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problemas en matemáticas:
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Aprendizaje basado en problemas en matemáticas: el concepto de fracción
Resumen
El presente artículo muestra diferentes aspectos sobre la intervención realizada en la Institución Educativa Politécnico Álvaro González Santana, con base en experiencias anteriores en las cuales se identificó la estrategia didáctica como elemento fundamental en el proceso de aprendizaje de la fracción. Además, se consideraron resultados de investigaciones sobre la implementación del ABP en la enseñanza de las matemáticas; hilados con teorías amparadas en el constructivismo. En este proceso, el aprendizaje surgió como efecto de la planeación e implementación de
situaciones problema, enmarcadas en un proceso de investigación cualitativa que permite a los docentes de matemáticas, en séptimo grado, reconocer los efectos de la utilización de la metodología ABP para desarrollar competencias como la resolución de problemas, y que estas se concreten con el desarrollo del pensamiento matemático involucrando la fracción y sus significados.
Palabras clave: educación, estrategia didáctica, enseñanza, aprendizaje, problemas.
Aprendizaje basado en
problemas en matemáticas:
el concepto de fracción
Learning based on mathematical problems: the fraction concept
Deisy Marieta Cristancho Cárdenas* Leidy Yalima Cristancho Cárdenas**
Fecha de recepción: 13 de diciembre de 2016 Fecha de aceptación: 2 de julio de 2017
Artículo de reflexión
- Institución Educativa Politécnico Álvaro González –Boyacá, Colombia deisycriscar@hotmail.com ** Institución Educativa Politécnico Álvaro González
- Boyacá, Colombia leidycris21@hotmail.com
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Deisy Marieta Cristancho Cárdenas - Leidy Yalima Cristancho Cárdenas
Abstract
This article shows different aspects of the intervention carried out at the Educational Institution “Álvaro González Santana”, based on previous experiences in which the didactic strategy was identified as a fundamental element in the learning process of the fraction. In addition, research results on the implementation of ABP Methodology in the teaching of mathematics were considered; Spins with theories covered in constructivism.
In this process, learning arose as an effect of the planning and implementation of problem situations, framed in a qualitative research process that allows math teachers, in seventh grade, to recognize the effects of using the ABP methodology to develop competences like the resolution of problems, and that these are materialized with the development of mathematical thinking involving the fraction and its meanings.
Keywords: education, didactic strategy, teaching, learning, problems.
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Por otro lado, la investigación realizada por Silva Laya & Rodriguez (2011), identificó la importancia del trabajo colaborativo como puerta hacia la búsqueda de soluciones presentadas desde distintos puntos de vista, por lo que la evaluación individual se convierte en cíclica de acuerdo con la teoría constructivista desde el error o el acierto del estudiante, una vez que retorna a la solución desde la socialización.
Al respecto, Fuenlabrada et al. (2005) reafirman la importancia de permitir a los niños ensayar formas novedosas y particulares de resolver problemas más allá de los métodos convencionales; los alumnos, con acercamientos más creativos, podrían socializar sus procedimientos y colaborar con sus compañeros en el desarrollo de estrategias, explotando así la zona de desarrollo próximo sugerida por Vygotsky.
Así mismo, Perera & Valdemoros (2009) mostraron que se favoreció la consolidación de la noción de fracción y de algunos de sus significados (relación parte-todo, medida, cociente intuitivo y rudimentos de operador multiplicativo) en cuarto grado de educación primaria. Todo esto, a través de la resolución de situaciones problemáticas de la vida real, planteadas en el programa de enseñanza, en las que el niño reconstruyó mentalmente sus experiencias cotidianas en un ambiente de interacción donde prevalecieron actitudes lúdicas durante el desarrollo de la enseñanza experimental de las fracciones.
Al respecto de la metodología utilizada, Angulo & Castaño (2011)
contrastaron el uso de varias estrategias metodológicas frente a la tradicional, resaltando las ventajas de cada una de ellas, especialmente en la estrategia didáctica ABP, ya que mejora el proceso enseñanza-aprendizaje, debido a las diversas formas de trabajo que propone, donde el estudiante interactúa con el conocimiento y lo potencia, encontrando el sentido de la temática que está aprendiendo y su importancia, mientras que el docente interactúa con los estudiantes actuando como guía, facilitando el proceso enseñanza- aprendizaje de las matemáticas.
