular el monto compuesto de los $563,080.22 acalcular el monto compuesto de los $563,080.22 a la tasa de interés del 1.5% bimestral y al cabo de losla tasa de interés del 1.5% bimestral y al cabo de los 18 bimestres:18 bimestres:

SS  563,080.22(1563,080.22(1  0.015)0.015)^1818  $736,137.65$736,137.

▶▶ Ejemplo 6Ejemplo 6

Andrés Ramírez efectúa un depósito inicial de $6,000.00 en una cuenta de ahorros que abona el 1% mAndrés Ramírez efectúa un depósito inicial de $6,000.00 en una cuenta de ahorros que abona el 1% mensual. Siensual. Si acordó depositar $3,000.00 al final de cada mes durante 1½ años y $4,000.00 al final de cada mes durante los 2 añosacordó depositar $3,000.00 al final de cada mes durante 1½ años y $4,000.00 al final de cada mes durante los 2 años siguientes, ¿cuál sería el balance de la cuenta al término de los 3½ años? ¿cuánto se ganaría por concepto desiguientes, ¿cuál sería el balance de la cuenta al término de los 3½ años? ¿cuánto se ganaría por concepto de intereses?intereses?

(^00 11 22 33) … …… ……… 1818 1919 2020 i = 1%i = 1%

2121 2222 … …… ……… 42 meses42 meses

DepóDepó sitosito inicialinicial = $ 6 ,000= $ 6 ,000 .00.

ii = tasa= tasa de interde interés porés por periodoperiodo == 1%1%

SS 11 = m onto anualidad con R=$ 3 ,000 .00 S= m onto anualidad con R=$ 3 ,000 .00 S 22 = m onto anualidad con R=$ 4 ,000 .00= m onto anualidad con R=$ 4 ,000. SS == monto totalmonto total pedido apedido a los 3½los 3½ añosaños

Sustituyendo los valores conocidos en laSustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtienen los montos ofórmula [1], se obtienen los montos o valores futuros de las 2valores futuros de las 2 anualidades:anualidades:

((1 1  0.01)0.01)^1818  11  0.010.

((1 1  0.01)0.01)^2424  11 

0.010.

a) Usando la fórmula del monto compuesto, se capitalizan los valores del depósito inicial y del monto de laa) Usando la fórmula del monto compuesto, se capitalizan los valores del depósito inicial y del monto de la anualidadanualidad "S"S 11 "", sumánd, sumándoseleosele al val valor dealor de "S"S 22 ",", a los fines de obtener el balance pedidoa los fines de obtener el balance pedido "S""S" ::

SS  6,000 (16,000 (1 0.01)0.01)

4242

2424

b)b) Interés total que se ganaríaInterés total que se ganaría == S −S − DepósitosDepósitos = 191,723.17= 191,723.17 −− 6,0006,000 −− 18 × 3,00018 × 3,000 −− 24 × 4,00024 × 4,000 = $35,723.17= $35,723.

4.1.14.1.1 CÁLCULO DE LA RENTACÁLCULO DE LA RENTA En ocasiones se requiere obtener el valor de la renta o de losEn ocasiones se requiere obtener el valor de la renta o de los pagos (o depósitos) periódicospagos (o depósitos) periódicos "R""R", partiendo de un, partiendo de un monto o valor futuro específico de una anualidad vencida simplemonto o valor futuro específico de una anualidad vencida simple "S""S", de una duración, de una duración "n""n" y una tasa de interés pory una tasa de interés por periodoperiodo "" ii "". En tales casos, el cálculo de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a. En tales casos, el cálculo de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R""R" de lade la fórmula [1]:fórmula [1]:

RR 

SS ..ii

[(1[(1  ii ))

nn

1]1]

