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Aportaciones de la historia de las matemáticas a la educación moderna.
M. Kindt
Freudenthal Instituut, Universidad de Utrecht (Holanda)
El desarrollo de las matemáticas no avanzó de manera tan fluida como sugieren los libros de
texto.
Las matemáticas como producto acabado son muy distintas de las matemáticas en su
gestación. Casi siempre las ideas y los conceptos matemáticos son enseñados como requisitos
canónicos y casi nunca se plantea la pregunta: ¿ Por que de tal manera? o ¿ Cómo se llega a
estas cosas?
Cuando alguna vez un problema es resuelto, el método de la solución llega a ser la teoría,
que los profesores enseñan sin referencia al origen de la cuestión. Con Freudenthal se puede
hablar de ‘inversión anti-didáctica’. En este conferencia quiero exponer con ejemplos
concretos, especialmente tomados del calculo infinitesimal y del álgebra, que existe otro
camino de aprendizaje, que puede ser inspirando y instructivo para los estudiantes y,
además, que muestra que las matemáticas son obra human a.
Un descubrimiento geométrico de Isaac Barrow.
Isaac Barrow (1630 - 1677), el profesor de otro Isaac, es decir Newton, fue el primero en
reconocer la relación milagrosa entre los conceptos ‘tangente (de una curva)’ y ‘área’.
Escribió un libro sobre geometría (‘Geometric Lectures’) con un montón de dibujos, casi dos
por pagina de texto.
Voy a concentrarme en uno, que he adaptado un poco para esta conferencia:
a
y
a − a *
T
F
D
F *
D *
Z
V
K
E *
E
y *
a *
1
1
Explicación de la figura
- La curva ZE *E representa una función monótona.
- La cur va V F * F representa el área en cerrada entre el eje horizontal, la curva
ZE *E , y las verticales DE y VZ. Esta es
claramente una función de la abscisa de D. Es decir: los longitudes a* y a repre sentan respectivamente las áreas de
VDE Z y VDEZ.
- El punto T es constr uido de tal modo que la longitud del segmento DT es igual al cociente de FD y ED Entonces:
Afirmación: La linea TF es una tangente de la curva
VF *F
DT FD
ED
-------- a y
L
Demostración:
Supón que K es un punto de TF entre T y F.
Por demostrar: K es un punto a la derecha de la curva VF*F.
Por la construcción de T vale:
entonces
FL
LK
-------- FD
DT
= --------- = DE = y
... (I)
FL = LK ⋅ y
De otro lado: FL = a a* = área VDEZ área VDEZ = área DDEE < D*D y ... (II) ,
¡ya que la curva ZE*E representa una función monótona!
De (I) y (II) se sigue LK < DD, y entonces LK < LF
Así sabemos que K es a la derecha de la curva VF*F
Si prolongamos la recta TF , podemos demostrar de modo análogo que cada punto de la parte
prolongado está a la derecha de VF*F.
Entonces todos puntos de la recta, excepto F , están a la derecha de la curva y eso significa
que TF es el tangente de la curva en F.
C.Q.D.
Esta es, en versión reformulada, la demostración geometríca que Barrow dio del .... teorema
fundamental del Calculo Infinitesimal. Pero él no tuvo ningún conocimiento de esta rama de
las matemáticas, ¡ya que no fue inventada en esa epoca! Además su enfoque no mostró
ninguna vislumbre del enfoque infinitesimal.
. ¿ Qué nos aprende este fragmento de la obra de Barrow?
1. El principio del teorema fundamental del Análisis Matemático es visto antes la invención
del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz.
2. Los raíces del cálculo infinitesimal están en la geometría.
3. El contraste entre geometría y análisis es menos fuerte que muchos matemáticos piensen;
mejor es hablar sobre una diferencia de enfoques.
4. El enfoque geométrico - que es más intuitivo que el enfoque analítico - es subexpuesto en
la enseñanza del análisis.
En el mundo hay millones estudiantes que deben aprender análisis matemático.
¿Cuántas estudiantes saben algo del enfoque geométrico de Barrow?
¿Sea aconsejable enseñar cosas de la epoca ‘pre-cálculo’ , como la prueba admirable de
Barrow?
Claro que son preguntas retóricas.
En este conferencia quiero presentar unos ejemplos históricos que podrían servir como punto
de salida de un capitulo de álgebra o análisis, o mejor que podrían ser integrados en el curso
matemático para promover la comprensión.
Patronos y fórmulas
¿Quien conoce este fórmula?
