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Universidad Nacional de San Juan
Facultad de Ciencias Sociales
Departamento de Ciencias Económicas
MATEMÁTICA I
Equipo de Cátedra : Profesora Titular: Prof. Eliana Perona Profesor Adjunto: Prof. Paola Baiutti Profesor Adjunto: Lic. Daniela Gámez
Jefe de Trabajos Prácticos: Prof. Natalia Recabarren Prof. Margarita Rodríguez Prof. Johana Rodríguez
FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ECONÓMICAS
Guía de Aprendizaje Nº 1
SISTEMAS NUMÉRICOS
Ejemplo:
0. 333 ... 0. 3 ;^196
0. 25 ;^9
0. 75 ;^7
Un número racional puede ser representado por más de una fracción. En el ejemplo anterior se observa que el número 0.75 está representado por las fracciones 12
3 y éstas reciben el nombre de fracciones equivalentes entre sí. En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Así, por ejemplo, en el caso de un par de segmentos como la diagonal y el lado de un cuadrado en los que el cociente entre sus longitudes no constituye un número racional, pues su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón específico. Estos números se llaman irracionales , ya que no es posible expresarlos como una razón entre enteros (no admiten la representación racional). Al conjunto de los números irracionales se lo simboliza I.
Los números irracionales tienen en su expresión decimal infinitas cifras decimales no periódicas.
Se llaman así porque nunca pueden expresarse como un número racional, es decir como cociente de dos números enteros. Por ejemplo: 2 = 1. 414213562 .... y todas aquellas raíces de índice par o impar cuyo resultado no es exacto. e = 2. 7182818 ..... que es base de los logaritmos naturales = 3. 141592654 .... que se utiliza por ejemplo en el cálculo de la longitud de la circunferencia o del área del círculo.
El conjunto de los números reales , R, está formado por el conjunto de los números racionales (que incluyen a los naturales y enteros) y el conjunto de los números irracionales .En símbolos: 𝑅 = 𝑄 ∪ 𝐼
Hay algunas situaciones que no tienen solución dentro del conjunto de los números reales. El ejemplo más sencillo es la ecuación 𝑥^2 + 1 = 0 , dado que no existe ningún número real que elevado al cuadrado sea igual a - 1, esta ecuación no tiene raíces reales. Una ampliación del conjunto de los números reales donde sí tienen respuesta los planteos como el anterior, es el conjunto de los números complejos ( C ) cuyo análisis no se abordará en este curso.
Nota: Se recuerda que para expresar que un elemento (número) pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo , que se llama pertenencia , y si no pertenece: Ejemplo: 1 N ; 2 Q Para expresar que un conjunto está incluido en otro se usa el símbolo , que se llama inclusión , y si no está incluido: El conjunto de los números enteros está incluido en el conjunto de los números reales, en símbolos Z R. El conjunto de los números racionales no está incluido en el conjunto de los números irracionales, en símbolos Q I. Para expresar la unión o intersección de dos conjuntos, se utilizan los símbolos ∪ y/o ∩ respectivamente. Ejemplo: 𝑁+^ ∪ { 0 }^ ∪ 𝑁−^ = 𝑍 , (− 3 ; 6 ]^ ∩ ( 0 ; ∞)^ = ( 0 ; 6 ]
1. Intervalos en el Conjunto de Números Reales Los subconjuntos más frecuentes en el cálculo o análisis matemático son los intervalos de la recta real. Se verá las definiciones de los distintos tipos de intervalos utilizando la notación conjuntista y, además, su representación gráfica considerando que a R y que b R.
1 .1. Intervalos Acotados 1 .1.1. Intervalo Cerrado [𝒂, 𝒃] (^) = {𝒙 ∈ 𝑹/𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃}
El intervalo incluye a los extremos a y b. Geométricamente se representa en la recta real en la forma:
1 .1.2 Intervalo Abierto (𝒂, 𝒃) (^) = {𝒙 ∈ 𝑹/𝒂 < 𝒙 < 𝒃}
El intervalo no incluye a los extremos a y b. Geométricamente se representa en la recta real en la forma:
1.1.3. Intervalos Semiabiertos o Semicerrados
(𝒂, 𝒃] = {𝒙 ∈ 𝑹/𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃}
[𝒂, 𝒃) = {𝒙 ∈ 𝑹/𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃}
Los intervalos incluyen a uno solo de sus extremos.
