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Problemas de aplicación de límites
Pregunta 1
Se sabe que el precio de un artículo “P” a través del tiempo “t” (en meses) está
dado por la función: t b
at 8 P( t)
= (^) , si se sabe que el precio de este artículo el
próximo mes será de $6.50, y el siguiente mes será de $6.00. Se desea saber:
a) El precio del artículo para este mes.
b) En que mes el precio será de $5.50.
c) ¿Qué ocurre con el precio a largo plazo?
Resolución
Tenemos t: tiempo (meses)
P: precio del artículo ($)
t b
at 8 P( t)
Consideraremos el mes actual como t = 0 luego, el próximo mes
corresponderá a t = 1 y el siguiente mes (siguiente mes al próximo)
corresponderá a t = 2.
Dato: El precio de este artículo el próximo mes será de $6.50.
P( 1 )= 6. 50
( 1 ) b
a( 1 ) 8 P( 1 )
b 1
a 8
- 5
de donde a − 6. 5 b=− 1. 5 … (I)
Dato: El precio de este artículo el siguiente mes - al próximo - será de $6.00.
P( 2 )= 6. 00
( 2 ) b
a( 2 ) 8 P( 2 )
b 2
2 a 8 6
de donde a − 3 b= 2 … (II)
Resolviendo el sistema formado por (I) y (II) obtenemos: a = 5 , b = 1
Con (^) a = 5 y (^) b = 1 tenemos la función:
t 1
5 t 8 P( t)
a. El precio del artículo para este mes: P( 0 )
P( 0 ) =
En este mes el precio del artículo es $8.00.
b. En un tiempo “t” el precio del artículo será $5.50:
P( t)= 5. 50
t 1
5 t 8
- 50
= resolviendo obtenemos: t = 5
Dentro de cinco meses el precio del artículo será $5.50.
c. El precio a largo plazo ocurrirá cuando t→+∞
t
t
lim t 1
5 t 8 lim P(t) lim t t t
→+∞ →+∞ →+∞
A largo plazo el precio del artículo tiende a $5.00.
Pregunta 2
Se estima que dentro de “t” años, la población “P” de un cierto país será de:
- 06 t 8 12 e
P( t) −
= , millones de habitantes.
a. ¿Cuál es la población actual?
b. ¿Cuál será la población dentro de 50 años?
c. ¿Después de cuanto tiempo la población será de 5 millones de
habitantes?
d. ¿Qué le sucederá a la población a largo plazo?
Pregunta 3
Se estima que t meses después del inicio de la crisis económica, el porcentaje de la
población económicamente activa que se encontrará desempleada estará dado por
b 1 e
a P (t)
- 2 t
−
. Si se sabe que inicialmente el 4% de la PEA está desempleada y al
cabo de 5 meses lo estará el 4.58%.
a) Encuentre los valores de “a” y “b”
b) ¿Qué porcentaje estará desempleado al cabo de 1 año?
c) ¿Qué porcentaje estará desempleado a largo plazo?
Resolución
Tenemos t: tiempo (meses)
P: porcentaje de la PEA que está desempleada (%)
b 1 e
a P( t)
- 2 t
−
Dato: Inicialmente el 4% de la PEA está desempleada
t = 0 , P = 4 : b 1 e
a (^4 0). 2 ( 0 )+
b 2
a 4 = +
a + 2 b= 8 … (I)
Dato: Al cabo de 5 meses lo estará el 4.58%.
t = 5 , P = 4. 58 : b 1 e
a
- 58
- 2 ( 5 )
−
b
- 368
a
- 58 = +
a + 1. 368 b= 6. 265 … (II)
Resolviendo el sistema formado por (I) y (II) obtenemos: a = 2. 51
b = 2. 745
Con estos valores: 2. 745 1 e
P( t) 0. 2 t +
b. Al cabo de 1 año: t = 12
1 e
P( 12 )
- 2 ( 12 )
−
Al cabo de 1 año el 5.05% de la PEA estará desempleada.
c. A largo plazo: t→+∞
1 e
lim P(t) lim t t^0.^2 t
→+∞ →+∞ −
A largo plazo el 5.26% de la PEA estará desempleada.