1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n^2 =^16 --- n n ( + 1 ) ( 2 n + 1 )
En muchos libros de texto sobre Análisis no es más que un ejercicio de la inducción
matemática. A ver:
n ( n + 1 ) (^) 2 n + 1
Para cada valor de n vale: n ( n + 1 ) es par, ya que es el producto de dos números
consecutivos.
Además: si n = 3 m o n = 3 m + 2 , el producto n ( n + 1 ) es divisible por 3.
Si n = 3 m + 1 , el número 2 n + 1 nos ayuda, pues 2(3 m + 1) + 1 = 6 m + 3 es divisible por 3.
Este razonamiento puede ser hecho por alumnos jovenes de bachillerato.
Ahora nos remontamos mas o menos 2500 años en la historia.
Estamos en la escuela de Pitágoras. Los pitagóricos amaran muchísimo los números naturales.
Se representaran números como patronos geométricos de puntos, para poder descubrir
propiedades interesantes. Por ejemplo los números de la lista anterior:
n ( n + 1 ) 2 n + 1
Si quiere, sea posible dar el razonamiento anterior en términos de figuras de puntos.
Consideramos los números de la forma n ( n + 1). Se llaman números oblongos.
Hay al menos cuatro representaciones algebraicas interesantes.
n ( n + 1 ) n^2 + n 2 + 4 + ... + 2 n 2 ( 1 + 2 + ... + n )
Una conclusión de la última representación es:
1 + 2 + 3 + … + n =^12 ---^ n n ( + 1 )
Este fórmula determina números que se llama números triángulos .1 El número triángulo 10 (=
1 + 2 + 3 + 4) fue un número sagrado para los pitagóricos. Los números figurados dan una
oportunidad adecuada para ejercitar álgebra elemental. Investigar patronos y construir
1 A veces se pueden leer que los pitagóricos se dedicaran a las matemáticas a la playa, Harían los números figurados
con los dedos en la arena... Una otra versión romántica es que hicieron los números figurados con piedrecillas. Si no es verdad, es bien inventado.
formulas son actividades sentenciosas y desafiantes para los alumnos y el contexto histórico
puede dar un color cultural.
Consideramos un otro descubierto de la escuela de Pitágoras.
Entonces: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2.
Generalmente: la suma de una serie de números impares consecutivos, empezando con 1, es
igual a un cuadrado. La figura da una demostración de estilo paradigmático y segun mi
opinión es perfecto y muy claro.
Una representación más compacta:
Entonces tenemos:
1 + 3 + 5 + … + ( 2 n – 1 ) n
2 =
o más formal:
( 2 k – 1 ) k = 1
n
∑ n
2 =
Los pitagóricos aplicaran este fórmula para descubrir ternos pitagóricos. Si el último termino
de una suma de números impares es un cuadrado, obtenemos fácilmente tres números
naturales a, b, c con la propiedad a^2 + b^2 = c^2. Veamos:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 3 + 5 + 7) + 3^2 4^2 + 3^2 = 5^2.
1 + 3 + ... + 9 + ... + 23 + 25 = (1 + 3 + ... + 23) + 5^2 12^2 + 5^2 = 13^2
1 + 3 + ... + 9 + ... + 25 + ... + 47 + 49 = (1 + 3 + ... + 47) + 7^2 24^2 + 7 = 25^2
etc.
De ese modo se obtiene ternos pitagóricos con dos números consecutivos.
Este representación nos da la idea para una demostración visual de la fórmula para la suma
de cuadrados consecutivos:
2 n + 1
n
+^
+^
+^
1 - --^ n n 2
(^
Es un demostración intuitiva, ¡pero otra vez es muy convincente!
Además: después visto este figura, se puede memorizar la fórmula sin problemas.
Quizás, me gusta más este versión:
… n
= 3 --- 1 ( + 2 + 3 + … + n ) ( 2 n + 1 )
Euclides y Arquímedes, que vivieron unos siglos después Pitágoras, no han usado la
representación de números naturales por configuraciones de puntos. Usaron a veces
segmentos de líneas para presentar números.Aquí hay un lema de Arquímedes de su libro
‘Sobre Espirales’.