Se encuentra el m.c.m. (3,4,6)=
4
2 .2. Producto
El producto de dos o más números racionales es otro número racional, cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores de los números dados. Dados s
y r q
p entonces qs
pr s
r q
p .
Siempre hay que tener en cuenta que la regla de los signos para multiplicación de números reales es
− + = −
Ejemplo:
35
. .( ). .( ). .( )
2 .3. Cociente
El cociente de dos números racionales es otro número racional que se obtiene multiplicando el primero por el inverso del segundo. Dados s
y r q
p entonces r
s q
p s
r q
p : = •
La regla de los signos para el cociente es la misma que para el producto.
Ejemplo:
2 .4. Potenciación
Si a es un número real distinto de cero y n un número natural, se llama potencia de base a y exponente n al número 𝑎𝑛^ = 𝑎⏟. 𝑎........... 𝑎 𝑛−𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
En el caso de una fracción elevada a un exponente negativo:
n n a
b b
a
Y si es un número entero: n
n n a a
a^1 =^1
− = con a 0 y por lo tanto a
a −^1 =^1 con a 0
Recordemos que: a^0 = 1 , 2 .5. Radicación
Al símbolo se le llama radical.
Observación:
- Si n es par se tiene en cuenta algunas consideraciones: El radicando a debe ser mayor o igual que cero para que el resultado b sea un número real. Para conservar la unicidad en los resultados de ejercicios combinados, se considera que la radicación de índice par de un radicando real positivo da como resultado el valor absoluto de su raíz. En símbolos: Si a 0 yn esparn^ a = b , por ejemplo^4 16 = 2 = 2
n (^) an (^) = a , por ejemplo: (^4) (− 2 ) (^4) =− 2 = 2
n n (^) =
Ejemplo: (^3) (− 2 )^3 =− (^2) ;^5 75 = 7
3. Propiedades de las operaciones con números reales
3 .1. Propiedades de las operaciones elementales (suma, resta, producto y cociente): se puede citar las de uso más frecuente:
- La propiedad conmutativa vale para la suma y para el producto: a + b = b + a a. b = b. a
No vale para la resta ni para el cociente: a − b b − a
m
n n
m : n n : m o m
- La propiedad asociativa vale para la suma y para el producto: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ( a. b ). c = a .( b. c ) No vale para la resta ni para el cociente:
Si n es un número natural, para todo a R y b R vale:
n (^) a = b siysólosi bn = a donde 𝑎 es el radicando, n el índice y b la raíz n-ésima de a.
- Que corresponden a la propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto y al cociente de números reales respectivamente. Sin embargo, no se cumple, respecto a la suma y a la resta, es decir:
( a + b ) n^ an + b^ n ( a − b ) n^ an − b^ n
- Producto de potencias de igual base: 𝑎𝑚. 𝑎𝑛^ = 𝑎𝑚+𝑛
- Cociente de potencias de igual base: 𝑎𝑚: 𝑎𝑛^ = 𝑎𝑚−𝑛
- Potencia de potencia: (𝑎𝑛)𝑚^ = 𝑎𝑛.𝑚
3. 3. Propiedades de la radicación
- La radicación distribuye con respecto al producto y al cociente:
n (^) a. b = na. nb n
n n
b
a
b
a =
Pero no distribuye con respecto a la suma y a la resta: n (^) a b na nb
- Con respecto a la potencia, la radicación se puede expresar como potencia de exponente fraccionario: n
m
n a m = a
donde 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁 y 𝑧 ∈ 𝑍. Por ejemplo:^5
7
5 a^7 = a ;^8 2 3 = 283
En particular 𝑛√^ 𝑎= 𝑎
1 𝑛, por ejemplo:^5
1 (^5 11) = 11
- Con respecto a la raíz vale: 𝑛√^ 𝑝√𝑎 = 𝑛.𝑝√𝑎
- La raíz de un número no cambia si se multiplica (amplificación) o divide (simplificación) el índice de la raíz n y el exponente del radicando m por un mismo número p. 𝑛 √ (^) 𝑎𝑚= 𝑛.√𝑝𝑎𝑚.𝑝 𝑛 √ (^) 𝑎𝑚= 𝑛:√𝑝𝑎𝑚:𝑝 𝑜 𝑛√ (^) 𝑎𝑚= √𝑎
𝑛 𝑝 𝑚 𝑝
4. Operaciones combinadas
Ahora que ya se han revisado las operaciones con números reales y sus propiedades se pueden resolver ejercicios donde se combinan todas ellas, teniendo en cuenta que:
- Solo las operaciones de suma y resta separan términos de un cálculo con operaciones combinadas.
