Aplicaciones de la Derivada: Ejercicios Resueltos para Bachilleratos Tecnológicos, Apuntes de Matemáticas

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APLICACIONES DE LA DERIVADA

A. COLO H. PATRITTI

PARA LOS CURSOS DE MATEMATICA DE LOS BACHILLERATOS

TECNOLÓGICOS DEL C.E.T.P.

APLICACIONES

DE LA

DERIVADA

Ejercicios resueltos

PROF. ANA COLO HERRERA PROF. HECTOR PATRITTI

Aplicaciones de la Derivada

PROLOGO

Aplicaciones de la Derivada – Prólogo -

AL ESTUDIANTE

La presente publicación tiene por objetivo poner a tu disposición una amplia serie de ejercicios , con sus correspondientes resoluciones , relativos a la aplicación del concepto de Derivada a problemas de las distintas disciplinas que involucran los Bachilleratos Tecnológicos en sus diferentes orientaciones. Partimos de la base de que estás familiarizado con los conceptos teóricos correspondientes a Funciones de Variable Real que tu docente del curso ha desarrollado respecto al concepto de Derivada. Al comienzo de la publicación encontrarás un resumen de los conocimientos que deberás tener presentes para resolver los problemas propuestos así como una tabla de derivadas. Al final de la publicación te sugerimos aquellos ejercicios que entendemos adecuados según el Bachillerato que estás cursando, sin que ello signifique naturalmente , que los restantes carezcan de interés para tí. Esperamos que si aún no lo estás , llegues a convencerte de la importancia relevante que el concepto de Derivada tiene en la resolución de problemas relativos a la tecnología en sus distintas disciplinas. La publicación está dividida en dos Capítulos. El Capítulo1 se refiere a la derivada como índice matemático que expresa la tasa de variación instantánea o rapidez de variación instantánea de una función y consta de veinticuatro ejercicios. El Capítulo 2 está dedicado a problemas de Optimización y consta de sesenta ejercicios. Los enunciados de algunos de estos ejercicios corresponden a conocidos problemas que seguramente encontrarás en distintos textos de Matemática pero que han sido modificados y/o adaptados por los autores a los cursos de los Bachilleratos Tecnológicos. Otros son creación de los autores. El enunciado del ejercicio No. 54 corresponde al ejercicio No.18 , página 317 del libro “Cálculo” de James Stewart que ha sido incluído por considerar que se trata de

Aplicaciones de la Derivada -

Perímetros , Areas y Volúmenes Triángulo

Rectángulo

Hexágono

Círculo

Sector circular

Long. Arco = Rθ

θ R A = 12 R 2 θ

Long. Cfa.= 2πR R A = π R^2

p = 6L

A = p.a 2

L

a

p =2a + 2b A = a.b

b

a

p = a + b + c

h A = b.h 2

a c

b

Esfera Cilindro Cono

A = 4πR^2

V= 34 π R^3

Atotal = 2 πR^2 + 2πRh V=π R^2 h

V= 13 πR^2 h

Aplicaciones de la Derivada

TRIGONOMETRIA

Unidades de medida de ángulos

Grados Radianes

Equivalencia: 3600 = 2π rad. 1 rad = (^) π

≅ 570 17 m

Longitud de un arco de circunferencia de radio R que subtiende un

ángulo central θ

s = Rθ θ en radianes

Valores de líneas trigonométricas de algunos ángulos especiales.

θ Grados 0 30 45 60 90 120 180 270 360 θ Radianes 0 π 6 π 4 π 3 π 2 23 π^ π 32 π^2 π

sen θ 0 21 22 23 1 23 0 - 1 0

cos θ 1 23 22 21 0 - 21 - 1 0 1

tg θ 0 33 1 3 ∃/ - 3 0 ∃/ 0

Angulos suplementarios θ + ϕ = π

sen θ = sen (π−θ) cos θ = - cos (π−θ) tg θ = - tg (π−θ)

Angulos complementarios θ + ϕ = π 2

sen θ = cos ( π 2 - θ ) tg θ = cotg ( π 2 - θ )