Sea A 1 , A 2 , A 3 , ... , A (^) n lineas en una progresión aritmetica creciente, cuya diferencia común es igual al primero termino, pues:
( n + 1 ) × C( An ) + A 1 × ( A 1 + A 2 + A 3 + ... + A (^) n ) = 3 × [ C( A 1 ) + C( A 2 ) + C( A 3 ) + ... + C( A (^) n ) ]
A 1 A 2 A (^) n − 3 A (^) n − 2 An − 1
An An − 1 An − 2 A 3 A 2 A 1
En notación ‘moderna’ :
A 1 = a , A 2 = 2 a , ... , A n = na y C( A k) = ( ka )^2
Sin problema podemos tomar a = 1, entonces tenemos:
( n + 1 ) n^2 + ( 1 + 2 + 3 + … + n ) =3 1 ( 2 + 2 2 + 3 2 + … + n^2 )
Esta fórmula es equivalente de la fórmula anterior.
Ya que:
( n + 1 ) n
2 2 n
1
= ⋅ 2 ---^ n n ( + 1 )= 2 n ( 1 + 2 + 3 + … + n )
y pues entonces:
( n + 1 ) n^2 + ( 1 + 2 + 3 + … + n )=( 2 n + 1 ) ( 1 + 2 + 3 + … + n )
Solamente debemos dividir por 3 y volvemos a obtener la fórmula anterior de la suma de los
cuadrados.
¿Cómo demostró Arquímedes este fórmula?
Usó como lemas estas dos identidades:
I 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n^2 = n + 3 ( n – 1 ) + 5 ( n – 2 ) + … + ( 2 n – 1 )
II 2 1 ( 2 + 2 2 + 3 2 + … + n^2 ) + 2 1 [ ( n – 1 ) + 2 ( n – 2 ) + 3 ( n – 3 ) + … + ( n – 1 ) 1 ] =( n + 1 ) n^2
Ya hemos vista la primera. Para la segunda existe una demostración visual también (distinto
de la demostración de Arquímedes que es un poco complicada). Arquímedes combinó las
identidades I y II por sumarlas y eso resulta en su fórmula.
Existen muchos ejercicios interesantes que dan la oportunidad a practicar cosas importantes
como razonar y generalizar.
Unos ejemplos para investigar:
- la suma de dos consecutivos números triangulares es un cuadrado
- 4 número oblongo + 1 son número cuadrado
- el producto de dos números oblongos consecutivos siempre es un número oblongo
- Nicomaco también introdujo ‘números pentagonales’ : 5, 12, 22, 35, 51, etc.
¿Cómo representarlos con patronos de puntos? ¿Qué fórmula?
Las tres fórmulas que pasaron, es decir:
1 + 2 + 3 + … + n =^12 --- n n ( + 1 )
12 + 22 + 32 + … + n^2 =^13 - -- ( 1 + 2 + 3 + … + n ) ( 2 n + 1 )
13 + 23 + 33 + … + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + … + n )^2
o después sustitución de la primera en las otras dos:
2 2
2 3
2 … n
**2
1 = 6 - -- n n ( + 1 ) ( 2 n + 1 )
13 + 23 + 33 + … + n^3 =^14 - -- n^2 ( n + 1 )^2
preguntan una continuación. En la historia se han desarrollado distintos métodos para
inventar estas sumas de potencias con exponente común.
Una primera observación es que el grado del polinomio que es igual a tal suma, parece a ser 1
más que el exponente común. Este hipótesis puede ser el comienzo de una investigación
continuada y para buscar un método más sistemático.
Hay una regla bastante sencilla, sobre la relación entre una sucesión de números reales y las
sucesiones de sus sumas respectivamente sus diferencias.
Si tenemos la sucesión
S 0 , S 1 , S 2 ,…
podemos definir la sucesión de las diferencias como:
S 1 – S 0 , S 2 – S 1 , S 3 – S 2 ,…
Llamamos
D (^) k = S (^) k + 1 – S (^) k
La sucesión de las sumas parciales de
D 0 , D 1 , D 2 ,…
es la sucesión:
D 0 , D 0 + D 1 , D 0 + D 1 + D 2 ,…
y es igual a
S 1 – S 0 , S 2 – S 0 , S 3 – S 0 ,…
Generalmente tenemos:
D 0 + D 1 + … + D n – 1 + D n = S 1 – S 0 + S 2 – S 1 + … + S n – S n – 1 + S n + 1 – S n = S n + 1 – S 0
A veces se habla aquí del ‘principio telescopio’.
Podemos escribir este resultado como
D k
k = 0
n
∑ = S^ n + 1 – S^0
De otro lado podemos escribir, usando el símbolo para diferencia:
∆ k
k + 1 S n
= Sk + 1 − S (^) k = Dk
Es por eso que podemos decir que y son operaciones inversas.