- Cuando aparecen paréntesis ( ) , corchetes [ ] y llaves { } se deben resolver las operaciones que estos encierran, respetando el orden citado. Otra manera de eliminar estos signos (en el mismo orden) es aplicando la regla de supresión:
a b c a b c
a b c a b c
a b c a b c
a b c a b c
Ejemplo: 5 +(8-7)= 5 + 8 - 7 = 6 5 - (8-7)= 5 - 8 + 7 = 4
- En el caso de no existir paréntesis, corchetes o llaves se considera el siguiente orden de resolución: 1º) Potencias y raíces. 2º) Productos y cocientes. 3º) Suma algebraica.
Ejemplo: Operaciones combinadas:
√^ 𝟑𝟏 𝟒 ⋅ √^ 𝟑𝟏 𝟐
𝟏 º 𝒕 é 𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐
𝟐 º 𝒕 é 𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐
−𝟏 ⏟ 𝟑 º 𝒕 é 𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐
−
1 3 2 10
( 2 )^1
cociente de potencias de igual base
(^3) + − )^2 −( 10 )^1 = 2
(^1
(^1) Potencia de exponente negativo
(^1) + − =− resolución de suma algebraica
Es hora de hacer un alto en el camino para indagar qué sabemos hasta ahora de conjuntos numéricos y sus propiedades. Si no puede realizar las actividades planteadas, no se desanime, es porque necesita volver a leer nuevamente.
Actividad 1 ¿Cuáles son los intervalos de números reales que se pueden definir? ¿Puede representar cada uno en forma gráfica? Actividad 2 Realice un resumen de las propiedades que verifican las operaciones con números reales. Actividad 3 Resuelva el ejercicio 1 de Actividades I.pdf
No se verifica para x = 2 porque 8 2 10 2
2 − − ; el 2 no es solución.
No se verifica para x = 0 porque 8 0 10 2
0 − − ; el 0 no es solución.
3 .1. Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Se llama ecuación de primer grado con una incógnita a la igualdad del tipo a. x = b siendo a , b R y a 0. La característica fundamental de este tipo de ecuaciones es que la x está elevada a la potencia
Ejemplo: estas ecuaciones son de resolución inmediata: a) − 7. 𝑥 = 35 se verifica para x =− 5 ya que (− 7 ). (− 5 ) = 35 → 𝐶𝑆 = {− 5 } b) 5. 𝑥 = 2 se verifica para 5
x =^2 ya que 5. 2 5 =^2 →^ 𝐶𝑆^ =^ {
2 5 } Ocasionalmente se encuentran expresiones que aparentan ser ecuaciones de primer grado y que sin embargo no tienen solución o tienen infinitas soluciones. Veremos algunos ejemplos y más adelante justificamos los pasos de su resolución. Ejemplo: 2 𝑥 + 7 = 2 (𝑥 + 3 ) 2 𝑥 + 7 = 2 𝑥 + 6 2 𝑥 − 2 𝑥 = 6 − 7
- 𝑥 = - 1 no tiene solución porque no existe ningún valor real de x que multiplicado por 0 de por resultado - 1. → 𝐶𝑆 = ∅
Esto significa que 2 x + 7 = 2 ( x + 3 )no tiene solución. Ejemplo: 2 𝑥 + 7 = 2 (𝑥 + 3 ) + 1 2 𝑥 + 7 = 2 𝑥 + 6 + 1 2 𝑥 − 2 𝑥 = 6 + 1 − 7
- x = 0 tiene infinitas soluciones ya que se verifica para todo x R por ser una identidad. → 𝐶𝑆 = 𝑅
Esto significa que 2 𝑥 + 7 = 2 (𝑥 + 3 ) + 1 tiene infinitas soluciones.
