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1
(2 − x +
x)dx
2 x −
x 2
2 x 3 / 2
4
1
(u.l.)
2
Por tanto:
´area de R = ´area de R 1 + ´area de R 2
(u.l.)
2 .
7.3 Vol´umenes de s´olidos de revoluci´on
Sea f una funci´on definida en el intervalo [a, b].
Recibe el nombre de s´olido de revoluci´on, el s´olido generado al girar alrededor del eje x, la regi´on limitada por
la gr´afica de y = f (x), el eje x y las gr´aficas de x = a y x = b. El eje x es un eje de simetr´ıa de dicho s´olido y
una secci´on recta perpendicular al eje x es un c´ırculo.
Figura 7.14:
Para determinar el volumen de este tipo de s´olidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el
´area de una regi´on, aproximando el “volumen” de un s´olido de revoluci´on por medio de una suma de vol´umenes
de s´olidos m´as elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.
Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los s´olidos elementales, asumiendo que el volumen de un
disco circular es, por definici´on, el producto del ´area A de la base por el espesor h (o altura).
h
Figura 7.15:
Consideremos una partici´on Pn del intervalo [a, b] determinada por el conjunto de n´umeros
{x 0 , x 1 , x 2 ,... , xi− 1 , xi,... , xn− 1 , xn},
donde ∆xi = xi− 1 − xi, con i ∈ { 1 , 2 , 3 ,... , n}.
Sea Tn = {t 1 , t 2 ,... , tn} un aumento de Pn.
Consideremos ahora los n discos circulares, cuyos sensores son ∆x 1 , ∆x 2 ,... , ∆xi,... , ∆xn, y cuyas bases tienen
radios f (t 1 ), f (t 2 ),... , f (ti),... , f (tn).
Figura 7.16:
El volumen del i−´esimo disco es:
π[f (ti)]
2 · ∆xi
La suma n ∑
i=
π[f (ti)]
2 · ∆xi
de los vol´umenes de los n discos nos da una aproximaci´on al volumen del s´olido de revoluci´on.
Podemos suponer que mientras m´as delgados sean los discos, mayor ser´a la aproximaci´on de la suma anterior
al volumen del s´olido.
Se tiene entonces la siguiente definici´on:
Definici´on 7
Figura 7.18:
Sea Pn una partici´on del intervalo [a, b] determinada por el conjunto de n´umeros {x 0 , x 1 , x 2 ,... , xi− 1 , xi,... , xn}
con ∆xi = xi − xi− 1 para i ∈ { 1 , 2 ,... , n}, y sea Tn = {t 1 , t 2 ,... , ti,... , tn} un aumento de Pn.
En este caso, los s´olidos elementales usados para obtener una suma de aproximaci´on del volumen del s´olido de
revoluci´on, ser´an anillos circulares.
Se muestra a continuaci´on el i−´esimo rect´angulo y el i−´esimo anillo circular generado al rotar aquel alrededor
del eje x.
Figura 7.19:
Figura 7.20:
Luego, el ´area del anillo circular es:
π[f (ti)]
2 − π[g(ti)]
2
por lo que el volumen del i−´esimo elemento s´olido ser´a:
∆Vi = π
[f (ti)]
2 − [g(ti)]
2
· ∆xi
Entonces, la suma de aproximaci´on para el volumen del s´olido de revoluci´on es:
n ∑
i=
π
[f (ti)]
2 − [g(ti)]
2
· ∆xi
Puede suponerse que mientras m´as delgados sean los anillos circulares, mayor ser´a la aproximaci´on de la suma
anterior al volumen del s´olido.
Definici´on 8
Si existe un n´umero V tal que dada ≤ > 0 exista δ > 0 para la cual
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
n ∑
i=
π
[f (ti)]
2 − [g(ti)]
2
∆xi − V
para toda partici´on Pn de [a, b] y todo aumento Tn de Pn, y con Np < δ, este n´umero de V es el volumen del
s´olido obtenido por revoluci´on del ´area limitada por las gr´aficas de y = f (x), y = g(x), x = a, x = b, alrededor
del eje x.
Si h es la funci´on dada por h = π
[f (x)]
2 − [g(x)]
2
para x ∈ [a, b], entonces la suma de aproximaci´on
n ∑
i=
π
[f (ti)]
2 − [g(ti)]
2
· ∆xi
utilizada en la definici´on ??, puede escribirse como:
n ∑
i=
h(ti) ∆xi
donde ti ∈ [xi− 1 , xi], ∆xi = xi − xi− 1.
Luego se tiene que:
V =
b
a
h(x) dx =
b
a
π
[f (x)]
2 − [g(x)]
2
dx
Ejemplo 7
Hallar el volumen del s´olido de revoluci´on generado al girar alrededor del eje x, la regi´on limitada por la gr´afica
de y =
x, y = 0, x = 1, x = 4.