Angulos opuestos

Sen (- θ) = - sen θ cos ( - θ ) = cos θ tg (- θ ) = - tg θ

Aplicaciones de la Derivada

TABLA DE DERIVADAS

f(x) (^) dxdf^ f(x) (^) dxdf k 0 senx cosx x 1 cosx - sen x |x| sg(x) x≠ 0 tgx 1 + tg^2 x xm^ mxm-1^ Arcsenx (^2) 1 x

x

x^2

Arccosx (^2) 1 x

x (^21) x^ Arctgx (^2) 1

• x (^3) x 33 x^2

(^1) shx chx

e x^ e x^ chx shx

Lx (^) x

thx 1 – th^2 x

L|x| (^) x

Argshx x 1

Sg(x) 0 ∀x ≠ 0 Argchx x 1

ax^ ax^ La Argthx (^1) - x 2

Aplicaciones de la Derivada

DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS

(fo g)(x) d(fog)dx^ (fo g)(x) d(fog)dx

g(x) (^) dxdg^ sen g(x) cos g. (^) dxdg

k.g k (^) dxdg^ cos g(x) - sen g. (^) dxdg

|g| sg(g). (^) dxdg^ tg g(x)^ ( 1 + tg^2 g ).^ dxdg

gm^ mgm-1 dxdg^ Arcsen g(x) (^2) 1 x

− dx

dg

g

2

g

− (^) dxdg^ Arccos g(x) (^2) 1 x

− (^) dxdg

g (^21) g dxdg^ Arctg g(x) (^2) 1 g

• dx

dg

(^3) g 33 g^2

dx

dg (^) sh g(x) ch g(x). dx

dg

e g^ e g dxdg^ ch g(x) sh g(x). dxdg

Lg o L|g| (^) dx

dg g

th g(x) (1 – th^2 g) (^) dxdg

h L g dx

dh h

dx

dg g

(^1) − Argsh g(x) dx

dg 1 g

+^2

a g^ a g.La. dxdg^ Argch g(x) dxdg

g 1

g h^ g h 

dx

dg g Lg h dx

dh  Argth g(x)^ dx

dg 1 g

−^2

h e g^ e g^ dxdh+ h.dxdg 

Aplicaciones de la Derivada – Resumen -

Definiciones

Función creciente en un punto

Una función f es creciente en un punto xo si cumple:

f(x) ≤ f (xo) ∀ x∈ E-xo, δ (semientorno izquierdo de centro xo y radio δ )

f(x) ≥ f (xo) ∀ x ∈E+xo,δ (semientorno derecho de centro xo y radio δ )

Función decreciente en un punto Una función f es decreciente en el punto xo si cumple:

f(x) ≥ f(xo) ∀ x∈E-xo, δ

f(x) ≤ f(xo) ∀ x∈E+xo,δ

Máximo y mínimo relativos

f(xo) es máximo relativo en xo de la función f si se cumple:

f(xo) ≥ f(x) ∀x ∈Exo, δ

f(xo) es mínimo relativo en xo de la función f si se cumple:

f(xo) ≤ f(x) ∀x ∈Exo, δ

Teorema 5) Relación entre derivabilidad y continuidad

H) Si una función f es derivable en el punto xo T) f es contínua en el punto xo Sobre este teorema recuerda que el recíproco no es válido, es decir, existen funciones contínuas en un punto pero no derivables en él.

Teoremas que relacionan la derivada en un punto con la variación de la función en él.

Teorema 6) H) dxdf^ ( x 0 ) > 0

T) f creciente en el punto xo

Aplicaciones de la Derivada – Resumen

Teorema 7) H) dxdf^ ( x 0 ) < 0

T) f decreciente en el punto x 0

Teorema 8) H) f presenta máximo o mínimo relativo en x 0

∃ dxdf( x 0 )

T) dxdf^ ( x 0 ) = 0

Respecto de este teorema debes tener presente que: 1ro) El recíproco no es cierto. Puedes tener una función con derivada nula en un punto x 0 y la función no presentar en él un extremo relativo. La fig. (1) te muestra

esa posibilidad. 2do.) Una función puede presentar extremo relativo en un punto xo y no ser derivable

en él. La fig. (2) te ilustra uno de estos casos para una función contínua en x 0 y la

figura (3) para una función discontínua en x.

f(x) f(x) f(x)

o x 0 x o x 0 x o x 0 x fig. (1) fig. (2) fig. (3)

Teoremas que relacionan la derivada segunda de una función con su concavidad.