Este ley del ‘análisis discreto’ es análogo con el teorema fundamental del ‘análisis continuo’,
pero conceptualmente la versión discreta es mucho más fácil. Leibniz publicó en 1714 una
reflexión con el titulo ‘ Historia et origo calcli differentialis ’ y mencionó que las reglas sobre
las sucesiones le han inspirado por la invención del cálculo infinitesimal.
La idea para aplicar el ‘teorema fundamental del cálculo discreto’ es que cómunmente sea
fácil calcular diferencias de una sucesión.
Veamos la sucesión de los números cubos:
Inventar la fórmula para la sucesión de las diferencias, es decir
no da muchos problemas:
D (^) k = ( k + 1 )^3 – k^3 = 3 k^2 + 3 k + 1
Luego podemos sumar estas diferencias:
D k
k = 0
n
∑ ( n^^ +^1 )
3 – 0 3 3 k 2
k = 0
n
∑ 3 k k = 0
n
∑ 1 k = 0
n = = + + ∑
Entonces:
( n + 1 )^3 3 k^2 k = 0
n
∑ 3 k k = 0
n = + (^) ∑ +( n + 1 )
Supongamos conocido la fórmula para la suma 1 + 2 + ... + n y incógnita la fórmula para 1^2 +
22 + ... + n^2
Entonces podemos resolver la última fórmula por esa igualdad:
( n + 1 )^3 3 k^2 k = 0
n
∑
3
= + 2 ---^ n n ( + 1 ) +( n + 1 )
con el resultado que ya hemos visto.
Para hallar la fórmula para la suma 1^4 + 2^4 + ... + n^4 usamos la sucesión 15,^25 , 3^5 , ...
Dk ( k + 1 )
5 k
5
4 10 k
3 10 k
2 = = + + + 5 k + 1
Entonces
D k
k = 0
n
∑ (^ n^ +^1 )
(^5 5) k 4
k = 0
n
∑ 10 k^
3
k = 0
n
∑ 10 k^
(^2 5) k 1
k = 0
n
n
n = = + + ∑
Es interesante para estudiar la lista. Primeramente el signo de igualdad y el signo para la
suma atraen la atención. También podemos observar patronos. Por supuesto los coeficientes
de las potencias mayores que son terminos consecutivos de la sucesión armonica; se puede
entenderlo por el proceso inductivo. Los términos siguientes todos tienen
como coeficiente, pero es un poco más complicado explicarlo por el proceso inductivo. Los
coeficientes del termino de primero grados son llamados ‘números de Bernouilli’ ; juegan un
papel en distintos lugares del análisis.
1 2 ---
La pirámide, la parábola y la espiral
En el mundo hay millares libros de texto sobre ‘Calculo Infinitesimal’.
Mi estimación es, que 99% de estos libros, tanto en la universidad y como en el bachillerato,
tienen globalmente la misma ordenación. Es decir:
(1) continuidad y limite;
(2) la derivada y calculo diferencial;
(3) la anti-derivada y calculo integral;
(4) ecuaciones diferenciales.
Claro. Se necesitan el concepto de limite para poder definir la derivada y para demostrar las
reglas de derivación. Se necesitan conocer el calculo diferencial para poder calcular
integrales definidas o indefinidas. Se necesitan conocer el calculo integral para poder
resolver ecuaciones diferenciales.
Entonces, este ordenación es lógico y eficiente, pero.... es anti-histórica.
Además es típicamente una ordenación estructuralista y un enfoque ‘top-down’.
Dudo fuertemente si el enfoque tanto estructuralista del análisis sea sumamente favorable
desde el punto de vista de la didáctica. Quiero citar el alemano Otto Toeplitz (1926):
3
3 Mi aprendizaje de análisis matemático en la universidad era de tal modo. Es verdad, yo no tuvo muchos problemas
con la asignatura. Solamente en el comienzo: me ha costado no pocos quebraderos de cabeza por entender el método con épsilon y delta. Pude hacer los ejercicios, sí. Pero el método me pareció muy artificial. Después dos o tres meses entendí suficiente el núcleo de la idea.
Considerando todos los conceptos básicos del cálculo infinitesimal que hoy día enseñamos
como requisitos canónicos, por ejemplo el teorema de valor medio, el desarrollo de Taylor,
el concepto de convergencia, la integral definida, el cociente diferencial mismo, nunca se ha
planteado la pregunta: ¿Por que es así? ¿Cómo se llega a ellos? Sin embargo en algún
momento, estas cosas tuvieron que haber sido metas de búsquedas urgentes, o
contestaciones a preguntas candentes en su tiempo, es decir, en la epoca de su creación.