VALOR DE LA RENTAVALOR DE LA RENTA [2][2]

n=42n=

SS n=24n= R=$ 3 ,000R=$ 3 ,000 R=$ 4 ,000R=$ 4 , $6 ,000$6 ,000 SS^11

SS 22

SS 11

SS 22

Tulio A. Mateo DuvalTulio A. Mateo Duval AnualidadesAnualidades

▶▶ Ejemplo 7Ejemplo 7

¿Cuánto deberá ahorrar una persona al final de cada semestre en una cuenta bancaria que paga el 8% anual¿Cuánto deberá ahorrar una persona al final de cada semestre en una cuenta bancaria que paga el 8% anual capitalizable semestralmente para acumular la suma de $120,000.00 alcapitalizable semestralmente para acumular la suma de $120,000.00 al cabo de 6 años? ¿Cuánto secabo de 6 años? ¿Cuánto se gana por conceptogana por concepto de intereses?de intereses?

SSOLUCIÓNOLUCIÓN:: SS == $120,000.00$120,000.00 == 8%8% mm == 2 2 ii == 8/28/2 == 4%4% semestralsemestral tt == 66 añosaños n = 6n = 6  2 = 12 semestres2 = 12 semestres RR == ?? II == ??

a)a) Sustituyendo los valores conocidos en laSustituyendo los valores conocidos en la fórmula [2], sefórmula [2], se obtiene:obtiene:

RR 

[(1[(1  0.04)0.04)^1212 1]1]

b)b) El interés tEl interés total que se gana resuotal que se gana resulta al restar la suma aculta al restar la suma acumuladamulada "S""S" menos los depósitos efectuadosmenos los depósitos efectuados "n.R""n.R" ::

II tt  SS  nn..RR (^) [3][3]

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [3], se tiene:Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [3], se tiene:

II tt  120,000120,000  1212  7,986.267,986.26  $24,164.88$24,164.

▶▶ Ejemplo 8Ejemplo 8

CalcularCalcular cuántocuánto sese deberíadebería ahorrarahorrar alal finalfinal dede cadacada mesmes durantedurante loslos próximospróximos 77 añosaños sisi sese desearadeseara acumularacumular $300,000.00 efectuando depósitos en un fondo que paga el 15% compuesto mensualmente.$300,000.00 efectuando depósitos en un fondo que paga el 15% compuesto mensualmente.

SSOLUCIÓNOLUCIÓN:: SS == $300,000.00$300,000.00 jj == 15%15% mm == 12 12 ii == 15/1215/12 == 1.25%1.25% mensualmensual tt == 77 añosaños

nn  77  1212  8484 mesesmeses R = ?R =?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [2], se obtiene:Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [2], se obtiene:

RR 

[(1[(1  0.0125)0.0125)^8484 1]1]

▶▶ Ejemplo 9Ejemplo 9

Con un depósito inicial de $5,000.00 y 10 depósitos iguales a efectuarse al final de cada mes se desea llevar elCon un depósito inicial de $5,000.00 y 10 depósitos iguales a efectuarse al final de cada mes se desea llevar el balance de una cuenta bancaria que abona el 1.1% mensual a que alcance la suma de $19,766.27. ¿Cuál sería el valorbalance de una cuenta bancaria que abona el 1.1% mensual a que alcance la suma de $19,766.27. ¿Cuál sería el valor de los depósitos para que al cabo de los 10 meses se tenga acumulado dicho monto?de los depósitos para que al cabo de los 10 meses se tenga acumulado dicho monto?

SSOLUCIÓNOLUCIÓN::

00 11 22 33 ii = 1= 1.1 %.1 %

(^44) … …… ……… 10 m eses10 m eses

D ep ósito in ic ia lD ep ósito in ic ia l = $ 5 ,000 .00= $ 5 ,000.

ii = tasa de interé s= tasa de interé s por period o = 1 .1por period o = 1 .1 %%

SS 11 == mm onto de la aonto de la a nualinuali dad codad co n R =?n R =?

