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Escriba la expresión de una EDO de 2º orden
En los capítulos anteriores, se estudiaron las ecuaciones diferenciales de primer orden.
En este apartado se revisarán las ecuaciones de orden superior 𝑛 ≥ 2 , comenzando con
las ecuaciones lineales. Asimismo, abordaremos la teoría general de las ecuaciones
diferenciales lineales de la misma forma que analizamos las de segundo orden (𝑛 = 2 ).
Recuérdese que una ecuación diferencial de segundo orden de la función 𝑦
(desconocida) es de la forma
′
′′
Se dice que la ecuación diferencial es lineal si G es lineal en la variable dependiente y 𝑦
en sus derivadas 𝑦
′
y 𝑦
′′
. Así, una ecuación lineal de segundo orden toma la forma (o
puede escribirse como)
𝐴
( 𝑥
) 𝑦
′′
( 𝑥
) 𝑦
′
( 𝑥
) 𝑦 = 𝐹
( 𝑥
) .
Salvo que se diga lo contrario, siempre se asume que las funciones que representan los
coeficientes 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥), 𝐶(𝑥) y 𝐹(𝑥) (conocidas) son continuas en algún intervalo abierto
I (no necesariamente acotado), en el cual se desea resolver la ecuación diferencial, pero
no se requiere que estas funciones de x sean lineales. Así, la ecuación diferencial
′′
cos 𝑥
′
𝑥)𝑦 = tan
− 1
es lineal porque la variable dependiente y 𝑦 sus derivadas 𝑦’ y 𝑦’’ pueden escribirse de
manera lineal. En contraste, las ecuaciones
′
′′
′
2
3
son no lineales porque aparecen los productos y potencias de y 𝑦 sus derivadas.
Si la función F ( x ) en el lado derecho de la ecuación (2) se anula en I , entonces ésta se
llama ecuación lineal homogénea ; en el caso contrario se denomina no homogénea.
Por ejemplo, la ecuación de segundo orden
2
𝑦′′ + 2 𝑥𝑦′ + 3 𝑦 = cos 𝑥
es no homogénea; su ecuación homogénea asociada es
2
En general, la ecuación diferencial homogénea asociada con la ecuación (2) es
Escriba las posibles soluciones de las EDO de 2º orden
Una solución particular de una ecuación diferencial, es la que se obtiene a través de
información adicional que permita asignar valores específicos a las constantes que
aparecen en la solución general. Se llama así a la información adicional que nos permite
encontrar una solución particular a un problema dado.
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una
función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a
una o más variables independientes.
Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal.
Podemos comprobar si una solución posible de una ecuación diferencial es de hecho una
solución. Lo que debemos hacer es diferenciar y sustituir en la ecuación tanto la solución
como la derivada. Esto quiere decir que una ecuación diferencial tiene una cantidad
infinita de soluciones que corresponden a la elección ilimitada de esos parámetros.
Escriba la expresión de una EDO de orden “n”
Una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n en la variable dependiente y 𝑦 en la variable
independiente x es una ecuación que puede expresarse de la forma:
donde a0(x) es una función no idénticamente nula.
Consideremos la E. D. O. de orden n:
donde F es una función real de sus (𝑛 + 2 ) argumentos.
Sea f una función real definida para todo x en un intervalo real I que posea derivada n-
ésima en todo L. La función f es una solución explícita de la E. D. O. en el intervalo L si:
está definida para todo x de I y verifica:
Llamamos sistema fundamental de soluciones a n soluciones de la ecuación (*)
linealmente independientes.
Teorema I.- La ecuación (*) admite un sistema fundamental de soluciones.
Teorema II.- Si { y 1
, y 2
... y n
} es un sistema fundamental de soluciones, cualquier solución
de la ecuación (*) se puede expresar de la forma:
y=C1y1+C2y2+...+Cnyn,C1,C2...Cn∈R
Ejemplo de una EDO de 2º orden y su posible solución
Ejemplo 1
Consideremos la ED lineal homogénea de segundo orden 𝑥
2
′′
′
- Verificar que 𝑦
1
2
es una solución de la ED.
- Encontrar una segunda solución 𝑦
2
de la ecuación.
- Escribir la solución general de la ecuación
- En primer lugar calculamos la primera y segunda derivada de 𝑦
1
1
2
1
′
1
′′
Si sustituimos en la ecuación diferencial:
2
𝑦
1
′′
𝑦
1
′
2
𝑦 1
2
2
concluimos que 𝑦 1
es una solución de la ecuación diferencial
- Usamos ahora el resultado anterior. Determinamos 𝑢.
Primero necesitamos normalizar la ecuación para lo cual dividimos entre 𝑥
2
Obtenemos
′′
′
2
Usamos la formula del resultado anterior con 𝑃 =
2
𝑥
1
2
; encontramos:
− ∫
2
𝑥
𝑑𝑥
2
)
2
− 2 ln 𝑥
4
ln(𝑥
− 2
)
4
− 2
4
− 6
− 5
Por lo tanto, 𝑦
2
1
1
5
− 5
2
1
5
− 3
- La solución general es
1
1
2
2
1
2
2
− 3
1
2
2
− 3
2 aplicaciones de las EDO de 2º orden
Circuito RC de corriente continua
En esta figura se muestra un circuito RC de
corriente continua, el cual está formado por una
malla simple con una fuente de voltaje V
constante, un resistor R y un capacitor C.
Cuando se conecta la fuente, las caídas de
potencial ocurren en el resistor RI y en el
capacitor Q/C. De acuerdo con la ley de
Kirchhoff de voltaje, tenemos entonces que
𝑉 = 𝑅𝐼 +
𝑄
𝐶
= 𝑅
𝑑𝑄
𝑑𝑡
𝑄
𝐶
Es decir,
𝑅
𝑑𝑄
𝑑𝑡
𝑄
𝐶
= 𝑉
donde la fuente de voltaje proporciona una diferencia de potencial constante V.
Resolvemos la ED que resulta. Para esto reescribamos esta ecuación, multiplicando por
C , como
𝑅𝐶
𝑑𝑄
𝑑𝑡
Separando variables
𝑑𝑡
𝑅𝐶
=
𝑑𝑄
𝑉𝐶 − 𝑄
.
Integrando esta última ecuación y considerando la condición inicial de que al tiempo 𝑡 =
la carga en el capacitor es cero coulombs, Q(0)=0, obtenemos:
∫
𝑑𝑡
𝑅𝐶
= ∫
𝑑𝑄
𝑉𝐶 − 𝑄
⇒
𝑡
𝑅𝐶
= − ln(𝑉𝐶 − 𝑄) + 𝐾
Usamos 𝑄
0
𝑅𝐶
= − ln(𝑉𝐶) + 𝐾 ⇒ 𝐾 = ln(𝑉𝐶)
De esta manera,
Así obtenemos, de la solución (??), que la corriente que circula sobre el circuito está dada por
0
2
2
[
sin 𝜔𝑡 − 𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜔𝑒
−
𝑅
𝐿
𝑡
] =
0
2
2
[
sin 𝜔𝑡 − 𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜔𝑒
−
𝑅
𝐿
𝑡
]
Que se puede reescribir
0
−
𝑅
𝐿
𝑡
2
2
2
0
2
2
sin(𝜔𝑡 + ∅
Donde el ángulo de fase 𝜙 satisface
cos 𝜙 =
2
2
, sin 𝜙 = −
2
2
, & tan 𝜙 = −
Observe que, para tiempos grandes, la corriente que circula por el circuito tiene la misma
frecuencia que el voltaje de entrada.
Bibliografía
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Portada Portal Canek. (2021). Canek.uam.mx. http://canek.uam.mx/index.php?secc=
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