Si regresamos al origen de estas ideas, ellas perderían esta apariencia de estar muertas, de
ser hechos prefabricados, y en su lugar cobrarían nuevamente una vida fresca y vibrante.
El calculo infinitesimal tiene una historia muy larga, de hecho empezó en la antigüedad,
cuando los matemáticos griegos desarrollaran el método exhaustivo para determinar áreas y
volúmenes.
Voy a ilustrar este método primeramente a la pirámide. Si llamamos la altura a y (el área de)
la base B , tenemos la fórmula conocida:
V =^13 --- aB
B
a
a
b
A =^12 --- ab
La fórmula es conocida, pero no es trivial. Comparémosla con la fórmula del área de un
triángulo.
Alumnos jovenes pueden descubrir la segunda formula - solamente hay una complicación en
el caso de un triángulo obtuso -, pero para una cualquiera pirámide es verdaderamente
difícil.
A ver este dibuje de Agnes Denes.
De hecho es una pirámide escalonada, que es construida de cubitos.
Puedes creer o no, pero la pirámide tiene 100 pisos y la base contiene 100 por 100 cubitos.
La pregunta natural es: cuantos cubitos contiene este pirámide.
En la cima tenemos solo 1 cubito. En los pisos siguientes tenemos 2^2 , 32 , 42 etc.^ cubitos.
Entonces en total tenemos: 1^2 + 2^2 + 32 + ... 100^2 cubitos.
Por la fórmula sabemos que esa suma es igual a
--- × 100 × 101 × 201 = 338350
Este número difiere relativemente poco de un tercero de 1000000 (= 100^3 ) que es la cantidad
de cubitos del paralelepipedo que envuelve la pirámide.
Si miramos a la pirámide escalera por las pestañas, parece un pirámide continua.
La idea es que, refinando la división en los pisos, aproximaremos la razón
1 3 ---
Porque tanto
como
V
W
está en cada intervalo de la fila, vale:
1 3 - --
para n = 1, 2, 3, ...
V
W^ ------^
1
< – n
Para ellos que todavía dudan si
y
V
W
son iguales, podemos aplicar ‘reducción al absurdo’.
1 3 - --
Supongamos:
, entonces
V
W
es igual a un número positivo. Este número (diga p ) tiene un número finito de ceros después
de la coma. Todos los números de la sucesión infinita 0.1, 0.01, 0.001, ....
podrían ser mayor que p , que es absurdo.
V
W^ ------^
1
De hecho aplicamos el axioma de la continuidad de los números reales. Pero en el fase inicial
no es necesario explicitarlo.
Voy a comparar este prueba con un razonamiento de Arquímedes en una situación similar.
Concernió el área de una figura limitada por una espiral en comparación con el área de un
circulo, pero como veremos pronto es matemáticamente lo mismo como la comparación de
los volúmenes de una pirámide y un paralelepipedo. Traduzco el razonamiento en términos
modernos.
PArquímedes usó las dos desigualdades:
1 2 + 2 2 + … + n^2 n^3
-------------------------------------------- 13 --- y 1
(^2) + 2 2 + … +( n – 1 ) 2
n^3
> ----------------------------------------------------------^ <^13 ---
Es una consecuencia de la fórmula sobre la suma de los cuadrados consecutivos.
Claro que Arquímedes usó su propia versión, pero yo prefiero este prueba sencilla:
1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n^2 =^13 --- n n ( +^12 ---) ( n + 1 ) >^13 --- n^3
1 2 + 2 2 + 3 2 + … +( n – 1 )^2 =^13 --- ( n – 1 ) ( n –^12 ---) n <^13 --- n^3
Como hemos visto que se puede hacer la diferencia S n - s n menor que cualquiera número
positivo.
Supongamos
, entonces podemos tomar n de tal modo que
V
1
3 - -- W
V – 13 --- W > S n – s n (*)
Vale:
s n
W
(^2) + 2 2 + … +( n – 1 ) 2
n
1
o bien
s n <^13 --- W
Combinando con (*) obtenemos
V – 13 ---^ W > S n –^13 ---^ W
entonces:
V > S n
Pero S n es una estimación superior de V, entonces vale:
V < Sn
Por eso el hipótesis
es absurdo.