S = mS = m ontoonto tota l a a cumtota l a a cum uu larlar

n= 10n= 10

SS

RR =?=? $$ 55 ,000,000 SS^11

Tulio A. Mateo DuvalTulio A. Mateo Duval AnualidadesAnualidades

▶▶ Ejemplo 11Ejemplo 11

Miguel Torres necesita reunir $33,585.00 y con ese propósito realiza depósitos quincenales vencidos de $500.00Miguel Torres necesita reunir $33,585.00 y con ese propósito realiza depósitos quincenales vencidos de $500. c/u en un fondo que rinde el 9.024% anual convertible quincenalmente. Determine durante qué tiempo (años) deberác/u en un fondo que rinde el 9.024% anual convertible quincenalmente. Determine durante qué tiempo (años) deberá estar efectuando esos depósitos.estar efectuando esos depósitos.

SSOLUCIÓNOLUCIÓN:: SS == $33,585.00$33,585.00 RR == $500.00$500.00 jj == 9.024%9.024% mm == 24 24 ii == 9.024/249.024/24 == 0.376%0.376% quincenalquincenal

nn  ?? tt  ??

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene:Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene:

loglog 

33,58533,

nn 

 6060 quincenasquincenas

log (1log (1  0.00376)0.00376)

Mediante la fórmula [5] se calcula el tiempo pedido ( en años):Mediante la fórmula [5] se calcula el tiempo pedido ( en años):

tt 

 2.52.5 añosaños  2½2½ añosaños añosaños  (^2424)

▶▶ Ejemplo 12Ejemplo 12

Para acumular $22,000.00 un señor efectúa depósitos iguales de $2,500.00 al final de cada mes en unaPara acumular $22,000.00 un señor efectúa depósitos iguales de $2,500.00 al final de cada mes en una financiera que abona el 1.25% mensual. Determine cuántos depósitos será preciso hacer parafinanciera que abona el 1.25% mensual. Determine cuántos depósitos será preciso hacer para acumular dicha suma y elacumular dicha suma y el valor de un depósito adicionalvalor de un depósito adicional en caso necesario.en caso necesario.

SSOLUCIÓNOLUCIÓN::

SS == $22,000.00$22,000.00 RR == $2,500.00$2,500.00 ii == 1.25%1.25% mensualmensual nn  ??

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene:Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene:

loglog 

22,00022,

nn 

log (1log (1 0.0125)0.0125)

 8.408.40 depósitosdepósitos

Consideraremos que para reunir los $22,000.00 se requieren 8 depósitos completos de $2,500.00 + un depósitoConsideraremos que para reunir los $22,000.00 se requieren 8 depósitos completos de $2,500.00 + un depósito adicional que vencerá al final del siguiente mesadicional que vencerá al final del siguiente mes 33

. Veremos a continuación 2 maneras de obtener el valor del depósito. Veremos a continuación 2 maneras de obtener el valor del depósito adicional:adicional:

A)A) DeDe tetermrm inin acac ióió nn dedell dedepópó sisi toto adadicic ioionana ll meme didi anan tete ununaa ececuaua ccióió nn dede vavalolorr

00 11 22 33 77 i= 1.25%i= 1.25% 88 9 mes9 mes

x = depósito adicionalx = depósito adicional SS = m= m ontoonto aa acum ularacum ular = $22,0= $22,000.0000.

SS 11 == m onto de lam onto de la anualanual idadidad (n= 8(n= 8 dep.)dep.) LaLa fecha focafecha focall sese tomará a los 9tomará a los 9 mesemese ss

(^33) Se efectuará de esa manera a fin de garantizar queSe efectuará de esa manera a fin de garantizar que el valorel valor de los depósitos nuncde los depósitos nunca exceda la renta originalmente establecida.a exceda la renta originalmente establecida.

R=$2 ,500R=$2 ,500 (^) SS 11 n = 1n = 1 SS

XX FFFF