CALCULO I
DERIVADA IMPLICITA
Una ecuación de dos variables 𝐸(𝑥,𝑦)=0 puede tener una o más soluciones de "𝑦" en términos
de "𝑥" o de "𝑥" en términos de "𝑦". Estas soluciones son funciones de las que decimos que están
definidas implícitamente por la ecuación 𝐸(𝑥,𝑦)=0.
En esta parte del curso estudiaremos la derivada de tales funciones, la cual está basada en la regla
de la cadena. Por ejemplo la ecuación de la circunferencia 𝑥2+𝑦2=25 es la definición implícita
de cuatro funciones:
𝑦=±√25−𝑥2 , ∀ 𝑥∈[−5 , 5] , 𝑥 =±√25−𝑦2 , ∀ 𝑦 ∈[−5 , 5].
Sin embargo, no todas las funciones pueden ser definidas explícitamente mediante una ecuación.
Por ejemplo, no se puede resolver la ecuación: 3𝑥3+𝑥2−𝑥=2𝑦3−𝑦2+ 8 . Cuando no existen
condiciones que garanticen que una función definida implícitamente sea en verdad derivable, aquí
procederemos bajo la hipótesis de las funciones implícitas son derivables en la mayoría de sus
puntos de su dominio.
Cuando se presupone que "𝑦" es una función de 𝑥 podemos usar la regla de la cadena para derivar
la ecuación dada, pensando en 𝑥 como variable independiente. Podemos resolver después la
ecuación resultante despejando la derivada 𝑦′=𝑓′(𝑥) de la función implícita. Este proceso se llama
“derivación implícita”.
Ejemplos:
Derivar implícitamente respecto de 𝑥 las siguientes ecuaciones.
1) 𝑥3−3𝑎𝑥𝑦+𝑦3=𝑎3; 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
2) 2𝑥2−3𝑥𝑦+𝑦2+𝑥+2𝑦=8
3) 𝑥3+3𝑥2𝑦+𝑦3=𝑎3
Derivar implícitamente y hallar "𝑦′′ , expresando su respuesta en la forma más sencilla.
4) 𝑏2𝑥2−𝑎2𝑦2=𝑎2𝑏2
5) 𝑥3+𝑦3−3𝑎𝑥𝑦=𝑎3