Figura 7.22:
La suma de aproximaci´on del volumen es:
n ∑
i=
π(2 − ti)
2 · ∆xi
Luego, si f (x) = 2 − x, entonces el volumen del s´olido est´a dado por:
0
[f (x)]
2 dx = π
0
(2 − x)
2 dx
−π
(2 − x)
3
2
0
8 π
(u.l.)
3
Ejemplo 9
Hallar el volumen engendrado cuando la superficie limitada por la curva y = sen x, y las rectas con ecuaciones
y = 0, x = 0, x = π, gira en torno al eje x.
Soluci´on
La representaci´on gr´afica es la siguiente:
Si f (x) = sen x entonces:
- El volumen del i−´esimo rect´angulo es:
π[f (ti)]
2 · ∆xi = π(sen ti)
2 · ∆xi
- La suma de aproximaci´on del volumen es:
n ∑
i 1
π(sen ti)
2 · ∆xi
Figura 7.23:
- El volumen del s´olido est´a dado por:
∫ (^) π
0
π(sen x)
2 dx = π
∫ (^) π
0
1 − cos 2x
dx
π
x −
sen 2x
π
0
π 2
(u.l.)
3
Ejemplo 10
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje x, la superficie comprendida entre las
par´abolas con ecuaciones y = x 2 , y =
x.
Soluci´on
La representaci´on gr´afica de la regi´on y del i−´esimo rect´angulo es la siguiente:
Figura 7.24:
El volumen del i−´esimo anillo circular es:
En este caso tomamos x como la variable dependiente, y se tiene que el volumen del s´olido est´a dado por:
V =
0
π
[g(y)]
2 − [f (y)]
2
dy
0
π
[
y)
2 − (y
2 )
2
]
dy
1
0
π
y − y
4
dx
= π
y
2
y
5
1
0
π (u.l.)
3
Ejemplo 12
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor del eje y, la parte de la par´abola y
2 = 4ax, a > 0,
que intercepta la recta x = a
Soluci´on
La representaci´on gr´afica de la regi´on y del i−´esimo rect´angulo es la siguiente:
Figura 7.26:
El anillo circular tiene como radio m´aximo x = a, y como radio interior x =
y
2
4 a
Tomamos x como la variable dependiente.
El volumen del s´olido est´a dado por:
V =
∫ (^2) a
− 2 a
π
[
a
2 −
y
2
4 a
]
dy
= π
∫ (^2) a
− 2 a
a
2 −
y
4
16 a 2
dx
= π
a
2 y −
y 5
80 a 2
2 a
− 2 a
= π
2 a
3 −
32 a
5
80 a 2
− π
− 2 a
3
32 a
5
80 a 2
a
3 π (u.l.)
3
Ejemplo 13
Determinar el volumen del s´olido de revoluci´on generado cuando la regi´on limitada por las gr´aficas de las ecua-
ciones y = x
2 , y = 4, gira alrededor de:
- el eje y
- la recta con ecuaci´on y = 4
- el eje x
- la recta con ecuaci´on y = − 1
- la recta con ecuaci´on x = 2
Soluci´on
- La regi´on en el plano xy que gira alrededor del eje y es la siguiente:
Figura 7.27:
4 − t
2 i
El volumen del i−´esimo elemento s´olido es:
π
[
4 − t
2 i
] 2
· ∆xi
En general, el radio del s´olido generado es:
4 − y = 4 − x
2
Luego, el volumen del s´olido est´a dado por:
V =
2
− 2
π
4 − x
2
dx
= π
− 2
16 − 8 x
2
4
dx
= π
16 x −
x
3
x
5
2
− 2
= π
− π
π (u.l.)
3
- Note que al girar la regi´on alrededor del eje x, el i−´esimo elemento s´olido tiene como base un anillo circular.
El volumen del i−´esimo elemento s´olido es:
[
π(4)
2 − π(t
2 i
2
]
· ∆xi
Luego, el volumen del s´olido generado est´a dado por la siguiente integral:
V =
− 2
π
[
16 − (x
2 )
2
]
dx
2
− 2
π
16 − x
4
dx
= π
16 x −
x 5
2
− 2
= π
− π
π (u.l.)
3
Figura 7.29:
- La regi´on gira alrededor de la recta con ecuaci´on y = − 1
El radio m´aximo del anillo circular es y = 5 = 4 + | − 1 |
El radio interior del anillo es y = x
2
2
Figura 7.30:
El volumen del i−´esimo elemento s´olido es:
[
π(5)
2 − π
t
2 i
]
· ∆xi
