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TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERNECIALES
Existe un gran número de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en diversas áreas del conocimiento.
La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas y especialmente en sus aplicaciones se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de dichas ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles o el curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de las ecuaciones diferenciales, y en la carrera de ingeniería industrial su aplicación es bastante amplia.
A continuación veremos la explicación de diversos fenómenos naturales traducidos en ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en la vida real.
Aplicaciones a la química y termodinámica Principio de la conservación de la materia: Cuando dos soluciones con diferentes concentraciones se ponen en contacto, sucede el proceso de difusión o transferencia de masa y llega un momento en el que la mezcla al final, tiende a una concentración uniforme. En este apartado se tratará el fenómeno del mezclado de soluciones salinas de diferentes concentraciones, en tanques agitados.
Supóngase que se tiene un tanque agitado con un volumen de agua Vo en donde se han disuelto Mo unidades de masa de sal. Supóngase también que al tanque, entra una solución de una salmuera de concentración C1 y flujo volumétrico Q1 y sale la solución mezclada con una concentración C2 y con un flujo volumétrico Q2. Si se aplica el
principio de la conservación de la materia, es decir si se hace un balance de materia al sistema, se puede determinar la velocidad con la que varía la cantidad de sal M en cualquier momento t, en términos de los flujos másicos de entrada y de salida. El balance matemáticamente puede ser expresado de la siguiente forma:
𝑑𝑀 𝑑𝑡 = (𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎) − (𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎) = 𝑚1 − 𝑚 El flujo másico o flujo masivo m es la relación de la masa que fluye en un intervalo de tiempo determinado, esto es m=M/t , donde M(t) es la masa del fluido que fluye en el tiempo t.
Y en términos de las concentraciones y de los flujos volumétricos:
𝑑𝑀 𝑑𝑡 = 𝐶1𝑄1 − 𝐶2𝑄
Donde C2 es función de M. Esta dependencia está dada por C2 = M(T)/Vo , de tal manera que la ecuación queda finalmente como:
𝑑𝑀 𝑑𝑡 = 𝐶1𝑄1 −
Esta ecuación que es una ecuación diferencial lineal de primer orden, representa la hipótesis del fenómeno de la mezcla de dos soluciones en un tanque agitado, que al resolverla, se obtiene el modelo que determina la cantidad de sal M, que hay en el tanque en cualquier momento t.
Reacciones químicas:
Otra aplicación en la química se da en reacciones químicas, esta aplicación se usa para ver la rapidez de los compuestos cuando estos mismos se combinan.
Dos sustancias A y B reaccionan formando una sustancia C. Interesa conocer la cantidad de sustancia C formada en el instante t. Para resolver el problema anterior nos apoyamos en la siguiente ley de la química: “La rapidez de una reacción química en la que se forma un compuesto C a partir de dos sustancias A y B es proporcional al producto de las cantidades de A y de B que no han reaccionado.”
Esta hipótesis determina el fenómeno de las caídas de voltaje en el circuito RL y es una ecuación diferencial lineal de primer orden, cuya solución determina la intensidad de la corriente i(t) en el circuito.
Trayectorias ortogonales:
Las trayectorias ortogonales pueden definirse como una familia de curvas que es perpendicular a otra familia de curvas. Dos curvas son ortogonales en un punto si y solo si sus tangentes son perpendiculares en el punto de intersección.
Sabemos que la solución general de una ecuación diferencial contiene una constante arbitraria, si a esa constante se le asigna diferentes valores, obtenemos una familia de curvas, cada una de estas curvas es solución de la ecuación diferencial dada, y todas juntas constituyen la solución general.
Imaginemos que tenemos una familia de curvas G(x,y,c1). Suponga que queremos hallar otra familia de curvas H(x,y,c2) de manera que cada miembro de esa familia corte a cada miembro de la primera familia en ángulos rectos (el ángulo de intersección se define como el ángulo entre las tangentes a las curvas en el punto de intersección).
Entonces decimos que las familias son mutuamente ortogonales, o que esta nueva familia de curvas forma un conjunto de trayectorias ortogonales a la primera familia.
Procedimiento para hallar las trayectorias ortogonales:
Dada la familia de curvas F(x,y,C) = 0 , para determinar las trayectorias ortogonales se realizará el siguiente procedimiento:
Paso 1: Obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas F(x, y, C) = 0 , es decir:
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦´) = 0
Paso 2: Debe sustituirse 𝑦´, en la ecuación diferencial obtenida en el paso anterior,
por − (^) 𝑦^1 ´ y así se obtiene la E.D. asociada a la trayectoria ortogonal:
𝐹 (𝑥, 𝑦,− 𝑦^1 ´) = 0
Paso 3: Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 2, para obtener la trayectoria ortogonal: T(x, y, k) = 0
Ejemplo 1
Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de rectas que pasan por el origen, y=mx
Solución:
Paso 1: Obtener la E.D.O asociada al haz de curvas y=mx , para ello se deriva la ecuación dada con respecto a x
𝑦´= 𝑚
Para eliminar la constante arbitraria m se sustituye 𝑦´^ en la ecuación de la familia de curvas, obteniéndose la ecuación diferencial:
Paso 2 : Debe sustituirse 𝑦´, en la E.D.O obtenida en el paso anterior, por − (^) 𝑦^1 ´ y así se
obtiene la E.D.O asociada a la trayectoria ortogonal:
𝑦= 𝑥(− 𝑦^1 ´ )
Aplicaciones de trayectorias ortogonales:
Mapas de campos eléctricos Campo eléctrico de una carga puntual:
Líneas de campo:
Una línea de campo eléctrico es una recta o curva imaginaria trazada en una región en el espacio, de modo que es tangente a cualquier punto que este en dirección del vector del campo eléctrico en dicho punto.