Por su parte, Díaz (2010) estima que no es lo mismo hacer un ejercicio que resolver un problema, ya que en el primer caso se aplica un algoritmo, mientras que en el segundo el estudiante debe dar una explicación con respuestas coherentes a las condiciones que plantea, llegando a ser consciente de la responsabilidad que asume en el proceso de enseñanza- aprendizaje (Caseida & Dávila, 2006). Al respecto, Hidalgo et al. (2015) concluyen que la estrategia del ABP mejora sustancialmente el proceso de aprendizaje de las matemáticas, puesto que evidenciaron que los educandos fortalecieron y mejoraron sus destrezas cuando se enfrentaron a la solución de un problema, generando ambientes más amables a los participantes, dado que el ABP estimuló la investigación tanto grupal como individualmente, haciendo que se profundice y se tenga mejor comprensión de los saberes adquiridos durante el proceso de formación.
De acuerdo con los estudios revisados, se estableció una conexión lógica que sirvió como reflexión inicial para el
Por su parte, Díaz (2010) estima que no es lo mismo hacer un ejercicio que resolver un problema, ya que en el primer caso se aplica un algoritmo, mientras que en el segundo el estudiante debe dar una explicación con respuestas coherentes a las condiciones que plantea, llegando a ser consciente de la responsabilidad que asume en el proceso de enseñanza- aprendizaje (Caseida & Dávila, 2006).
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objetivo de la investigación que se describe en este artículo. Se observó que la noción parte-todo con la que generalmente se enseña el número fraccionario, tiene implicaciones que dificultan en los estudiantes la resolución de problemas; y que, tanto docentes como estudiantes, se preocupan por la teoría sin fundamento y de manera memorística, generando en el estudiante la concepción de relevancia únicamente para lo procedimental, alejándolo de una verdadera y consciente disposición de búsqueda de estrategias de solución y dejándolo en el conformismo de ideas pobres y erróneas a cerca de la fracción y sus significados. De ahí que, se considerara como válido un análisis profundo sobre la estrategia didáctica y su implicación en el aprendizaje de la fracción, repensando la forma como se presenta en el aula la fracción y su relación con los diferentes significados y representaciones.
Siguiendo con Silva Laya & Rodriguez (2011), quien se preocupó por identificar factores en los que también fallan los estudiantes en la resolución de problemas, como lo es la no utilización de saberes previos. Lo cual reafirmó Fuenlabrada et al. (2005), considerando que los estudiantes deben resolver problemas a partir de sus conocimientos anteriores. Es decir, la forma en que el estudiante aborda el problema para resolverlo tiene que ver, además, con la metodología utilizada por el docente.
Continuando con Perera & Valdemoros (2009), se concluyó que era necesario implementar una estrategia didáctica basada en la resolución de problemas
para poder subsanar las fallas que presentaban tanto estudiantes como docentes; puesto que, el abordar los problemas desde los conocimientos previos del estudiante permitió desarrollar la “construcción de significados elementales del concepto fracción”(Pag. 54). Según esto, se podría señalar que el discurso correcto del docente es incomprendido debido a la acumulación de un conocimiento, que se convierte en obstáculo cuando, en aras de un conocimiento nuevo, se aparta totalmente la experiencia del conocimiento anterior y contextualizado por el estudiante.
En síntesis, los estudios mencionados anteriormente, confluyeron en las dificultades que tenían los estudiantes para la resolución de problemas con la fracción y que, en su mayoría, se debían al hecho de obviar los conocimientos previos y a la utilización de una metodología que distaba del contexto. Por ende, la metodología en la aplicación de la fracción y sus significados, fue también objeto de análisis a partir de varios estudios de investigación realizados, en los cuales se identificó el Aprendizaje Basado en Problemas como una de las metodologías utilizada para superar dichas dificultades.
Por todo lo expuesto anteriormente, la aplicación del ABP para el aprendizaje de la fracción y sus significados, es una propuesta válida para que los estudiantes desarrollen Habilidades de comunicación, trabajo en grupo y capacidades de análisis, mientras aprenden a aprender pensando (Vázquez Buenfíl, 2008), identificando
Siguiendo con Silva Laya & Rodriguez (2011), quien se preocupó por identificar factores en los que también fallan los estudiantes en la resolución de problemas, como lo es la no utilización de saberes previos.
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Entonces, Romero & García (2008) plantean que una situación problema debe ser abierta, sin mostrar las estructuras conceptuales que pretende desarrollar, presentar diversas soluciones en un nivel general o avanzado, y siempre estar amarrada a situaciones reales posibles en sí mismas de ser imaginables. Esto es lo que Streefland (1991) plantea como modelos didácticos que favorecen a los estudiantes en el logro de estadios más elevados de la comprensión, similar a la noción de Vygotsky (1978), en la que la posibilidad de volver a las fuentes debe ser un camino libre y amplio en el que el estudiante avance en el conocimiento matemático, apoyado en la pertinencia del problema ABP. Es decir, el potencial de aprendizaje está dado en la medida en que el estudiante puede volver a un nivel más bajo, aun habiendo alcanzado niveles mayores en la comprensión (Escalona, 2009).
Al respecto, Streefland (1991) indica que la situación problema se ha de desarrollar como un gran reto; pues, los estudiantes lograrán mayores niveles de comprensión solo si dicho problema ha transitado en un crecimiento inter es decir, ha evolucionado en sí misma. Exigencia de ello serán los conceptos matemáticos reconocidos por los estudiantes mediante actividades como planear, identificar, explicar, comparar y plantear soluciones; las cuales han de estar intrínsecas al problema.
La fracción y sus significados como estructura conceptual desde ABP
Steinbring (1997) resalta la relación que existe entre los signos y los contextos,
desde el triángulo semántico que propone en el estudio del significado que tienen los conceptos matemáticos. Con base en lo anterior, en este artículo utilizamos el triángulo semántico como fundamento teórico de porqué el concepto matemático fracción ha de ser estudiado como estructura conceptual desde sus diferentes significados mediante situaciones problema a partir de ABP, reinterpretando el triángulo semántico como el marco de tres elementos fundamentales para este estudio: el concepto fracción, los significados que tiene la fracción y situaciones problema ABP en las que se encuentra implícito dicho concepto.
Por consiguiente, la fracción se toma como un concepto plurisemántico que desarrolla una estructura conceptual desde y a través de las representaciones: parte todo a/b, cociente o notación decimal 1.3, porcentaje 32% y razón 5:2, las cuales dotan de significado al concepto siendo estas el medio de análisis para situaciones naturales al contexto social del estudiante. Dichas representaciones se articulan para el diseño de situaciones problema ABP que emergen de la realidad en contexto.
Metodología
El estudio fue realizado bajo el paradigma cualitativo, mediante la investigación acción. Cabe resaltar que las reflexiones contempladas en este artículo son válidas únicamente para el contexto de los niños de séptimo grado de la IEPAGS. De esta manera, se identifica el enfoque crítico social en la medida en que se plantea el interés por estudiar las dificultades que
Esto es lo que Streefland (1991) plantea como modelos didácticos que favorecen a los estudiantes en el logro de estadios más elevados de la comprensión, similar a la noción de Vygotsky (1978),
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presentan los estudiantes al solucionar problemas que involucran la fracción y sus significados, y que requiere la participación activa de los integrantes de la comunidad estudiada para plantear posibles alternativas de solución, frente a la problemática identificada desde la necesidad de mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje, dejando implícito además la autorreflexión de la propia práctica, tal como lo menciona Popkewitz (1988). En efecto, se abordó dicha problemática desde el contexto propio de los estudiantes y analizó desde el actuar docente, lo que precisamente convoca el tipo de investigación acción (Murillo, 2011) permitiendo al docente ser mediador irreemplazable de la teoría y la práctica (Elliot, 2000).
Todo lo anterior con el propósito de responder al interrogante: ¿Qué efecto tiene la metodología de Aprendizaje basado en problemas en el aprendizaje de la fracción y sus significados?, cuyo objetivo general fue, a través del aprendizaje basado en problemas, desarrollar actividades académicas orientadas al concepto de la fracción y su aplicación, en estudiantes de séptimo grado; con dos objetivos específicos: “Diseñar situaciones problema y aplicarlas con la metodología ABP a estudiantes de séptimo grado para el aprendizaje de la fracción y sus significados” y “Evaluar el efecto del ABP en el aprendizaje de la fracción, sus significados y la solución de problemas”.
Cada uno de los objetivos específicos establecidos, fueron anclados a los ciclos de la investigación acción para las cuales se estableció un propósito
que permitiera dar cumplimiento a dichos objetivos. Los propósitos fueron validados a través de argumentos teóricos que dan paso a las actividades que se detallan en el diagnóstico y la aplicación de los instrumentos utilizados.
En el primer ciclo de investigación, el propósito fue detectar el problema mediante un diagnóstico dividido en tres etapas: Test “Significados y representaciones de la fracción”, Taller “Dificultades de análisis en la aplicación de la fracción y sus significados”, y cuestionario “percepción de la metodología utilizada”. Cada uno de estos instrumentos de diagnóstico, posteriormente, fueron validados por el juicio de un experto, y tenían como fin medir el grado de interpretación de las diferentes representaciones de la fracción y las relaciones que establecían los estudiantes con los significados del concepto, capacidad del estudiante para plantear soluciones realizando algoritmos y apoyado en sus saberes anteriores, e identificar la percepción de los estudiantes frente a las actividades propuestas dentro del aula y la importancia que daba el docente a cada una de ellas.
En el segundo ciclo elaborar el plan, el propósito fue diseñar situaciones problema a partir de ABP, con base en la temática del curso: Perímetros y áreas, Volúmenes y Estadística. Situación que exigió de las investigadoras, además del conocimiento de la disciplina, creatividad para poder conectar la temática del curso con situaciones reales del entorno y que además estuvieran a nivel cognitivo de la comunidad
En el primer ciclo de investigación, el propósito fue detectar el problema mediante un diagnóstico dividido en tres etapas: Test “Significados y representa- ciones de la fracción”, Taller “Dificultades de análisis en la aplicación de la fracción y sus significados”, y cuestionario “percepción de la metodología utilizada”.
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significados”, mostró que la actitud inicial de los estudiantes fue empezar a realizar operaciones básicas, como: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, con las cuales pretendían dar soluciones a los ejercicios propuestos. Dichas soluciones revelaron análisis pobres y, en la mayoría de los casos, ni siquiera existió comprensión sobre la pregunta del ejercicio. Además, las soluciones planteadas se limitaban a operaciones básicas y dejando de lado aspectos como las unidades de medida que intencionan las magnitudes y que han de ser tenidas en cuenta como eje fundamental para la interpretación del significado de la fracción (Godino & Batanero, 2002).
Adicionalmente, los estudiantes presentaron problemas de comprensión en la medida fraccional, pues la conceptualización de la fracción no se dio como tal, sino que desde los números naturales los estudiantes contaban tanto las partes que hacían parte de un todo como las partes del todo; es decir, para el estudiante una parte de un todo no podía ser menor a la unidad, entendida esta como una de varias (Obando et al, 2006). Además, los algorítmos que plantearon, hacían referencia a los números naturales sin llegar a comprender cuando se deseaba medir una determinada magnitud en la cual la unidad no estaba contenida un número entero de veces en la magnitud que se quería medir.
Un tercer instrumento de diagnóstico fue el cuestionario con preguntas, con las cuales se pudo evidenciar que para la gran mayoría de los estudiantes, el profesor valoraba más la respuesta
que el procedimiento. En relación con lo anterior, podemos reinterpretar a Kamii (1994), cuando se refiere a la necesidad que el docente permita que los estudiantes construyan las estructuras conceptuales de los conceptos matemáticos, paso a paso, desde sus conocimientos anteriores, y no desde ejercicios en los que se aplican las fórmulas que generalizan el concepto desde situaciones concretas o ejemplos, y que luego tendrán que ser mecanizadas y replicadas por el estudiante para evidenciar que ha “aprendido” (Obando et al, 2006).
Entonces, los estudiantes manifestaban que la metodología utilizada con ellos apuntaba hacia el desarrollo de ejercicios modelo, en los cuales se les valora únicamente la respuesta desconociendo el camino que el estudiante ha transitado para llegar a ella, como lo evidencia el mismo cuestionario en el que los estudiantes expresaron que la mayoría de actividades propuestas por el docente en el aula correspondían a talleres que desconocen las características del trabajo en equipo y desligan procesos de análisis y comprensión, los cuales quedaron en último lugar de las actividades propuestas en el aula, y que, según los estudiantes, el docente consideraba relevantes para lograr los aprendizajes, dando mucha mayor trascendencia al respeto y la disciplina, lo que dejó entrever un sistema tradicional de clase magistral impartida por el docente.
Por tanto, los estudiantes expresaron que las actividades encaminadas al análisis, a valorar cómo aprenden y potencian los conocimientos acumulados en años
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anteriores de estudio, se han dejado de lado, constituyendo la enseñanza en la solución de algorítmos con respuestas correctas, como un molde en el que todos han de caber, haciéndose menos competentes y en el que tanto docentes como estudiantes se niegan la posibilidad de enseñar y aprender a pensar (Kamii, 1994).
Una vez realizado el diagnóstico e identificada la problemática, se pensó la enseñanza de la fracción y sus significados en concordancia con el MEN (2006) y los derechos básicos de aprendizaje para grado séptimo, que definen la competencia a desarrollar como la resolución de problemas utilizando la fracción y sus significados y mediante una propuesta didáctica basada en la solución de problemas (con las actitudes y habilidades que deben ponerse en acción), la cual implicó que los instrumentos y criterios a valorar no fueran los tradicionales, pues en este punto pierde protagonismo el limitarse a cotejar el resultado obtenido con el correspondiente a una operación y cobra importancia la consideración del proceso de acción y de las actitudes con respecto a proponer soluciones y atender las propuestas de otros. Lo cual fue el punto de partida para elaborar el diseño cuantitativo y medir los indicadores, según la valoración de los ítems establecidos en las tablas de valoración diligenciadas por cada estudiante en cada una de las situaciones problema.
La evaluación de los ítems se realizó teniendo en cuenta el Índice Sintético de Calidad Educativa (ISCE) en su componente Progreso, de manera que se asemejó el nivel insuficiente con
el criterio de valoración “no puede hacerlo”; y el nivel avanzado, con el criterio de valoración “seguro de hacerlo”. Es decir, a más estudiantes en “no puede hacerlo” y más estudiantes en “seguro de hacerlo”, se consideró el indicador como una debilidad; a menos estudiantes en “no puede hacerlo” y menos estudiantes en “seguro de hacerlo”, se consideró oportunidad; a menos estudiantes en “no puede hacerlo” y más en “seguro de hacerlo”, se consideró fortaleza; y más estudiantes en “no puede hacerlo” y menos estudiantes en “seguro de hacerlo”, se consideró amenaza.
Por lo tanto, las categorías se catalogaron de acuerdo con el número de ítems que cada indicador tuvo en debilidades, oportunidades, fortalezas y amenazas. Se encontró que indicadores como: Presenta la información organizada, interviene en la solución del problema, expresa con claridad sus puntos de vista, comprende la información que expone e identifica sus necesidades de aprendizaje, entre otros, se ubicaron como oportunidades y fortalezas, dejando muy poco en debilidades y amenazas. Dentro de las amenazas, se ubicó el uso de la fracción como razón, siendo esta la principal dificultad encontrada en el diagnóstico, lo que sugiere que al respecto es importante seguir profundizando en la aplicación de la fracción dentro de contextos que así la requieran.
Conclusiones
La intervención en el aula realizada con los estudiantes de séptimo grado de la IEPAGS, dio oportunidad para identificar amenazas y debilidades
Dentro de las amenazas, se ubicó el uso de la fracción como razón, siendo esta la principal dificultad encontrada en el diagnósti- co, lo que sugiere que al respecto es importante seguir profundizando en la aplicación de la fracción dentro de contextos que así la requieran.
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