3 .1. 1. Resolución de la ecuación de primer grado con una incógnita Para resolver una ecuación, se realizan transformaciones en ella, obteniendo ecuaciones equivalentes más sencillas. En estas transformaciones se utilizan las propiedades de las igualdades entre números reales (recordar que las letras representan números, aunque desconocidos). Se debe pasar de una ecuación a otra equivalente :
- sumando o restando a los dos miembros de la ecuación la misma expresión algebraica
- multiplicando o dividiendo los dos miembros de la ecuación por un mismo número (distinto de 0) o una misma expresión algebraica.
- efectuar en cada miembro las operaciones indicadas, quitar paréntesis, agrupar los términos en x , etc.
Al final, la ecuación más sencilla a la que podemos llegar es del tipo a. x = b llamada ecuación canónica , cuya única solución es: 𝑥 = 𝑏 𝑎 siendo a 0. Recordemos que:
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución o ambas carecen de él.
Ejemplo: las ecuaciones 8 3
x + x = y 3 x = 18 son equivalentes porque tienen la misma solución x = 6 . Para resolver una ecuación de primer grado tengamos en claro que cualquiera sea el camino que sigamos se busca la forma de despejar x mediante una serie de pasos que se debe justificar correctamente. Ejemplo: Dada la ecuación: 4 x − 10 = 2 x − 7 Sumamos a los dos miembros (- 2 x ): 4 x − 10 − 2 x = 2 x − 7 − 2 x Cancelamos términos en el 2º miembro: 4x - 2x- 10 =- 7 Sumamos a los dos miembros 10: 4 x − 2 x − 10 + 10 = 2 x − 7 + 10 Cancelamos términos en el 1º miembro: 4x - 2x=- 7 + 10 Obtenemos la ecuación equivalente: 2. x = 3 Que tiene por solución: 𝒙 = 𝟑 𝟐
Para resolver una ecuación existen distintos procedimientos. Se adopta aquél que resulte más conveniente según las preferencias y las dificultades que presente la ecuación. Dada la ecuación del ejemplo 16 4 x − 10 = 2 x − 7 Pasamos (2x) restando al 1º miembro^4 x −^10 −^2 x =−^7 Pasamos 10 sumando al 2º miembro 4x - 2x=- 7 + 10 Así obtenemos la ecuación equivalente: 2. x = 3 Que tiene por solución: 2
x =^3
Ejemplo: Dada la ecuación 8 +(2-3x)=-(3x-1) Aplicamos regla de supresión de paréntesis 8 + 2 - 3x = -3x+ 1 agrupando en el 1º miembro los términos de x -^ 3x+^3 x =^1 -^8 -^2 Así obtenemos la ecuación equivalente: 0. x =- 9 La última ecuación equivalente no tiene solución porque no se verifica para ningún valor real de x , ya que no existe un número real que multiplicado por 0 dé como resultado - 9. Esto significa que la ecuación 8 +(2-3x)=-(3x-1)tampoco tiene solución.
3 .2. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es de la forma 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con a 0.
La característica fundamental de este tipo de ecuaciones es que la mayor potencia a la que está elevada la variable x es 2. 2.2. 1. Resolución de la ecuación de segundo grado con una incógnita Las soluciones de la ecuación 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con 𝑎 ≠ 0 se calculan mediante la fórmula
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐^ − 𝟒𝒂𝒄
El doble signo que precede a la raíz indica que puede haber dos soluciones, llamadas también raíces
de la ecuación cuadrática:
𝑥 1 = −𝑏+√𝑏
(^2) − 4 𝑎𝑐 2 𝑎 y^ 𝑥^2 =^
−𝑏−√𝑏^2 − 4 𝑎𝑐 2 𝑎 Una ecuación cuadrática puede tener dos, una o ninguna solución real. La cantidad de soluciones depende de que la expresión 𝑏^2 − 4 𝑎𝑐, llamada discriminante de esta ecuación, como se puede observar en el siguiente recuadro:
Si b^2 − 4 ac 0 , la ecuación tiene 2 raíces reales y distintas Si b^2 − 4 ac = 0 , la ecuación tiene una sola solución real pues a
x x b (^1 ) = =− y se le llama raíz doble. Si b^2 −^4 ac ^0 , la ecuación no tiene solución real.
Es hora de hacer un alto en el camino para indagar qué sabemos hasta ahora de ecuaciones de primer grado. Si no puede realizar las actividades planteadas, no se desanime, es porque necesita volver a leer nuevamente. Actividad 1 ¿Cuál es la expresión de una ecuación de primer grado? ¿Siempre tiene solución? ¿Cuántas soluciones puede tener? Actividad 2 Realice un resumen de ecuaciones de primer grado y sus posibles soluciones. Actividad 3 Lea el anexo: “ Técnicas para la Resolución de problemas” que se encuentra al final del documento, le ayudará a la hora de resolver una situación problemática. Actividad 4 Resuelva los ejercicios 2 y 4 de Actividades I.pdf
En general la ecuación ax^2 + bx + c = 0 , que posee raíces reales, se puede expresar como producto de factores de la siguiente manera: 𝒂𝒙𝟐^ + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂. (𝒙 − 𝒙𝟏). (𝒙 − 𝒙𝟐) donde a es el coeficiente del término cuadrático y x 1 (^) , x 2 son las raíces de la ecuación.
Ejemplo: Resolver x^2 − 6 x + 5 = 0 En esta ecuación a = 1 ; b =− 6 ; c = 5
Se utiliza la fórmula a
x b b ac 2
12
=− ^ −
, Se analiza el discriminante: b^2 − 4 ac = ( − 6 )^2 − 4. 1. 5 = 16 0
2
2 1
x
x
a
b b ac x .
La ecuación tiene 2 raíces reales y distintas x 1 (^) = 5 ; x 2 = 1 Como el polinomio posee raíces reales (^) x 1 (^) = 5 ; x 2 = 1 , entonces se puede expresar como producto de factores de la siguiente manera: 𝑥^2 − 6 𝑥 + 5 = (𝑥 − 5 )(𝑥 − 1 ).
Ejemplo: Encontrar las soluciones de^4 x^2 −^4 x +^1 =^0 En esta ecuación a = 4 ; b =− 4 ; c = 1 Se analiza el discriminante: 𝑏^2 − 4 𝑎𝑐 = (− 4 )^2 − 4. 4. 1 = 0
−𝑏 ± √𝑏^2 − 4 𝑎𝑐
2 𝑎 =^
2. 4 =^
8 =^
8 =^
En este caso se dice que la ecuación tiene dos raíces reales coincidentes, 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝟏 𝟐 o que tiene una raíz doble.
Ejemplo: Determinar las raíces de x^2 − x + 1 = 0 a = 1 ; b =− 1 ; c = 1 Se analiza el discriminante: 𝑏^2 − 4 𝑎𝑐 = (− 1 )^2 − 4. 1. 1 = 1 − 4 = − 3 𝑥 1 , 2 =
−𝑏 ± √𝑏^2 − 4 𝑎𝑐
2 𝑎 =^
2. 4 ∉^ 𝑅
La ecuación no tiene raíces reales, es decir, no tiene solución en R.
3 .2.2. Ecuaciones de segundo grado incompletas En la ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática a^. x^2 +^ b. x + c =^0 se puede distinguir tres términos: el término cuadrático a. x^2 , el término lineal b. x y el término independiente c. Por ser de
segundo grado, el término cuadrático siempre aparece ( a ^0 ), pero puede suceder que falte alguno de
los otros dos o ambos.
Si x = 0 solución x = 0 o Si 𝑥 − 5 = 0 solución x = 5 o Si x + 2 = 0 solución x = - 2 o Si 2 𝑥 − 7 = 0 solución 2
x =^7
Por tanto, la ecuación de 4º grado tiene por soluciones 𝑥 = 0 , 𝑥 = 5 , 𝑥 = − 2 𝑦 2
x =^7 En el caso que una ecuación de grado mayor que 2 no esté escrita como la del ejemplo anterior es conveniente factorizar el primer miembro para luego obtener sus soluciones. Esta es una tarea para la siguiente unidad.
4. Inecuaciones
Definición
Una inecuación es una desigualdad condicionada que se establece entre dos expresiones algebraicas donde existe por lo menos una variable a la que denominaremos incógnita.
Se denomina desigualdad a toda relación de orden que se establece entre números reales u otras expresiones matemáticas, mediante la comparación “menor que” (<), “menor o igual que” (≤), “mayor que” (>) o “mayor o igual que” (≥). Ejemplos de inecuaciones: 2 𝑥 − 5 < 7 + 𝑥 5 𝑥 + 𝑦 ≻ 2 𝑦 𝑥 − 2 𝑦 ≥ − 4 𝑥 ≤ 0
Definición
A continuación, algunas propiedades de desigualdades que son útiles para resolver inecuaciones.
El conjunto solución de una inecuación es el conjunto de números reales que verifican (hacen verdadera) la desigualdad. Una desigualdad es verdadera si la relación establecida se cumple.
Es hora de hacer un alto en el camino para indagar qué sabemos hasta ahora de ecuaciones de segundo grado. Si no puede realizar las actividades planteadas, no se desanime, es porque necesita volver a leer nuevamente. Actividad 1 ¿Cuál es la expresión de una ecuación de segundo grado? ¿Siempre tiene solución? ¿Cuántas soluciones puede tener? Actividad 2 Realice un resumen de ecuaciones de segundo grado y sus posibles soluciones. Actividad 3 Resuelva el ejercicio 3 de Actividades I.pdf
P 1 ) Si 𝑎 > 𝑏 y 𝑐 > 𝑑 entonces 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑑 P 2 ) Si 𝑎 > 0 entonces −𝑎 < 0 P 3 ) Si 𝑎 > 𝑏 entonces −𝑎 < −𝑏 P 4 ) Si 𝑎 > 𝑏 y 𝑐 < 0 entonces 𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 P 5 ) Si 𝑎 ≠ 0 entonces 𝑎^2 > 0
P 6 ) Si 𝑎 ≠ 0 entonces (^1 𝑎)
2
0
P 7 ) Si 𝑎 > 𝑏 y 𝑐 > 0 entonces 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑐
P 8 ) Si 𝑎 > 𝑏 y 𝑐 < 0 entonces 𝑎 𝑐 < 𝑏 𝑐
4.1. Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Definición
Las inecuaciones de primer grado con una incógnita son las que responden, por ejemplo, a las siguientes formas: ax + b 0 ax + b 0 ax + b 0 ax + b 0 con 𝑎 ≠ 0
La solución de una inecuación lineal con una incógnita es un conjunto infinito de números reales que se puede expresar mediante un intervalo.
Los ejemplos siguientes muestran cómo se resuelven este tipo de inecuaciones Ejemplo: 3 𝑥 − 5 < 2 𝑥 + 4 3 𝑥 − 5 − 2 𝑥 < 4 3 𝑥 − 2 𝑥 < 4 + 5 𝑥 < 9 𝐶𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 < 9 }^ = (−∞; 9 )
Gráficamente, el conjunto solución de la inecuación es:
Otra forma de resolución es la siguiente: 3 𝑥 − 5 < 2 𝑥 + 4 3 𝑥 − 5 − 4 − 2 𝑥 < 0 𝑥 − 9 < 0
Se analizará el signo de la expresión algebraica 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 9 (𝐼), cuando se calculan distintos valores numéricos de ella. Se procede de la siguiente manera: 1)Nos preguntamos ¿para qué valores 𝑥 − 9 = 0 ?. Esto ocurre para 𝑥 = 9 ; es decir es el cero de la expresión (I). 2)Representamos en la recta real ese cero y analizamos qué signo tiene la expresión a derecha y a izquierda de x =9. Por ejemplo: si 𝑥 = 8 entonces el valor 𝑃(( 8 ) = − 1 , es decir si tomamos un valor a la izquierda de 9, la expresión (I) será negativa; mientras que si el valor está a la derecha será positiva. Gráficamente:
5 8 9 11 14