Teorema 9) H) (x ) 0 dx

d f o 2

2

T) f presenta concavidad positiva en x 0

Teorema 10) H) (x ) 0 dx

d f o 2

2 < T) f presenta concavidad negativa en x 0

Aplicaciones de la Derivad

CAPITULO 1

(x )

dx

df

f(x)

y – f(x 0 ) = dx(x )

df

0 ( x – x 0 )

f(x 0 )

0 x 0 x

Demanda NEWTON

Precio

K(A T )

dt

dT

1 – 1 Introducción

1 – 2 Enunciados de ejercicios

1 – 3 Resolución de ejercicios

Aplicaciones de la Derivada – Introducción – Capítulo 1

INTRODUCCION

Capítulo 1

Aplicaciones de la Derivada – Introducción- Capítulo 1

viga”; la intensidad de corriente eléctrica como la derivada de la carga eléctrica respecto del tiempo ; el gasto instantáneo , en Hidráulica , como derivada del volumen respecto del tiempo, etc. Al respecto resulta importante que hayas entendido con claridad el significado de lo que en el curso teórico has llamado “Interpretación geométrica de la derivada” donde

has demostrado que la derivada de una función f en un punto x 0 ( (^) dxdf^ (xo ))

representa el coeficiente angular de la recta tangente al gráfico representativo de la función en el punto [x (^0) ,f( x 0 )]

Este resultado no es una mera curiosidad geométrica sino que su alcance es relevante. Detengámonos en este punto para ayudarte a recordar. Considera una función f de variable x. En la figura (1) tenemos parte del gráfico

representativo de la función y sea x 0 el punto del dominio que hemos elegimos para trabajar. f(x)

Q

f(x 0 +h)

f(x 0 ) P R

0 x 0 x 0 +h x fig. (1)

Recuerda que llamamos “punto” al valor x 0 y no al punto geométrico P.

Aplicaciones de la Derivada – Introducción- Capítulo 1

Incrementamos ahora nuestra variable x en un valor h arbitrario y pasamos al nuevo

punto x 0 + h. El incremento h puede ser tanto positivo como negativo. En el caso de la figura lo hemos tomado positivo moviéndonos en consecuencia hacia la derecha de x 0.

Veamos que ha ocurrido con la función En el punto x 0 el valor funcional es f(x 0 ) y en el punto x 0 + h es f (x 0 + h ).

La diferencia f (x 0 + h ) - f(x 0 ) indica en valor y signo la variación del valor

funcional provocado por el incremento h de la variable x. A esa diferencia se le llama “incremento de la función en el punto x 0 correspondiente al incremento h ” En la figura (1) este incremento es la medida del segmento QR. Consideremos ahora el cociente de ambos incrementos ,vale decir :

h

f(x (^) o +h)−f(xo)

A este cociente se le denomina “ cociente incremental en el punto x 0 ”. Es importante que comprendas que este cociente incremental indica la rapidez

promedio de variación de la función en el intervalo [ x0 , x 0 + h ]. Si disminuímos el valor del incremento h iremos obteniendo nuevas tasas promedio de variación de la función , en general diferentes (excepto si la función es del tipo f(x) = Kx en cuyo caso el cociente incremental dará siempre constante e igual a K). Si esa sucesión de valores del cociente incremental tiene límite finito para h 0

habremos obtenido la rapidez instantánea de variación de la función en x 0.

Es al valor de ese límite que hemos llamado “ derivada de la función en el punto x 0 ” Desde el punto de vista gráfico has visto que el cociente incremental es la tangente trigonométrica del ángulo QPR de vértice P, hecho que deduces de aplicar simplemente la definición trigonométrica de tangente en el triángulo PRQ y que te permite afirmar que el valor del cociente incremental es la pendiente o coeficiente angular de la recta PQ. El paso al límite que has efectuado posteriormente te permite entonces concluir que

el número real que has obtenido como derivada de la función f en el punto x 0 no es más que el coeficiente angular de la recta tangente al gráfico en el punto P.