V >^13 - -- W
Análogamente se demuestra el absurdo del hipótesis
V <^13 --- W
El razonamiento de Arquímedes implica dos límites:
1 2 + 2 2 + … +( n – 1 )^2 n^3
n →∞
lim 13 ---^1
(^2) + 2 2 + … + n 2
n^3
n →∞
= = lim
Para su demostración usó dos igualdades, deducidos por su fórmula de la suma de cuadrados.
¡Pero de hecho este artillería es demasiado gruesa!
Podemos deducirlas por una otra desigualdad:
3 ( n – 1 )
2 n
3
( n – 1 )
3
2
Se puede entender esa desigualdad mirando los bloques......
n (^) − (^) (^1) (^1) n
Supon que el intervalo es partido en n partes iguales. La diferencia de la aproximación por
exceso ypor defecto es igual al área del rectángulo envolvente dividido por n y entonces
puede ser hecho menor que cualquiera pequeño número positivo. Por este proceso limite
obtenemos el área del ‘triángulo parábolico’.
Vamos a calcular.
‘tira’ inferior superior
1
a n^ ---^
1 (^) n^ ---^ a ⋅^ ^^2
a n^ - --^
1 (^) n^ --- a ⋅^ ^^2
a n^ - --^
2 (^) n^ --- a ⋅^ ^^2
a n^ ---^
2 (^) n^ ---^ a ⋅ ^ ^^2 a n^ - --^
3 (^) n^ --- a ⋅^ ^^2 . . .
. . .
. . .
n - 1
n
a n^ - --^
n – 2 ^ ----- n -------- a ⋅^ ^^2
a n^ - --^
n – 1 ----- n -------- a ^
2 ⋅ a n^ - --^
n (^) n^ --- a ⋅^ ^^2
a n^ ---^
n – 1 ^ - ------ n ------ a ⋅^ ^^2
Entonces;
a^3 n^3
----- 1 ( 2 + 2 2 + 3 3 + … + ( n – 1 )^2 ) A
a^3 n^3
< <----- 1 ( 2 + 2 2 + 3 3 + … + n^2 )
y por uno razonamiento similar a lo que hemos vista con la pirámide, vale
A =^13 --- a^3
Volvamos
1
2
a la obra de Arquímedes. En ‘Sobre espirales’ da una definición que es equivalente con la
siguiente:
el lugar de los puntos que recorren una raya con una velocidad constante, mientras que la
raya gira alrededor su extremo con una velocidad angular constante, es una espiral.
Después un tratamiento de unas propiedades de esta curva, entre otros sobre la construcción
de la tangente en cualquiera punto, sigue una ‘proposición’ bonita sobre el área hecho por la
primera espira.
El área, encerrado por la primera espira de la curva y el segmento que une el punto de salida
con el último punto, es igual al tercero del área del circulo envolvente.
Para demostrar su proposición, Arquímedes usó el método de compresión y el principio de
reducción ad absurdo.
Para eso Arquímedes dividío el círculo en sectores congruentes. En cada parte tomó dos
menores sectores circulares que aproximan un ‘sector de la concha’ por defecto y por exceso.
La figura muestra una partición del círculo con radio r en diez sectores. La diferencia entre la
estimación superior ( S 10 ) y la estimación inferior ( s 10 ) es igual a la suma de los ‘segmentos
anillos’ y estos segmentos juntos forman exactamente un sector circular de la partición.
Generalmente vale:
S n – s n = C -- n - -
en que C es el área del círculo.
Entonces se puede hacer este diferencia menor que cualquiera número postitivo. Por eso las
dos aproximaciones del área de la espiral tienen el mismo valor limite.
Ahora el cálculo. Por la comodidad supongamos que la velocidad angular de la raya que
genera la espiral es 1 radial por segundo y también que la velocidad del; movimiento
rectilíneo es 1 cm por segundo.
Después una vuelta completa la distancia entre el punto de la espiral y el punto de salida es
igual a 2 .
Las distancias intermedias hasta el centro son respectivamente
n
--- ⋅ 2 π^2 n
--- ⋅ 2 π… n^ –^1 n
, , , ------------ ⋅ 2 π
Sea E es el área encerrado por la espiral y el último radio.
La razón de los áreas de dos sectores circulares con el mismo ángulo claramente es igual a la
razón de los cuadrados de sus radios. Entonces:
1
n^ ---^0
(^2 )
( n -- - )
2
… ( n - ---^ -- n – -----^1 - )
2
× ( + + + )
E
C^ ----^
1 n^ - --^
1
( n - --)
(^2 )
( n - --)
2
2
< < ×( + + + )
o bien:
