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Documento que contiene la solución de diferentes ejemplos relacionados con el cálculo integral, incluyendo la convergencia o no convergencia de expresiones integrales, el uso del teorema fundamental del cálculo y el cálculo simultáneo de múltiples integrales. El documento también incluye referencias a fuentes documentales.
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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral
100411 – Cálculo Integral
JORGE ELIÉCER RONDON DURAN
Autor
JOSÉ PEDRO BLANCO ROMEERO
Director Nacional
MARTIN GOMEZ ORDUZ Acreditador
Bogotá, D. C Agosto de 2010
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral
El presente módulo fue diseñado en el año 2007 por el Ing. JORGE ELIECER RONDON DURAN docente de la UNAD, ubicado en el CEAD de JOSE CELESTINO MUTIS, el Autor es de profesión ingeniero. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde hace varios años, empezando como tutor hasta el cargo que ocupa en la actualidad de coordinador nacional de Ciencias Básicas.
Como novedades se presentan otros aspectos didácticos que facilitan el estudio autónomo del cálculo integral, así como la estructura y contenidos solicitados por la VIMMEP y la ECBTI.
MARTIN GOMEZ, licenciado en física y matemáticas de la UPTC, tutor de tiempo completo de Yopal – Casanare, apoyó el proceso de revisión de estilo del módulo y dio aportes disciplinares, didácticos y pedagógicos en el proceso de acreditación del material didáctico, este trabajo se llevo a cabo en los meses de Julio y Agosto de 2009.
Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar públicamente bajo las condiciones siguientes:
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral
Las Unidades Didácticas que conforman el curso son: La Integración, Los Métodos de Integración y Las Aplicaciones de las integrales. En la primera unidad se desarrolla lo referente a la antiderivada o primitiva, la integral indefinida, la integral definida, el teorema fundamental del cálculo y las integrales impropias. La segunda unidad presenta lo relacionado con las técnicas de integración, iniciando con las integrales inmediatas producto de la definición de antiderivada, la integración por cambio de variable o también llamada sustitución, integración por partes, integración por fracciones parciales, integración de funciones trascendentales; tales como, exponencial, logarítmica, trigonométricas e hiperbólicas. La tercera unidad presenta las aplicaciones de la integración, tales como áreas bajo curvas, longitud de una curva, volúmenes de sólidos de revolución, la integración en la física, en la estadística y en la economía.
En los ejercicios propuestos, para las primeras temáticas, no se dan las respuestas ya que éstas son muy obvias, pero para las demás temáticas, se ofrecen las respuestas, con el fin de motivar el procedimiento de los mismos. Es pertinente desarrollarlos de manera metódica y cuidadosa; además, confrontar la respuesta obtenida con la dada en el módulo, cualquier aclaración compartirla con el tutor o el autor a través del correo jorge.rondon@unad.edu.co
Como el conocimiento se va renovando y actualizando, los aportes que se hagan al presente material serán bien venidos, esperando así una actividad continua de mejoramiento en beneficio de todos los usuarios del material. Como el material presenta las temáticas fundamentales, es pertinente complementar con otras fuentes como libros, de los cuales se presentan en la bibliografía, Internet y otros.
Es recomendable desarrollar el trabajo académico de manera adecuada, como se explicita en el modelo académico – pedagógico que la UNAD tiene, para obtener los mejores resultados del curso. El estudio independiente , como primer escenario, es fundamental para la exploración, análisis y comprensión de las temáticas. El Acompañamiento Tutorial , debe permitir complementar el trabajo realizado en el escenario anterior, especialmente en la aclaración de dudas, complementación y profundización pertinente. En este aspecto, se deben explorar las herramientas que estén a la mano para aprovechar de la mejor manera dichos recursos, así el grado de aprendizaje es más amplio y se verá mejor reflejado el aprendizaje autónomo.
El autor.
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA Lección 37: Volumen de sólidos de revolución: Método de casquetes cilíndricos 180 Lección 38: Volumen de sólidos de revolución: Método de rebanadas o discos.
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral
Tabla No. 1 Listado de integrales inmediatas. 21
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Figura No. 22 Superficie de revolución de y = x
Figura No. 23 Longitud de curva
Figura No. 24 Demostración longitud de curva
Figura No. 25 Longitud de curva paramétrica.
Figura No. 26 Arandelas
Figura No. 27 Solución volumen ejemplo No. 1
Figura No. 28 Solución volumen ejemplo No. 3
Figura No. 29 Casquetes
Figura No. 30 Desarrollo sólidos de revolución
Figura No. 31 Solución ejemplo No. 1
Figura No. 32 Solución ejemplo No. 2
Figura No. 33 Demostración casquetes
Figura No. 34 Rebanadas
Figura No. 35 Discos
Figura No. 36 Solución problema No. 1
Figura No. 37 Solución problema No. 2
Figura No. 38 Centro de masa
Figura No. 39 Centroide
Figura No. 40 Teorema de Pappus
Figura No. 41 Bombeo
Figura No. 42 Bombeo circular
Figura No. 43 Curva oferta - demanda
Figura No. 44 Excedente del consumidor
Figura No. 45 Excedente del productor
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral
Introducción:
Una dificultad que enfrento a la humanidad desde hace muchos siglos fue el cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos conocidos, quien enfrento primero este problema al parecer fue Eudoxo de Cnido por allá por el siglo IV antes de nuestra era. Eudoxo ideo el método de exhaucion el cual consistía en descomponer en partes muy pequeñas las aéreas y los volúmenes para luego componerlas y de esta manera obtener las superficies y los grosores de los cuerpos.
La Geometría griega se interesó pronto por las áreas de figuras en el plano y los volúmenes de cuerpos geométricos. También tempranamente descubrieron que el tratamiento de las figuras de contornos curvilíneos no era sencillo de abordar.
Algunos estudiosos de la antigüedad que se interesaron por el tema fueron:
KEPLER^1 Estaba interesado en las cónicas para su aplicación en la astronomía, por lo tanto, plantea el cálculo del área de una órbita considerándola que esta formada por triángulos infinitamente pequeños con un vértice en el Sol; esto da origen a un cálculo integral rudimentario. El estudio de los volúmenes lo retomo para el cálculo del vino al ver la inexactitud de la capacidad de los toneles.
GALILEO^2 Se interesa por la parábola, al estudiar la trayectoria de un proyectil y hallar la integral que expresa el espacio recorrido en un movimiento uniformemente acelerado.
LEIBNIZ^3 Sistematizo y logro un desarrollo eficiente.
Mayor información en el siguiente link:
http://www.matematicas.profes.net/archivo2.asp?id_contenido=
___________________ 1 2 Nació en 1571 en WEIL DER STADT y murió en RATISBONA en 1630 (Alemania). 3 Nació en 1564 en PIZA y murió en FLORENCIA 1642 (Italia). Por primera vez utilizo el símbolo (^) ∫ que aparece de estilizar la S de las sumatorias.
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Presentamos un cuadro con el resumen del contexto teórico de esta unidad
Denominación de los capítulos
CAPITULO 1: La integral indefinida
CAPITULO 2 La integral definida
CAPITULO 3 Teoremas que la sustentan
Asimilación de conceptos
Los lectores de la primera unidad la integración, estarán en capacidad de comprender los conceptos fundamentales del cálculo integral en cuanto a sus orígenes, diferentes clases de integración, la apropiación de la simbología empleada, los teoremas que la sustentan y tienen una visión general del curso.
Conceptos Estaadentrando^ Unidad al^ parteestudiante^ de^ conceptos en conceptos^ elementales más amplios^ para^ iry complejos empleados en el Cálculo Integral.
Competencias
De conocimientos
Contextuales:
Comunicativas:
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Valorativas:
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El cálculo ha sido una secuencia de áreas matemáticas entrelazadas, donde se utilizan principios de Álgebra, Geometría, Trigonometría, se debe destacar que para desarrollar el curso de Cálculo Integral, es pertinente tener claros los principios de las áreas nombradas y además los de Cálculo Diferencial, ya que como se dijo en el párrafo anterior, la integración es la opuesta a la diferenciación.
Lección 2: La Antiderivada
Para conceptuar la Antiderivada, comencemos por pensar que se tiene una función, digamos f ( x ), el trabajo consiste en encontrar otra función, digamos
D ( x ) tal que: D ' ( x )= f ( x ). Así D(x) es una antiderivada de f(x). Identificar una
función a partir de su derivada, consiste en hallar un “dispositivo” (técnica) que nos de todas las funciones posibles, donde f(x) es su derivada, a dichas funciones se les llama Antiderivada de f(x). El dispositivo para éste proceso es llamado La Integración.
Veamos un ejemplo sencillo: Sea f(x) = 2x, ¿cual será una función D(x) cuya derivada es 2x? Con algo se astucia y conocimientos sólidos en diferenciación podemos identificar que D(x) = x2.^ Veamos: Si derivamos D(x) = x^2 obtenemos f(x) = 2x.
Otro ejemplo: f(x) = cos(x), ¿cual será un D(x)? Debemos buscar una función cuya derivada es cos(x), evidentemente es sen(x), luego D(x) = sen(x).
Para la notación de antiderivada hubo diversas propuestas, pero la del gran
Matemático Leibniz es la más utilizada universalmente. (^) ∫ ... dx. Posteriormente se
analizará esta notación.
Para los ejemplos anteriores con la notación de Leibniz se tiene:
∫ (^2 x^^ ) dx = x^2 +^ c Para el otro:^ ∫ cos( x^ ) dx = sen ( x )+ c
Posteriormente se aclara el concepto de la c
DEFINICIÓN No 1:
Una función D(x) es una antiderivada de la función f(x), si:
D’(x) = f(x). Para todo x en el dominio de f(x).
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El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se le llama la Integral Indefinida de
f(x) y se puede escribir: (^) ∫ f ( x ) dx = D ( x )+ c
Demostración:
Como G(x) y F(x) son antiderivadas de f(x), entonces tenemos que: G’(x) = F’(x), por una definición previa que dice: si g’(x) = f’(x) entonces: g(x) = f(x) + c para todo x en el intervalo I abierto. Por consiguiente: G(x) = F(x) + c, para alguna constante c.
Ejemplo No 1:
Encontrar todas las funciones cuya derivada es f(x) = 4x^3 + 2.
Solución:
Una función puede ser x^4 + 2x + 5, ya que al derivarla obtenemos 4x^3 + 2. Luego: Si
f(x) = 4x^3 + 2, entonces D(x) = x^4 + 2x + 5, pero también puede ser D(x) = x^4 + 2x +
Ejemplo No 2:
Encontrar todas las funciones cuya derivada es: f(x) = sec^2 (x).
Solución:
Si recordamos sobre derivadas de funciones trigonométricas, podemos saber que la función cuya derivada corresponde a sec^2 (x), es tan(x), luego:
Si f(x) = sec^2 (x), entonces D(x) = tan(x) + C
TEOREMA:
Sean F(x) y G(x) antiderivadas de f(x) en un intervalo cerrado I, entonces:
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y y ∫
2
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Lección 3: Integral indefinida.
Conociendo el concepto de Antiderivada, podemos formalizar desde el punto de vista matemático la integral indefinida. Leibniz (1.646 – 1.716) a la Antiderivada la llamo Integral Indefinida, quizás pensando que este tipo de integrales incluye una constante arbitraria.
Luego podemos definir la integral indefinida de la siguiente manera:
Donde:
f(x) = Integrando
dx = diferencial de la variable,
D(x) = La integral de f(x)
c = constante de integración.
Veamos un poco esta nomenclatura matemática: Por definición de derivada tenemos:
dx
d ( ) = ( )⇒ '( )= ( )
La operación opuesta:
